自动控制原理笔记-根轨迹法

一，根轨迹的基本概念

1.根轨迹的基本概念

2.根轨迹方程

3.根轨迹方程的应用

二，根轨迹的绘制规则

【规则一】根轨迹有n条分支：

【规则二】根轨迹对称于实轴：

【规则三】根轨迹的起点和终点：

【规则四】实轴上的根轨迹：

【规则五】根轨迹的渐近线：

【规则六】根轨迹的分离、会合点：

【规则七】出射角（起始角）和入射角（终止角）：

【规则八】根轨迹与虚轴的交点：

【规则九】根之和与根之积：

小结：

三，系统零极点分布与响应的关系

闭环极点对系统阶跃响应的影响：

闭环零点对系统阶跃响应的影响：

闭环偶极子：

四，利用根轨迹解决工程问题

一、求控制参数（增益）的稳定边界

二、使系统具有单调过渡过程的增益范围：

三、满足调整时间要求的控制参数（增益）：

四、满足超调量要求的系统增益：

五，广义根轨迹

一、参数（量）根轨迹的绘制：

二、零度根轨迹：

六，根轨迹校正

一、根轨迹的改造：

二、根轨迹校正反馈系统

一，根轨迹的基本概念

1.根轨迹的基本概念

闭环传递函数决定控制系统的性能：

稳定性（闭环极点位于s左半平面）快速性（动态性能:取决于闭环极点和零点）准确性（静态误差:取决于型别、开环增益和输入）

高阶系统的闭环极点难以计算，因此需要探索不求解高阶代数方程，也能确定系统的 闭环特征根（闭环极点） 、进而分析系统闭环动态特性的有效方法。

根轨迹法 (Root locus method): 利用控制系统的 开环极点 求其 闭环极点 的一种作图法

根轨迹：系统中某个参量由零到无穷大变化时，其闭环极点在 s 平面上移动的轨迹。

根轨迹法：不用求解闭环特征方程，而利用开环零极点求出闭环极点的轨迹，研究系统性能的方法。

根轨迹法的特点： 1 ）图解法，形象、直观； 2）近似方法。3）适合研究某一参数变化时系统的性能。

2.根轨迹方程

3.根轨迹方程的应用

1. 根据角条件绘制根轨迹(充要条件)

2. 根据模条件确定根轨迹增益

二，根轨迹的绘制规则

在根轨迹图中，“ ”表示开环极点，“ ”表示开环零点。粗实线表示根轨迹，箭头表示参数增加的方向。

【规则一】根轨迹有n条分支：

n阶实系数代数方程在复数域有n个根，因此n阶系统的根轨迹有n条分支。

【规则二】根轨迹对称于实轴：

实系数的闭环特征（代数）方程的根必对称于实轴。

【规则三】根轨迹的起点和终点：

根轨迹方程为：

亦称系统有n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点的个数等于极点数（=根轨迹条数=系统阶次n）。

【规则四】实轴上的根轨迹：

若实轴上某一线段的右边，开环零点和开环极点的数目之和为奇数（odd），则该线段为根轨迹的一部分。

若实轴上某一线段的右边，开环零点和开环极点的数目之和为奇数，则该线段为根轨迹的一部分。

【规则五】根轨迹的渐近线：

k→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹趋向无穷远的方向由渐近线决定。

【规则六】根轨迹的分离、会合点：

不同的根轨迹分支在s平面上相交的点，称为根轨迹的分离、会合点。

分离、会合点的求法：

①求导法：根轨迹在实轴上的分离、会合点表示这些点是闭环特征方程的重根点。

注意：由上式可求得的点是分离、会合点必要条件，还需求出这些点对应的增益，若增益为大于零的实数，则所求出的点为分离、会合点。

②工程法：

定理：当系统有2个开环极点、 1个或2个开环零点，并且在复平面上有根轨迹时，则复平面上的根轨迹一定是以零点为圆心的圆弧

【规则七】出射角（起始角）和入射角（终止角）：

【规则八】根轨迹与虚轴的交点：

根轨迹和虚轴相交时，闭环特征方程有一对共轭纯虚根，系统处于临界稳定状态。这时的增益称为临界根轨迹增益。

【规则九】根之和与根之积：

小结：

需掌握绘制根轨迹的九条规则：

三，系统零极点分布与响应的关系

控制系统的闭环极点、零点与系统的稳定性及动态性能有密切关系。闭环零点与开环零点相同，闭环极点由根轨迹方程表示出来。

闭环极点对系统阶跃响应的影响：

单位阶跃响应为：

响应输出为叠加而成的信号，与 模态、分量大小 有关。

（1）稳定性：sj应位于s左半平面；

（2）快速性：极点尽可能远离虚轴；

（3）平稳性：振荡要小，接近最佳阻尼比；

（4）利用闭环主导极点进行高阶系统的近似处理；

（5）闭环零点可以削弱其附近闭环极点对系统的影响（对应的留数小）。

闭环零点对系统阶跃响应的影响：

闭环偶极子：

闭环偶极子：复平面上很接近的一对闭环零极点

相对于其他零极点，相互距离在1/10以下的一对闭环偶极子对系统响应的影响可以忽略。

四，利用根轨迹解决工程问题

一、求控制参数（增益）的稳定边界

二、使系统具有单调过渡过程的增益范围：

三、满足调整时间要求的控制参数（增益）：

四、满足超调量要求的系统增益：

利用根轨迹解决工程问题，实际上是根据系统性能指标的要求，求出主导极点在s平面的分布区域

五，广义根轨迹

一、参数（量）根轨迹的绘制：

绘制参数根轨迹，需由系统的闭环特征方程导出一个新的等效开环传递函数Go1(s)。在Go1(s)中，可变参数的位置与常规根轨迹中的根增益 k 位置相同。

二、零度根轨迹：

零度根轨迹的绘制规则：

六，根轨迹校正

一、根轨迹的改造：

1、增加开环零点对根轨迹的影响：

1）改变了根轨迹在实轴上的分布；

2）改变了渐近线的条数、与实轴的交点、夹角；

3）可以抵消对系统不利的闭环极点（构成偶极子）；

4）根轨迹左移（零点要适当），对稳定性有利；

2、增加开环极点对根轨迹的影响

1）改变了根轨迹的条数；

2）改变了根轨迹在实轴上的分布；

3）改变了渐近线的条数、与实轴的交点、夹角；

4）根轨迹右移（极点要适当），对稳定性不利；

3、增加开环偶极子对根轨迹的影响

二、根轨迹校正反馈系统

step: 1）暂态性能指标→期望的闭环主导极点；

2）绘制原系统的根轨迹，确定是否增加校正装置；

3）校正后系统根轨迹通过期望闭环主导极点，检验开环比例系数是否满足静态指标（否则，增加开环偶极子以改善之）；

4）检验暂、静态指标。

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