每日一题/014/三角函数/和差化积/求证：cos 2+cos 4+cos 6+...+cos 2n=sin ncos(n+1)/sin1

题目：
证明：
cos⁡2+cos⁡4+⋯+cos⁡2n=sin⁡ncos⁡(n+1)sin⁡1\cos 2+\cos 4+\cdots+\cos 2n=\frac{\sin n\cos(n+1)}{\sin 1}cos2+cos4+⋯+cos2n=sin1sinncos(n+1)

参考答案：
首先不加证明的给出两个公式（积化和差和和差化积其中的两个公式）

sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)]sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α−β)]

sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2\sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}sinα−sinβ=2cos2α+βsin2α−β

sin⁡1(cos⁡2+cos⁡4+⋯+cos⁡2n)=sin⁡1cos⁡2+sin⁡1cos⁡4+⋯+sin⁡1cos⁡2n=12(sin⁡3−sin⁡1)+12(sin⁡5−sin⁡3)+⋯+12(sin⁡(2n+1)−sin⁡(2n−1))=12(−sin⁡1+sin⁡3−sin⁡3+sin⁡5−sin⁡5+sin⁡7+⋯−sin⁡(2n−1)+sin⁡(2n+1))=12(sin⁡(2n+1)−sin⁡1)=cos⁡(n+1)sin⁡n\begin{aligned} \sin1(\cos2+\cos 4+\cdots+\cos 2n)&=\sin1\cos2+\sin1\cos4+\cdots+\sin1\cos2n\\ &=\frac{1}{2}(\sin 3-\sin1)+\frac{1}{2}(\sin5-\sin3)+\cdots+\frac{1}{2}(\sin(2n+1)-\sin(2n-1))\\ &=\frac{1}{2}(-\sin1+\sin3-\sin3+\sin 5-\sin 5+\sin7+\cdots-\sin(2n-1)+\sin(2n+1))\\ &=\frac{1}{2}(\sin(2n+1)-\sin1)\\ &=\cos(n+1)\sin n \end{aligned}sin1(cos2+cos4+⋯+cos2n)=sin1cos2+sin1cos4+⋯+sin1cos2n=21(sin3−sin1)+21(sin5−sin3)+⋯+21(sin(2n+1)−sin(2n−1))=21(−sin1+sin3−sin3+sin5−sin5+sin7+⋯−sin(2n−1)+sin(2n+1))=21(sin(2n+1)−sin1)=cos(n+1)sinn

所以

cos⁡2+cos⁡4+⋯+cos⁡2n=sin⁡ncos⁡(n+1)sin⁡1\cos 2+\cos 4+\cdots+\cos 2n=\frac{\sin n\cos(n+1)}{\sin 1}cos2+cos4+⋯+cos2n=sin1sinncos(n+1)

2021年1月9日23:24:07

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