matlab用辛普森公式求积分_标准正态分布概率密度函数的定积分计算方法及Python实现代码...
最近利用碎片时间在读Allen B.Downey的《贝叶斯思维：统计建模的Python学习法》，顺便用手机上的Pythonista写实例。因为Pythonista没有scipy科学计算包，遇上需求标准正态累积分布函数的时候就只能抓瞎，为此决定自己写一个。累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）就是概率密度函数（Probability Density Function，PDF）的积分，利用原函数计算定积分的方法建立在牛顿-莱布尼兹公式之上
在知乎上查找一遍这个积分的计算方法，没找到理想的答案。所以决定写下来和大家一起学习一下。分别用数值积分法的复化辛普森公式和无穷级数的泰勒级数法求解这个积分，包括部分理论、算法和Python代码。
定积分
一、数值积分是利用黎曼积分等数学定义，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。
1. 矩形公式：就是常见的黎曼和，矩形的高由函数值来决定，可选择使用左矩形、右矩形或中矩形。
如图2所示，用矩形面积来拟合积分，公式为
复化矩形公式为
当
2. 梯形公式
为了计算出更加准确的定积分，采用梯形代替矩形计算定积分近似值，其思想是求若干个梯形的面积之和，这些梯形的长短边由函数值来决定。这些梯形左上角和右上角在被积函数上。这样，这些梯形的面积之和就约等于定积分的近似值。
如图5所示，单个梯形的公式为
区间
从图像上可以看出梯形公式的逼近速度比矩形公式快。
3. 辛普森公式
矩形法和梯形法都是用直线线段拟合函数曲线的方法，另一种形式是采用曲线段拟合函数，实现近似逼近的数值积分方法。辛普森法（Simpson's rule）是以二次曲线逼近的方式取代矩形或梯形积分公式，以求得定积分的数值近似解。
在区间
另一种方法是通过拉格朗日插值法，把三个点的坐标代入
两种方法最终都可得出辛普森公式：
具体推算过程请自行搜索（公式太难打，我懒）。
图9：
将积分区间
注意：端点
我们来看看辛普森公式的拟合速度。
在实际求解数值积分时，我们总是采用成倍加密节点的方法，就复化辛普森公式而言，若划分为
#-*- coding:utf-8 -*-
二、利用泰勒级数求解标准正态概率密度函数的定积分
把标准正态概率密度函数
再对各项积分：
我们知道标准正态分布函数
由以上两个公式可得出：
因为上面的公式是一个无穷级数，计算时只能对前面有限项相加。选择越多，结果越准确。但数值精度并不要求无限高，可选取50项就足够，因而这里
#定义泰勒级数求积分法
下面是运行代码，分别用两种方法计算
def 计算结果如下：
辛普森法计算结果由此可见两种方法计算结果近似，精确到了小数点后11位。
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