一、根轨迹原理

1.1 零极点分布图

在复平面上，用×表示极点，用○表示零点。如开环传递函数 W ( s ) = 2 ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 ) W(s)=\frac{2(s+1)}{(s+2)(s+3)} W(s)=(s+2)(s+3)2(s+1)的零极点分布图为

matlab命令：

>> sys = zpk([-1],[-2,-3],2)sys =2 (s+1)-----------(s+2) (s+3)Continuous-time zero/pole/gain model.>> pzmap(sys)
>> axis([-4,1,-1,1])

1.2 根轨迹概念

开环传递函数某一参量从0变化到无穷时，其闭环系统的特征根在复平面上运动的轨迹称为根轨迹。

由于线性系统性能与特征根密切相关，故研究根的变化可以反映系统性能。比如判定稳定性和响应，就可以按下列区域判定。

而反过来，也可以通过设计根的运行轨迹，选择合适的参数和零极点。

具体来说：
（1）开环增益从0变化到∞时，如果根轨迹始终没有越过虚轴进入右半平面，则对于所有K都是稳定的。如果根轨迹与虚轴相交，则相交时对应的 K 0 K_0 K0值即为临界增益。如果根从左侧运行到右侧，则 0 < K < K 0 0<K<K_0 0<K<K0时系统稳定；反之，如果从右侧运行到左侧且稳定在左侧，则 K 0 < K < ∞ K_0<K<\infty K0<K<∞时系统稳定
（2）开环系统在坐标原点处的极点重数等于系统的型别。此时， K K K值就是静态误差系数。
（3）通过确定系统阻尼比，可以确定系统特征根应在的位置，从而实现对参数的设计。

1.3 根轨迹方程

设一个线性闭环系统前向通道传递函数为 G ( s ) G(s) G(s)，反馈通道传递函数为 H ( s ) H(s) H(s)，则闭环系统传递函数可以表示为 W ( s ) = G ( s ) 1 + G ( s ) H ( s ) W(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} W(s)=1+G(s)H(s)G(s)。

那么，其闭环特征方程为 D ( s ) = 1 + G ( s ) H ( s ) = 0 D(s)=1+G(s)H(s)=0 D(s)=1+G(s)H(s)=0即有 G ( s ) H ( s ) = K ∗ ∏ j = 1 m ( s − z j ) ∏ i = 1 n ( s − p i ) = − 1 = e j ( 2 k + 1 ) π ，其中 k ∈ Z G(s)H(s)=\frac{K^*\prod_{j=1}^m (s-z_j)}{\prod_{i=1}^n (s-p_i)}=-1=e^{j(2k+1)\pi}，其中k\in Z G(s)H(s)=∏i=1n(s−pi)K∗∏j=1m(s−zj)=−1=ej(2k+1)π，其中k∈Z复变函数告诉我们：两个复数相乘，积的幅值等于两个复数幅值的乘积，积的幅角等于两个复数幅角的和。

所以由上式可以得出根轨迹的相角条件和幅值条件：
相角条件： ∑ j = 1 m ∠ ( s − z j ) − ∑ i = 1 n ∠ ( s − p i ) = ( 2 k + 1 ) π ，其中 k ∈ Z \sum_{j=1}^{m}{\angle(s-z_j)}-\sum_{i=1}^{n}{\angle(s-p_i)}=(2k+1)\pi，其中k\in Z j=1∑m∠(s−zj)−i=1∑n∠(s−pi)=(2k+1)π，其中k∈Z
幅值条件： K ∗ = ∏ i = 1 n ∣ s − p i ∣ ∏ j = 1 m ∣ s − z j ∣ K^*=\frac{\prod_{i=1}^{n}{|s-p_i|}}{\prod_{j=1}^{m}{|s-z_j|}} K∗=∏j=1m∣s−zj∣∏i=1n∣s−pi∣

【应用举例】：
已知 G ( s ) H ( s ) = K ∗ ( s + 3 ) ( s + 1 ) ( s + 2 ) G(s)H(s)=\frac{K^*(s+3)}{(s+1)(s+2)} G(s)H(s)=(s+1)(s+2)K∗(s+3)证明其根轨迹是圆。
证明：
令 s = σ + j ω s=\sigma+j\omega s=σ+jω，得 G ( σ + j ω ) H ( σ + j ω ) = K ∗ ( 3 + σ + j ω ) ( 1 + σ + j ω ) ( 2 + σ + j ω ) G(\sigma+j\omega)H(\sigma+j\omega)=\frac{K^*(3+\sigma+j\omega)}{(1+\sigma+j\omega)(2+\sigma+j\omega)} G(σ+jω)H(σ+jω)=(1+σ+jω)(2+σ+jω)K∗(3+σ+jω)，则由相角条件：
a r c t a n ω 3 + σ − a r c t a n ω 1 + σ − a r c t a n ω 2 + σ = π arctan\frac{\omega}{3+\sigma}-arctan\frac{\omega}{1+\sigma}-arctan\frac{\omega}{2+\sigma}=\pi arctan3+σω−arctan1+σω−arctan2+σω=π两边取正切，得： − ω ( σ 2 + 6 σ + 7 ) − ω 3 σ 3 + 6 σ 2 + ( 11 + ω 2 ) σ + 6 = 0 \frac{-\omega(\sigma^2+6\sigma+7)-\omega^3}{\sigma^3+6\sigma^2+(11+\omega^2)\sigma+6}=0 σ3+6σ2+(11+ω2)σ+6−ω(σ2+6σ+7)−ω3=0
所以 − ω ( σ 2 + 6 σ + 7 ) − ω 3 = 0 -\omega(\sigma^2+6\sigma+7)-\omega^3=0 −ω(σ2+6σ+7)−ω3=0即 ( σ + 3 ) 2 + ω 2 = 2 (\sigma+3)^2+\omega^2=2 (σ+3)2+ω2=2所以，根轨迹是圆。

我们可以用matlab进行验证：

>> sys = zpk([-3],[-2,-1],1)sys =(s+3)------------(s+2) (s+1) Continuous-time zero/pole/gain model.>> rlocus(sys)
>> axis equal

二、根轨迹绘制法则

2.1 180°根轨迹和0°根轨迹

1、当控制系统为最小相位系统时，其相角条件满足 ( 2 k + 1 ) π (2k+1)\pi (2k+1)π，当控制系统不是最小相位系统时，不能采用常规根轨迹法绘制系统根轨迹，因为此时系统相角条件遵循 0 + 2 k π 0+2k\pi 0+2kπ。

2、产生0°根轨迹的原因：
（1）系统具有正实部开环零极点且包含 s s s最高次幂系数为负数的因子。
（2）控制系统含有正反馈回路。

3、判定0°根轨迹和180°根轨迹的数学方法
写出特征方程： 1 + G ( s ) H ( s ) = 0 1+G(s)H(s)=0 1+G(s)H(s)=0，然后化为： G ( s ) H ( s ) = K ∗ ∏ j = 1 m ( s − z j ) ∏ i = 1 n ( s − p i ) = ± 1 G(s)H(s)=\frac{K^*\prod_{j=1}^{m}(s-z_j)}{\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)}=\pm1 G(s)H(s)=∏i=1n(s−pi)K∗∏j=1m(s−zj)=±1，如果等号右侧为-1，则为180°根轨迹，若为1，则为0°根轨迹。

2.2 180°根轨迹绘制法则

设开环传递函数： G ( s ) H ( s ) = K ∗ ∏ j = 1 m ( s − z j ) ∏ i = 1 n ( s − p i ) G(s)H(s)=\frac{K^*\prod_{j=1}^{m}(s-z_j)}{\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)} G(s)H(s)=∏i=1n(s−pi)K∗∏j=1m(s−zj) 则根轨迹绘制法则如下：

1、起点和终点：起始于开环极点或无穷远，终止于开环零点或无穷远。

2、根轨迹分支数 = m a x { m , n } max\lbrace m,n \rbrace max{m,n}

3、渐近线（通常 n > m n>m n>m）：

（1）条数 = n − m n-m n−m

（2）与实轴夹角： ϕ a = ( 2 k + 1 ) π n − m \phi_a=\frac{(2k+1)\pi}{n-m} ϕa=n−m(2k+1)π

（3）交点： σ a = ∑ i = 1 n p i − ∑ j = 1 m z j n − m \sigma_a=\frac{\sum_{i=1}^{n}{p_i}-\sum_{j=1}^{m}{z_j}}{n-m} σa=n−m∑i=1npi−∑j=1mzj

4、实轴分布：对于实轴上某一区域，如果其右侧开环传递函数零极点个数之和为奇数，则该区域是根轨迹区域。

5、分离点和分离角：
分离点坐标满足： ∑ j = 1 m 1 d − z j = ∑ i = 1 n 1 d − p i \sum_{j=1}^{m}\frac{1}{d-z_j}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{d-p_i} j=1∑md−zj1=i=1∑nd−pi1
l l l条根轨迹相遇，分离角满足： ϕ d = ( 2 k + 1 ) π l ，其中 k ∈ Z \phi_d=\frac{(2k+1)\pi}{l}，其中k \in Z ϕd=l(2k+1)π，其中k∈Z
6、起始角和终止角：
起始角： θ p i = ( 2 k + 1 ) π + ( ∑ j = 1 m ϕ z j p i − ∑ j = 1 n θ p j p i ) ，其中， i ≠ j \theta_{p_i}=(2k+1)\pi+(\sum_{j=1}^{m}\phi_{z_jp_i}-\sum_{j=1}^{n}\theta_{p_jp_i})，其中，i\neq j θpi=(2k+1)π+(∑j=1mϕzjpi−∑j=1nθpjpi)，其中，i=j
终止角： ϕ z i = ( 2 k + 1 ) π − ( ∑ j = 1 m ϕ z j z i − ∑ j = 1 n θ p j z i ) ，其中， i ≠ j \phi_zi=(2k+1)\pi-(\sum_{j=1}^{m}\phi_{z_jz_i}-\sum_{j=1}^{n}\theta_{p_jz_i})，其中，i\neq j ϕzi=(2k+1)π−(∑j=1mϕzjzi−∑j=1nθpjzi)，其中，i=j

7、根轨迹与虚轴交点：如果根轨迹与虚轴相交，则交点的 K ∗ K^* K∗值和 ω \omega ω值可由劳斯判据确定，也可以令闭环特征方程中 s = j ω s=j\omega s=jω，然后令实部虚部分别等于0，得到二元方程组，求解即可。

8、根之和： n − m ≥ 2 n-m\geq2 n−m≥2时，开环 n n n个极点的和等于闭环特征方程 n n n个特征根的和。

【实例】已知单位负反馈系统开环传递函数 W ( s ) = K g ∗ ( s + 3 ) ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s 2 + s + 1.25 ) W(s)=\frac{K_{g}^{*}(s+3)}{(s+1)(s+2)(s^2+s+1.25)} W(s)=(s+1)(s+2)(s2+s+1.25)Kg∗(s+3)绘制根轨迹。

显然，系统有一个开环零点 z = − 3 z=-3 z=−3，四个开环极点 p 1 = − 1 ， p 2 = − 2 ， p 3 , 4 = − 0.5 ± j p_1=-1，p_2=-2，p_{3,4}=-0.5\pm j p1=−1，p2=−2，p3,4=−0.5±j所以分支数 = m a x { 1 , 4 } = 4 =max \lbrace 1,4\rbrace=4 =max{1,4}=4条

渐近线条数： n − m = 4 − 1 = 3 n-m=4-1=3 n−m=4−1=3条

渐近线交角： ϕ a = ( 2 k + 1 ) π n − m = π , ± π 3 \phi_a=\frac{(2k+1)\pi}{n-m}=\pi,\pm\frac{\pi}{3} ϕa=n−m(2k+1)π=π,±3π

渐近线交点： σ a = ∑ i = 1 n p i − ∑ j = 1 m z j n − m = − 1 3 \sigma_a=\frac{\sum_{i=1}^{n}p_i-\sum_{j=1}^{m}z_j}{n-m}=-\frac{1}{3} σa=n−m∑i=1npi−∑j=1mzj=−31

实轴分布：由零极点分布图知 ( − ∞ , − 3 ) ∪ ( − 2 , − 1 ) (-\infty,-3)\cup(-2,-1) (−∞,−3)∪(−2,−1)是根轨迹区域

分离点： 1 d + 3 = 1 d + 1 + 1 d + 2 + 1 d + 0.5 + j + 1 d + 0.5 − j \frac{1}{d+3}=\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+2}+\frac{1}{d+0.5+j}+\frac{1}{d+0.5-j} d+31=d+11+d+21+d+0.5+j1+d+0.5−j1解得 d 1 = − 1.688 ， d 2 = − 3.722 ， d 3 , 4 = − 0.67 ± 0.592 j d_1=-1.688，d_2=-3.722，d_{3,4}=-0.67\pm 0.592j d1=−1.688，d2=−3.722，d3,4=−0.67±0.592j（舍）
分离角： ϕ d = ± π 2 \phi_d=\pm\frac{\pi}{2} ϕd=±2π

与虚轴交点：
闭环特征方程 D ( s ) = s 4 + 4 s 3 + 6.25 s 2 + 5.75 s + 2.5 + K g ∗ s + 3 K g ∗ = 0 D(s)=s^4+4s^3+6.25s^2+5.75s+2.5+K_{g}^*s+3K_{g}^*=0 D(s)=s4+4s3+6.25s2+5.75s+2.5+Kg∗s+3Kg∗=0，令 s = j ω s=j\omega s=jω
得 D ( j ω ) = ω 4 − 4 ω 3 j − 6.25 ω 2 + 5.75 ω j + 2.5 + K g ∗ ω j + 3 K g ∗ = ( ω 4 − 6.25 ω 2 + 2.5 + 3 K g ∗ ) + ( K g ∗ ω + 5.75 ω − 4 ω 3 ) j = 0 D(j\omega)=\omega^4-4\omega^3j-6.25\omega^2+5.75\omega j+2.5+K_{g}^*\omega j+3K_{g}^*=(\omega^4-6.25\omega^2+2.5+3K_{g}^*)+(K_{g}^*\omega+5.75\omega-4\omega^3)j=0 D(jω)=ω4−4ω3j−6.25ω2+5.75ωj+2.5+Kg∗ωj+3Kg∗=(ω4−6.25ω2+2.5+3Kg∗)+(Kg∗ω+5.75ω−4ω3)j=0
所以 { ω 4 − 6.25 ω 2 + 2.5 + 3 K g ∗ = 0 K g ∗ ω + 5.75 ω − 4 ω 3 = 0 \left\{ \begin{array}{c} \omega^4-6.25\omega^2+2.5+3K_{g}^*=0 \\ K_{g}^*\omega+5.75\omega-4\omega^3=0 \\ \end{array} \right. {ω4−6.25ω2+2.5+3Kg∗=0Kg∗ω+5.75ω−4ω3=0解得 K g ∗ = 1.9398 或 − 36.44 （舍）， ω = 1.3865 K_{g}^*=1.9398或-36.44（舍），\omega=1.3865 Kg∗=1.9398或−36.44（舍），ω=1.3865
所以绘制图如下：

用matlab进行绘图：

>> sys = zpk([-3],[-2,-1,-0.5+j,-0.5-j],1)sys =(s+3)----------------------------(s+2) (s+1) (s^2 + s + 1.25)Continuous-time zero/pole/gain model.>> rlocus(sys)
>> axis equal

附：分离点计算的matlab程序：

>> solve(1/(d+3)==1/(d+1)+1/(d+2)+1/(d+0.5+j)+1/(d+0.5-j),d)
ans =root(z^4 + (20*z^3)/3 + (169*z^2)/12 + (25*z)/2 + 59/12, z, 1)root(z^4 + (20*z^3)/3 + (169*z^2)/12 + (25*z)/2 + 59/12, z, 2)root(z^4 + (20*z^3)/3 + (169*z^2)/12 + (25*z)/2 + 59/12, z, 3)root(z^4 + (20*z^3)/3 + (169*z^2)/12 + (25*z)/2 + 59/12, z, 4)>> vpa(ans)
ans =-3.6375710980630009637620727119609-1.6876563208283032347505827804396- 0.67071962388768123407700558713306 - 0.59247751039734779329021710892861i- 0.67071962388768123407700558713306 + 0.59247751039734779329021710892861i

2.3 0°根轨迹绘制法则

零度根轨迹的绘制法则与180度根轨迹类似，只是需要对个别位置进行更改，具体如下：
（1）渐近线交角：在0°根轨迹中， ϕ a = 2 k π n − m \phi_a=\frac{2k\pi}{n-m} ϕa=n−m2kπ.
（2）实轴分布：在0°根轨迹中，实轴某一区域若其右侧零极点个数之和为偶数个，则该区域为根轨迹区域。
（3）起始角和终止角：在0°根轨迹中，要把180°根轨迹起始角终止角公式中的 ( 2 k + 1 ) π (2k+1)\pi (2k+1)π变为 2 k π 2k\pi 2kπ

例： W ( s ) = K g ∗ ( s + 3 ) ( s + 2 ) ( 1 − s ) W(s)=\frac{K_{g}^*(s+3)}{(s+2)(1-s)} W(s)=(s+2)(1−s)Kg∗(s+3)

PS：可对比1.3节中的180°根轨迹

三、广义根轨迹绘制方法

广义根轨迹是指参量不是放大系数的时候，需要做一定变形，将变化参量转化到以前“放大系数”的“位置”，得到等效开环传递函数，从而绘制根轨迹。

比如单位负反馈 W ( s ) = 2 ( s + 3 ) ( a s + 1 ) ( s + 2 ) W(s)=\frac{2(s+3)}{(as+1)(s+2)} W(s)=(as+1)(s+2)2(s+3)绘制 a a a变化时根轨迹

显然，特征方程： D ( s ) = a s ( s + 2 ) + 3 s + 8 = 0 D(s)=as(s+2)+3s+8=0 D(s)=as(s+2)+3s+8=0变形得： 1 + a s ( s + 2 ) 3 s + 8 = 0 1+\frac{as(s+2)}{3s+8}=0 1+3s+8as(s+2)=0
所以 W e q ( s ) = a s ( s + 2 ) 3 s + 8 W_{eq}(s)=\frac{as(s+2)}{3s+8} Weq(s)=3s+8as(s+2)
绘制根轨迹如图：

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