title: 24考研数学每日一题Latex版（带解析）
date: 2023-01-28 11:49:26
plugins:

mathjax
tags:
学习
考研
categories:
考研数学

题目来源于武老师的每日一题，答案是自己做的，不太严谨，仅供参考

2022年11月1日

知识点：函数定义域

答案：
函数定义域是指自变量x的取值范围，不可以把x+1作为自变量，x才是自变量，同一个f()，括号内整体范围相同。由题意得0⩽x⩽a⇒1⩽x+1⩽a+1，所以f(x)定义域为[1,a+1]\text{函数定义域是指自变量}x\text{的取值范围，不可以把}x+1\text{作为自变量，}x\text{才是自变量，} \\ \text{同一个}f()\text{，括号内整体范围相同。由题意得}0\leqslant x\leqslant a\Rightarrow 1\leqslant x+1\leqslant a+1\text{，所以}f\left( x \right) \text{定义域为}\left[ 1,a+1 \right] 函数定义域是指自变量x的取值范围，不可以把x+1作为自变量，x才是自变量，同一个f()，括号内整体范围相同。由题意得0⩽x⩽a⇒1⩽x+1⩽a+1，所以f(x)定义域为[1,a+1]

2022年11月2日

知识点：函数定义域

答案：
f[φ(x)]=1−x2,f(x)=ex2⟹eφ2(x)=1−x,两边同时求ln⁡,φ2(x)=ln⁡(1−x)由题意得φ(x)≥0,两边开根号,φ(x)=ln⁡(1−x),负半边不要了，只留正的。定义域：ln⁡(1−x)≥0⇒1−x≥1⇒x≤0f\left[ \varphi \left( x \right) \right] =1-x^2,f\left( x \right) ={e^x}^{^2}\Longrightarrow e^{\varphi ^2\left( x \right)}=1-x,\text{两边同时求}\ln ,\varphi ^2\left( x \right) =\ln \left( 1-x \right) \\ \text{由题意得}\varphi \left( x \right) \ge 0,\text{两边开根号},\varphi \left( x \right) =\sqrt{\ln \left( 1-x \right)},\text{负半边不要了，只留正的。定义域：}\ln \left( 1-x \right) \ge 0\Rightarrow 1-x\ge 1\Rightarrow x\le 0 f[φ(x)]=1−x2,f(x)=ex2⟹eφ2(x)=1−x,两边同时求ln,φ2(x)=ln(1−x)由题意得φ(x)≥0,两边开根号,φ(x)=ln(1−x),负半边不要了，只留正的。定义域：ln(1−x)≥0⇒1−x≥1⇒x≤0

2022年11月3日

知识点：复合函数

答案：

g(x)={2−x,x≤0x+2,x≥0,f(x)={x2,x<0−x,x≥0,f(x)是g(x)的复合函数x2,x<0但是x2>0,−x,x≥0但是−x<0,所以g[f(x)]={2+x,x≥0x2+2,x<0,注意x的取值，与f(x)的取值是一致的g\left( x \right) =\begin{cases} 2-x, x\le 0\\ x+2,x\ge 0\\ \end{cases},f\left( x \right) =\begin{cases} x^2, x<0\\ -x,x\ge 0\\ \end{cases},f\left( x \right) \text{是}g\left( x \right) \text{的复合函数} \\ x^2,x<0\text{但是}x^2>0,-x,x\ge 0\text{但是}-x<0,\text{所以}g\left[ f\left( x \right) \right] =\begin{cases} 2+x^{}, x\ge 0\\ x^2+2,x<0\\ \end{cases},\text{注意}x\text{的取值，与}f\left( x \right) \text{的取值是一致的} g(x)={2−x,x≤0x+2,x≥0,f(x)={x2,x<0−x,x≥0,f(x)是g(x)的复合函数x2,x<0但是x2>0,−x,x≥0但是−x<0,所以g[f(x)]={2+x,x≥0x2+2,x<0,注意x的取值，与f(x)的取值是一致的

2022年11月4日

知识点：反函数

答案：

把f(x)分段拆开来看,当x<−1,y=1−2x2⇒x=±1−y2,因为x<−1,x=−1−y2,x=−1时,y=−1,所以x=−1−y2,y<−1。当−1≤x≤2时,y=x3⇒x=y3,当x=−1时,y=−1,当x=2时,y=8所以x=y3,−1≤y≤8。当x>2时,y=12x−16⇒x=y+1612,x=2,y=8,所以x=y+1612,y>8。把y换成x,g(x)={−1−x2,x<−1x3,−1≤x≤8x+1612,x>8\text{把}f\left( x \right) \text{分段拆开来看},\text{当}x<-1,y=1-2x^2\Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{1-y}{2}},\text{因为}x<-1,x=-\sqrt{\frac{1-y}{2}},x=-1\text{时},y=-1,\text{所以}x=-\sqrt{\frac{1-y}{2}},y<-1\text{。} \\ \text{当}-1\le x\le 2\text{时},y=x^3\Rightarrow x=\sqrt[3]{y},\text{当}x=-1\text{时},y=-1,\text{当}x=2\text{时},y=8\text{所以}x=\sqrt[3]{y},-1\le y\le 8\text{。} \\ \text{当}x>2\text{时},y=12x-16\Rightarrow x=\frac{y+16}{12},x=2,y=8,\text{所以}x=\frac{y+16}{12},y>8\text{。} \\ \text{把}y\text{换成}x,g\left( x \right) =\left\{ \begin{array}{c} -\sqrt{\frac{1-x}{2}},x<-1\\ \sqrt[3]{x},-1\le x\le 8\\ \frac{x+16}{12},x>8\\ \end{array} \right. 把f(x)分段拆开来看,当x<−1,y=1−2x2⇒x=±21−y,因为x<−1,x=−21−y,x=−1时,y=−1,所以x=−21−y,y<−1。当−1≤x≤2时,y=x3⇒x=3y,当x=−1时,y=−1,当x=2时,y=8所以x=3y,−1≤y≤8。当x>2时,y=12x−16⇒x=12y+16,x=2,y=8,所以x=12y+16,y>8。把y换成x,g(x)=⎩⎨⎧−21−x,x<−13x,−1≤x≤812x+16,x>8

2022年11月5日

知识点：函数奇偶性

重点

答案：

设h(x)为奇函数，g(x)为偶函数可以使f(x)=h(x)+g(x)成立，h(−x)=−h(x),g(−x)=g(x)f(−x)=h(−x)+g(−x)=−h(x)+g(x),{f(x)=h(x)+g(x)f(−x)=−h(x)+g(x)⇒g(x)=12[f(x)+f(−x)](x与−x互换等式结果一样，偶函数),h(x)=12[f(x)−f(−x)](x与−x互换等式结果一样，奇函数)\text{设}h\left( x \right) \text{为奇函数，}g\left( x \right) \text{为偶函数可以使}f\left( x \right) =h\left( x \right) +g\left( x \right) \text{成立，}h\left( -x \right) =-h\left( x \right) ,g\left( -x \right) =g\left( x \right) \\ f\left( -x \right) =h\left( -x \right) +g\left( -x \right) =-h\left( x \right) +g\left( x \right) ,\left\{ \begin{array}{c} f\left( x \right) =h\left( x \right) +g\left( x \right)\\ f\left( -x \right) =-h\left( x \right) +g\left( x \right)\\ \end{array}\Rightarrow g\left( x \right) =\frac{1}{2}\left[ f\left( x \right) +f\left( -x \right) \right] \left( x\text{与}-x\text{互换等式结果一样，偶函数} \right) ,h\left( x \right) =\frac{1}{2}\left[ f\left( x \right) -f\left( -x \right) \right] \left( x\text{与}-x\text{互换等式结果一样，奇函数} \right) \right. 设h(x)为奇函数，g(x)为偶函数可以使f(x)=h(x)+g(x)成立，h(−x)=−h(x),g(−x)=g(x)f(−x)=h(−x)+g(−x)=−h(x)+g(x),{f(x)=h(x)+g(x)f(−x)=−h(x)+g(x)⇒g(x)=21[f(x)+f(−x)](x与−x互换等式结果一样，偶函数),h(x)=21[f(x)−f(−x)](x与−x互换等式结果一样，奇函数)

2022年11月6日

知识点：函数基本性质

答案：

f(−x)=−xtan⁡(−x)⋅esin⁡−x=xtan⁡x⋅e−sin⁡x,f(x)≠f(x),A错esin⁡x为周期函数，tan⁡x为周期函数，x单调递增，相乘后不是周期函数，C错x,tan⁡x在(−π2,π2)上单调递增，esin⁡x为周期函数，则f(x)不是单调函数，D错，证明出B正确f\left( -x \right) =-x\tan \left( -x \right) \cdot e^{\sin -x}=x\tan x\cdot e^{-\sin x},f\left( x \right) \ne f\left( x \right) ,A\text{错} \\ e^{\sin x}\text{为周期函数，}\tan x\text{为周期函数，}x\text{单调递增，相乘后不是周期函数，}C\text{错} \\ x,\tan x\text{在}\left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right) \text{上单调递增，}e^{\sin x}\text{为周期函数，则}f\left( x \right) \text{不是单调函数，}D\text{错，证明出}B\text{正确} f(−x)=−xtan(−x)⋅esin−x=xtanx⋅e−sinx,f(x)=f(x),A错esinx为周期函数，tanx为周期函数，x单调递增，相乘后不是周期函数，C错x,tanx在(−2π,2π)上单调递增，esinx为周期函数，则f(x)不是单调函数，D错，证明出B正确

2022年11月7日

知识点：函数的有界性

答案：

lim⁡x→−1f(x)=−sin⁡3−1⋅−2⋅9=sin⁡318,lim⁡x→0−f(x)=sin⁡2−4,A正确lim⁡x→0+f(x)=sin⁡24,lim⁡x→1−f(x)=1x−1⋅−sin⁡1=−∞,B错lim⁡x→1+f(x)=1x−1⋅−sin⁡1=+∞,lim⁡x→2−f(x)=1x−2=−∞,C错lim⁡x→2+f(x)=1x−2=+∞，lim⁡x→3f(x)=sin⁡12,D错\lim_{x\rightarrow -1} f\left( x \right) =\frac{-\sin 3}{-1\cdot -2\cdot 9}=\frac{\sin 3}{18},\lim_{x\rightarrow 0^-} f\left( x \right) =\frac{\sin 2}{-4},A\text{正确} \\ \lim_{x\rightarrow 0^+} f\left( x \right) =\frac{\sin 2}{4},\lim_{x\rightarrow 1^-} f\left( x \right) =\frac{1}{x-1}\cdot -\sin 1=-\infty ,B\text{错} \\ \lim_{x\rightarrow 1^+} f\left( x \right) =\frac{1}{x-1}\cdot -\sin 1=+\infty ,\lim_{x\rightarrow 2^-} f\left( x \right) =\frac{1}{x-2}=-\infty ,C\text{错} \\ \lim_{x\rightarrow 2^+} f\left( x \right) =\frac{1}{x-2}=+\infty \text{，}\lim_{x\rightarrow 3} f\left( x \right) =\frac{\sin 1}{2},D\text{错} x→−1limf(x)=−1⋅−2⋅9−sin3=18sin3,x→0−limf(x)=−4sin2,A正确x→0+limf(x)=4sin2,x→1−limf(x)=x−11⋅−sin1=−∞,B错x→1+limf(x)=x−11⋅−sin1=+∞,x→2−limf(x)=x−21=−∞,C错x→2+limf(x)=x−21=+∞，x→3limf(x)=2sin1,D错

2022年11月8日

知识点：极限的计算

原式=lim⁡n→∞[1+2+...+n−1+2+...+(n−1)]=lim⁡n→∞[n(1+n)2−(1+n−1)n2]=lim⁡n→∞[n(1+n)2−n22]=lim⁡n→∞[n+n2−n22n(1+n)2+n22]=2lim⁡n→∞[11+1n+1]=22\begin{aligned} \text{原式}& =\lim_{n\rightarrow \infty} \left[ \sqrt{1+2+...+n}-\sqrt{1+2+...+\left( n-1 \right)} \right] \\ & =\lim_{n\rightarrow \infty} \left[ \sqrt{\frac{n\left( 1+n \right)}{2}}-\sqrt{\frac{\left( 1+n-1 \right) n}{2}} \right] \\ & =\lim_{n\rightarrow \infty} \left[ \sqrt{\frac{n\left( 1+n \right)}{2}}-\sqrt{\frac{n^2}{2}} \right] \\ & =\lim_{n\rightarrow \infty} \left[ \frac{\frac{n+n^2-n^2}{2}}{\sqrt{\frac{n\left( 1+n \right)}{2}}+\sqrt{\frac{n^2}{2}}} \right] \\ & =\sqrt{2}\lim_{n\rightarrow \infty} \left[ \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1}} \right] \\ & =\frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} 原式=n→∞lim[1+2+...+n−1+2+...+(n−1)]=n→∞lim[2n(1+n)−2(1+n−1)n]=n→∞lim[2n(1+n)−2n2]=n→∞lim2n(1+n)+2n22n+n2−n2=2n→∞lim1+n1+11=22

2022年11月9日

知识点：极限的计算

注意根号下x的平方，在x<0时，得到的值是负值

答案：

法一(直接法)：

原式=lim⁡x→−∞(−x)[4+1x−1x2−1−1x](−x)1+sin⁡xx2=lim⁡x→−∞4+1x−1x2−1−1x1+sin⁡xx2(x<0,x2<0)=1\begin{aligned} \text{原式}& =\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\left( -x \right) \left[ \sqrt{4+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}-1-\frac{1}{x} \right]}{\left( -x \right) \sqrt{1+\frac{\sin x}{x^2}}} \\ & =\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{4+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}-1-\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{\sin x}{x^2}}}\left( x<0,\sqrt{x^2}<0 \right) \\ & =1 \end{aligned} 原式=x→−∞lim(−x)1+x2sinx(−x)[4+x1−x21−1−x1]=x→−∞lim1+x2sinx4+x1−x21−1−x1(x<0,x2<0)=1

法二(抓大头)：
原式=lim⁡x→−∞4x2+xx2=lim⁡x→−∞−2x+x−x=1\begin{aligned} \text{原式}& =\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{4x^2}+x}{\sqrt{x^2}} \\ & =\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{-2x+x}{-x} \\ & =1 \end{aligned} 原式=x→−∞limx24x2+x=x→−∞lim−x−2x+x=1

2022年11月10日

知识点：判别左右极限

答案：

原式=lim⁡x→0+(2+e1x1+e4x+sin⁡x∣x∣)=lim⁡x→0+(0+1)(e4x比e1x增长快)=1原式=lim⁡x→0−(2+e1x1+e4x+sin⁡x∣x∣)=lim⁡x→0−(2+01+0+sin⁡x−x)=(2−1)=1lim⁡x→0+左=lim⁡x→0−右=1\begin{aligned} \text{原式}& =\lim_{x\rightarrow 0^+} \left( \frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{\left| x \right|} \right) \\ & =\lim_{x\rightarrow 0^+} \left( 0+1 \right) \,\, \left( e^{\frac{4}{x}}\text{比}e^{\frac{1}{x}}\text{增长快} \right) \\ & =1 \\ \text{原式}& =\lim_{x\rightarrow 0^-} \left( \frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{\left| x \right|} \right) \\ & =\lim_{x\rightarrow 0^-} \left( \frac{2+0}{1+0}+\frac{\sin x}{-x} \right) \\ & =\left( 2-1 \right) \\ & =1 \\ \lim_{x\rightarrow 0^+} \text{左}&=\lim_{x\rightarrow 0^-} \text{右}=1 \end{aligned} 原式原式x→0+lim左=x→0+lim(1+ex42+ex1+∣x∣sinx)=x→0+lim(0+1)(ex4比ex1增长快)=1=x→0−lim(1+ex42+ex1+∣x∣sinx)=x→0−lim(1+02+0+−xsinx)=(2−1)=1=x→0−lim右=1

2022年11月11日

知识点：四种方法计算极限

答案：

法一（直接法）：
法一：原式=lim⁡x→∞(x2+x−x2+xx2+x+x2−x)=lim⁡x→∞(2xx2+x+x2−x)=lim⁡x→∞(21+1x+1−1x)=1\begin{aligned} \text{法一：原式}&=\lim_{x\rightarrow \infty} \left( \frac{x^2+x-x^2+x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}} \right) \\ &=\lim_{x\rightarrow \infty} \left( \frac{2x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}} \right) \\ &=\lim_{x\rightarrow \infty} \left( \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}} \right) \\ &=1 \end{aligned} 法一：原式=x→∞lim(x2+x+x2−xx2+x−x2+x)=x→∞lim(x2+x+x2−x2x)=x→∞lim1+x1+1−x12=1
法二（拉格朗日）：
法二：设f(x)=x根据拉格朗日中值定理，f(x2+x)−f(x2−x)=f′(ξ)(x2+x−x2+x)=2xf′(ξ)，ξ介于x2+x与x2−x之间，ξ∼x2,f′(ξ)=12ξ原式=lim⁡x→∞2xf′(ξ)=lim⁡x→∞xξ=1\text{法二：设}f\left( x \right) =\sqrt{x} \\ \text{根据拉格朗日中值定理，}f\left( x^2+x \right) -f\left( x^2-x \right) =f\prime\left( \xi \right) \left( x^2+x-x^2+x \right) =2xf\prime\left( \xi \right) \text{，}\xi \text{介于}x^2+x\text{与}x^2-x\text{之间，}\xi \sim x^2,f\prime\left( \xi \right) =\frac{1}{2\sqrt{\xi}} \\ \text{原式}=\lim_{x\rightarrow \infty} 2xf\prime\left( \xi \right) =\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x}{\sqrt{\xi}}=1 法二：设f(x)=x根据拉格朗日中值定理，f(x2+x)−f(x2−x)=f′(ξ)(x2+x−x2+x)=2xf′(ξ)，ξ介于x2+x与x2−x之间，ξ∼x2,f′(ξ)=2ξ1原式=x→∞lim2xf′(ξ)=x→∞limξx=1
法三（常见等价无穷小）：
法三：原式=lim⁡x→∞x2−x[1+2xx2−x−1]=lim⁡x→∞x2−x⋅1x⋅2xx2−x=1\begin{aligned} \text{法三：原式}&=\lim_{x\rightarrow \infty} \sqrt{x^2-x}\left[ \sqrt{1+\frac{2x}{x^2-x}}-1 \right] \\ &=\lim_{x\rightarrow \infty} \sqrt{x^2-x}\cdot \frac{1}{x}\cdot \frac{2x}{x^2-x} \\ &=1 \end{aligned} 法三：原式=x→∞limx2−x[1+x2−x2x−1]=x→∞limx2−x⋅x1⋅x2−x2x=1
法四（等价无穷小相减，减项不等价的话，可以用等价无穷小减）：
法四：原式=lim⁡x→∞x(1+1x−1−1x)=lim⁡x→∞x((1+1x−1)−(1−1x−1))=lim⁡x→∞x(12x+12x)=1\begin{aligned} \text{法四：原式}&=\lim_{x\rightarrow \infty} x\left( \sqrt{1+\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}} \right) \\ &=\lim_{x\rightarrow \infty} x\left( \left( \sqrt{1+\frac{1}{x}}-1 \right) -\left( \sqrt{1-\frac{1}{x}}-1 \right) \right) \\ &=\lim_{x\rightarrow \infty} x\left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{2x} \right) \\ &=1 \end{aligned} 法四：原式=x→∞limx(1+x1−1−x1)=x→∞limx((1+x1−1)−(1−x1−1))=x→∞limx(2x1+2x1)=1

2022年11月12日

知识点：三种方法计算极限

答案：

法一（直接法）：
法一：原式=lim⁡x→01+tan⁡x−1−sin⁡xx(1−cos⁡)(1+tan⁡x+1+sin⁡x)=lim⁡x→0tan⁡x−sin⁡x12x3⋅2=lim⁡x→0tan⁡x−sin⁡xx3=lim⁡x→0x+x33−(x−x36)+o(x)x3=12\begin{aligned} \text{法一：原式}&=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1+\tan x-1-\sin x}{x\left( 1-\cos \right) \left( \sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x} \right)} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\frac{1}{2}x^3\cdot 2} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^3} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x+\frac{x^3}{3}-\left( x-\frac{x^3}{6} \right) +o\left( x \right)}{x^3} \\ &=\frac{1}{2} \end{aligned} 法一：原式=x→0limx(1−cos)(1+tanx+1+sinx)1+tanx−1−sinx=x→0lim21x3⋅2tanx−sinx=x→0limx3tanx−sinx=x→0limx3x+3x3−(x−6x3)+o(x)=21

法二（拉格朗日中值定理）：
法二：设f(x)=x，根据拉格朗日中值定理，f(1+tan⁡x)−f(1+sin⁡x)=f′(ξ)(tan⁡x−sin⁡x)原式=lim⁡x→0f′(ξ)(tan⁡x−sin⁡x)12x3ξ在1+tan⁡x与1+sin⁡x之间，x趋于0，1+tan⁡x与1+sin⁡x都趋于0，根据夹逼定理，ξ∼1原式=lim⁡x→012(tan⁡x−sin⁡x)12x3=lim⁡x→0tan⁡x−sin⁡xx3=lim⁡x→0x+x33−(x−x36)+o(x)x3=12\text{法二：设}f\left( x \right) =\sqrt{x}\text{，根据拉格朗日中值定理，}f\left( 1+\tan x \right) -f\left( 1+\sin x \right) =f\prime\left( \xi \right) \left( \tan x-\sin x \right) \\ \text{原式}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f\prime\left( \xi \right) \left( \tan x-\sin x \right)}{\frac{1}{2}x^3} \\ \xi \text{在}1+\tan x\text{与}1+\sin x\text{之间，}x\text{趋于}0\text{，}1+\tan x\text{与}1+\sin x\text{都趋于}0\text{，根据夹逼定理，}\xi \sim 1 \\ \begin{aligned} \text{原式}&=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2}\left( \tan x-\sin x \right)}{\frac{1}{2}x^3} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^3} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x+\frac{x^3}{3}-\left( x-\frac{x^3}{6} \right) +o\left( x \right)}{x^3} \\ &=\frac{1}{2} \end{aligned} 法二：设f(x)=x，根据拉格朗日中值定理，f(1+tanx)−f(1+sinx)=f′(ξ)(tanx−sinx)原式=x→0lim21x3f′(ξ)(tanx−sinx)ξ在1+tanx与1+sinx之间，x趋于0，1+tanx与1+sinx都趋于0，根据夹逼定理，ξ∼1原式=x→0lim21x321(tanx−sinx)=x→0limx3tanx−sinx=x→0limx3x+3x3−(x−6x3)+o(x)=21
法三（等价无穷小）：
法三：原式=lim⁡x→01+tan⁡x−1+sin⁡x12x3=lim⁡x→0tan⁡x+1−1−(1+sin⁡x−1)12x3=lim⁡x→012tan⁡x−12sin⁡x12x3=lim⁡x→0tan⁡x−sin⁡xx3=lim⁡x→0x+x33−(x−x36)+o(x)x3=12\begin{aligned} \text{法三：原式}&=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{\frac{1}{2}x^3} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{\tan x+1}-1-\left( \sqrt{1+\sin x}-1 \right)}{\frac{1}{2}x^3} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2}\tan x-\frac{1}{2}\sin x}{\frac{1}{2}x^3} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^3} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x+\frac{x^3}{3}-\left( x-\frac{x^3}{6} \right) +o\left( x \right)}{x^3} \\ &=\frac{1}{2} \end{aligned} 法三：原式=x→0lim21x31+tanx−1+sinx=x→0lim21x3tanx+1−1−(1+sinx−1)=x→0lim21x321tanx−21sinx=x→0limx3tanx−sinx=x→0limx3x+3x3−(x−6x3)+o(x)=21

2022年11月13日

知识点：求极限确定参数

答案：
法一（直接法）：
原式=lim⁡x→0ex2−1−(cos2x−1)axb=lim⁡x→0x2+2x2axb=lim⁡x→03x2axb=1所以a=3,b=2\begin{aligned} 原式&=\lim_{x \to 0 } \frac{e^{x^{2}}-1-(cos2x-1) }{ax^{b}} \\ &=\lim_{x \to 0 } \frac{x^{2}+2x^{2} }{ax^{b}} \\ &= \lim_{x \to 0 } \frac{3x^{2} }{ax^{b}}=1 \\ 所以a&=3,b=2 \end{aligned} 原式所以a=x→0limaxbex2−1−(cos2x−1)=x→0limaxbx2+2x2=x→0limaxb3x2=1=3,b=2
法二（泰勒公式）：
原式=lim⁡x→0(1+x2)−(1−2x2)axb=lim⁡x→03x2axb=1所以a=3,b=2\begin{aligned} 原式&=\lim_{x \to 0 } \frac{(1+x^{2} )-(1-2x^{2} ) }{ax^{b}} \\ &=\lim_{x \to 0 } \frac{3x^{2} }{ax^{b}}=1 \\ 所以a&=3,b=2 \end{aligned} 原式所以a=x→0limaxb(1+x2)−(1−2x2)=x→0limaxb3x2=1=3,b=2

2022年11月14日

知识点：等价无穷小

答案：

x→0,φ(x)=0,A错，若要满足ABCD，φ(x)不能为0可以认为极端情况φ(x)≡0，都错，假如加上条件φ(x)≠0则都对书上的条件是lim⁡Δ→0sin⁡ΔΔ=1，做这种题要注意φ(x)的取值x\rightarrow 0,\varphi \left( x \right) =0,A\text{错，若要满足}ABCD\text{，}\varphi \left( x \right) \text{不能为}0 \\ \text{可以认为极端情况}\varphi \left( x \right) \equiv 0\text{，都错，假如加上条件}\varphi \left( x \right) \ne 0\text{则都对} \\ \text{书上的条件是}\lim_{\varDelta \rightarrow 0} \frac{\sin \varDelta}{\varDelta}=1\text{，做这种题要注意}\varphi \left( x \right) \text{的取值} x→0,φ(x)=0,A错，若要满足ABCD，φ(x)不能为0可以认为极端情况φ(x)≡0，都错，假如加上条件φ(x)=0则都对书上的条件是Δ→0limΔsinΔ=1，做这种题要注意φ(x)的取值

2022年11月15日

知识点：求极限

答案：

原式=lim⁡x→0x+x36−(x−x33)x−x36−(x+x33)=lim⁡x→0x32−x32=−1\begin{aligned} \text{原式}&=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x+\frac{x^3}{6}-\left( x-\frac{x^3}{3} \right)}{x-\frac{x^3}{6}-\left( x+\frac{x^3}{3} \right)} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{-\frac{x^3}{2}} \\ &=-1 \end{aligned} 原式=x→0limx−6x3−(x+3x3)x+6x3−(x−3x3)=x→0lim−2x32x3=−1

2022年11月16日

知识点：求极限

答案：
法一（直接法）：
原式=lim⁡x→0ln⁡xln⁡(1+x)+1−1x=lim⁡x→0xln⁡(1+x)−1x=lim⁡x→0x−ln⁡(1+x)ln⁡(1+x)x=lim⁡x→0x−ln⁡(1+x)xln⁡(1+x)=lim⁡x→0x−(x−x22)x2=lim⁡x→0x22x2=12\begin{aligned} \text{原式}&=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln \frac{x}{\ln \left( 1+x \right)}+1-1}{x} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{x}{\ln \left( 1+x \right)}-1}{x} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{x-\ln \left( 1+x \right)}{\ln \left( 1+x \right)}}{x} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x-\ln \left( 1+x \right)}{x\ln \left( 1+x \right)} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x-\left( x-\frac{x^2}{2} \right)}{x^2} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} \\ &=\frac{1}{2} \end{aligned} 原式=x→0limxlnln(1+x)x+1−1=x→0limxln(1+x)x−1=x→0limxln(1+x)x−ln(1+x)=x→0limxln(1+x)x−ln(1+x)=x→0limx2x−(x−2x2)=x→0limx22x2=21
法二（拉格朗日中值定理）：
原式=lim⁡x→0ln⁡x−ln⁡(ln⁡(1+x))x,设f(x)=ln⁡x,由拉格朗日中值定理得f(x)−f(ln⁡(1+x))=f′(ξ)(x−ln⁡(1+x))ξx介于xx与ln⁡(x+1)x之间，x趋于0,xx→1,ln⁡(1+x)x→1，ξx→1,原式=lim⁡x→0f′(ξ)(x−ln⁡(1+x))x=lim⁡x→0x22ξx=12lim⁡x→0xξ=1x\text{原式}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln x-\ln \left( \ln \left( 1+x \right) \right)}{x},\text{设}f\left( x \right) =\ln x,\text{由拉格朗日中值定理得}f\left( x \right) -f\left( \ln \left( 1+x \right) \right) =f\prime\left( \xi \right) \left( x-\ln \left( 1+x \right) \right) \\ \frac{\xi}{x}\text{介于}\frac{x}{x}\text{与}\frac{\ln \left( x+1 \right)}{x}\text{之间，}x\text{趋于}0,\frac{x}{x}\rightarrow 1,\frac{\ln \left( 1+x \right)}{x}\rightarrow 1\text{，}\frac{\xi}{x}\rightarrow 1,\text{原式}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f\prime\left( \xi \right) \left( x-\ln \left( 1+x \right) \right)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{\xi x}=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{\xi}=\frac{1}{x} 原式=x→0limxlnx−ln(ln(1+x)),设f(x)=lnx,由拉格朗日中值定理得f(x)−f(ln(1+x))=f′(ξ)(x−ln(1+x))xξ介于xx与xln(x+1)之间，x趋于0,xx→1,xln(1+x)→1，xξ→1,原式=x→0limxf′(ξ)(x−ln(1+x))=x→0limξx2x2=21x→0limξx=x1

2022年11月17日

知识点：小心经错标零

答案：
原式=lim⁡x→∞exex2ln⁡(1+1x)=lim⁡x→∞ex−x2ln⁡(1+1x)=lim⁡x→∞ex2(1x−ln⁡(1+1x))=e12\begin{aligned} \text{原式}&=\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{e^x}{{e^x}^{^2\ln \left( 1+\frac{1}{x} \right)}} \\ &=\lim_{x\rightarrow \infty} e^{x-x^2\ln \left( 1+\frac{1}{x} \right)} \\ &=\lim_{x\rightarrow \infty} e^{x^2\left( \frac{1}{x}-\ln \left( 1+\frac{1}{x} \right) \right)} \\ &=e^{\frac{1}{2}} \end{aligned} 原式=x→∞limex2ln(1+x1)ex=x→∞limex−x2ln(1+x1)=x→∞limex2(x1−ln(1+x1))=e21
有二级结论x−ln⁡(1+x)∼12x2\text{有二级结论}x-\ln \left( 1+x \right) \sim \frac{1}{2}x^2 有二级结论x−ln(1+x)∼21x2

2022年11月18日

知识点：求极限

答案：
设f(x)=cos⁡x,f(x)−f(sin⁡x)=f′(ξ)(x−sin⁡x),ξ介于x与sin⁡x之间,所以ξ→0原式=lim⁡x→0f′(ξ)(x−sin⁡x)x4=lim⁡x→0−sin⁡ξ(x−sin⁡x)x4=−lim⁡x→0x−sin⁡xx3=−lim⁡x→016x3x3=−16\begin{aligned} \text{设}f\left( x \right) &=\cos x,f\left( x \right) -f\left( \sin x \right) =f\prime\left( \xi \right) \left( x-\sin x \right) ,\xi \text{介于}x\text{与}\sin x\text{之间},\text{所以}\xi \rightarrow 0 \\ \text{原式}&=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f\prime\left( \xi \right) \left( x-\sin x \right)}{x^4} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{-\sin \xi \left( x-\sin x \right)}{x^4} \\ &=-\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^3} \\ &=-\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{6}x^3}{x^3} \\ &=-\frac{1}{6} \end{aligned} 设f(x)原式=cosx,f(x)−f(sinx)=f′(ξ)(x−sinx),ξ介于x与sinx之间,所以ξ→0=x→0limx4f′(ξ)(x−sinx)=x→0limx4−sinξ(x−sinx)=−x→0limx3x−sinx=−x→0limx361x3=−61

2022年11月19日

知识点：求极限（偶数年真题）

答案：
设f(x)=arctanx,f(x+1)−f(x)=f′(ξ)(x+1−x),f′(ξ)=11+ξ2,ξ介于x与x+1之间，x→∞,ξ→∞原式=lim⁡x→∞x2[f′(ξ)]=lim⁡x→∞x21+ξ2=1\begin{aligned} 设f(x)&=arctanx,f(x+1)-f(x)=f\prime (\xi )(x+1-x),f\prime (\xi )=\frac{1}{1+\xi^2} , \xi 介于x与x+1之间，x\rightarrow \infty ,\xi \rightarrow \infty \\ 原式&=\lim_{x \to\infty }x^2[f\prime (\xi )] \\ &=\lim_{x \to\infty }\frac{x^2}{1+\xi ^2} \\ &=1 \end{aligned} 设f(x)原式=arctanx,f(x+1)−f(x)=f′(ξ)(x+1−x),f′(ξ)=1+ξ21,ξ介于x与x+1之间，x→∞,ξ→∞=x→∞limx2[f′(ξ)]=x→∞lim1+ξ2x2=1

2022年11月20日

知识点：求极限（这道题不会真说不过去了）

答案：

设f(x)=arctan⁡x,f(an)−f(an+1)=f′(ξ)(an−an+1),ξ介于an与an+1之间,n→∞,an→0,an+1→0,ξ→0原式=lim⁡n→∞n2[11+ξ2(an+a−ann(n+1))]=lim⁡n→∞n2[an2+n]=lim⁡n→∞a1+1n=a\begin{aligned} \text{设}f\left( x \right)& =arc\tan x,f\left( \frac{a}{n} \right) -f\left( \frac{a}{n+1} \right) =f\prime\left( \xi \right) \left( \frac{a}{n}-\frac{a}{n+1} \right) ,\xi \text{介于}\frac{a}{n}\text{与}\frac{a}{n+1}\text{之间},n\rightarrow \infty ,\frac{a}{n}\rightarrow 0,\frac{a}{n+1}\rightarrow 0,\xi \rightarrow 0 \\ \text{原式}&=\lim_{n\rightarrow \infty} n^2\left[ \frac{1}{1+\xi ^2}\left( \frac{an+a-an}{n\left( n+1 \right)} \right) \right] \\ &=\lim_{n\rightarrow \infty} n^2\left[ \frac{a}{n^2+n} \right] \\ &=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a}{1+\frac{1}{n}} \\ &=a \end{aligned} 设f(x)原式=arctanx,f(na)−f(n+1a)=f′(ξ)(na−n+1a),ξ介于na与n+1a之间,n→∞,na→0,n+1a→0,ξ→0=n→∞limn2[1+ξ21(n(n+1)an+a−an)]=n→∞limn2[n2+na]=n→∞lim1+n1a=a

2022年11月21日

知识点：求极限（今天你拉格朗日了吗）

设f(x)=sin⁡x,f(x+1)−f(x)=f′(ξ)(x+1−x)=f′(ξ),ξ在x,x+1之间，x→∞,ξ→∞原式=lim⁡x→∞f′(ξ)=lim⁡x→∞cos⁡ξ2ξ=0\begin{aligned} \text{设}f\left( x \right) &=\sin \sqrt{x},f\left( x+1 \right) -f\left( x \right) =f\prime\left( \xi \right) \left( x+1-x \right) =f\prime\left( \xi \right) ,\xi \text{在}x,x+1\text{之间，}x\rightarrow \infty ,\xi \rightarrow \infty \\ \text{原式}&=\lim_{x\rightarrow \infty} f\prime\left( \xi \right) \\ &=\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\cos \sqrt{\xi}}{2\sqrt{\xi}} \\ &=0 \end{aligned} 设f(x)原式=sinx,f(x+1)−f(x)=f′(ξ)(x+1−x)=f′(ξ),ξ在x,x+1之间，x→∞,ξ→∞=x→∞limf′(ξ)=x→∞lim2ξcosξ=0

2022年11月22日

知识点：求极限

重点

答案：
法一（泰勒公式）：

原式=lim⁡x→0[ln⁡(1+tan⁡2x)−ln⁡(1+x2)ln⁡(1+x2)ln⁡(1+tan⁡2x)]=lim⁡x→0[(tan⁡x−x)(tan⁡x+x)x4]=lim⁡x→0[(x+x33−x)(2x)x4]=23\begin{aligned} \text{原式}&=\lim_{x\rightarrow 0} \left[ \frac{\ln \left( 1+\tan ^2x \right) -\ln \left( 1+x^2 \right)}{\ln \left( 1+x^2 \right) \ln \left( 1+\tan ^2x^{} \right)} \right] \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \left[ \frac{\left( \tan x-x \right) \left( \tan x+x \right)}{x^4} \right] \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \left[ \frac{\left( x+\frac{x^3}{3}-x \right) \left( 2x \right)}{x^4} \right] \\ &=\frac{2}{3} \end{aligned} 原式=x→0lim[ln(1+x2)ln(1+tan2x)ln(1+tan2x)−ln(1+x2)]=x→0lim[x4(tanx−x)(tanx+x)]=x→0limx4(x+3x3−x)(2x)=32
法二（拉格朗日中值定理）：

原式=lim⁡x→0[ln⁡(1+tan⁡2x)−ln⁡(1+x2)ln⁡(1+x2)ln⁡(1+tan⁡2x)],设f(x)=ln⁡x,f(1+tan⁡2x)−f(1+x2)=f′(ξ)(tan⁡2x−x2)=lim⁡x→0[1ξ(tan⁡2x−x2)ln⁡(1+x2)ln⁡(1+tan⁡2x)],ξ介于1+tan⁡2x与1+x2之间，x→0,ξ→1=lim⁡x→0[(tan⁡x−x)(tan⁡x+x)x4]=lim⁡x→0[(x+x33−x)(2x)x4]=23\begin{aligned} \text{原式}&=\lim_{x\rightarrow 0} \left[ \frac{\ln \left( 1+\tan ^2x \right) -\ln \left( 1+x^2 \right)}{\ln \left( 1+x^2 \right) \ln \left( 1+\tan ^2x^{} \right)} \right] ,\text{设}f\left( x \right) =\ln x,f\left( 1+\tan ^2x \right) -f\left( 1+x^2 \right) =f\prime\left( \xi \right) \left( \tan ^2x-x^2 \right) \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \left[ \frac{\frac{1}{\xi}\left( \tan ^2x-x^2 \right)}{\ln \left( 1+x^2 \right) \ln \left( 1+\tan ^2x^{} \right)} \right] ,\xi \text{介于}1+\tan ^2x\text{与}1+x^2\text{之间，}x\rightarrow 0,\xi \rightarrow 1 \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \left[ \frac{\left( \tan x-x \right) \left( \tan x+x \right)}{x^4} \right] \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \left[ \frac{\left( x+\frac{x^3}{3}-x \right) \left( 2x \right)}{x^4} \right] \\ &=\frac{2}{3} \end{aligned} 原式=x→0lim[ln(1+x2)ln(1+tan2x)ln(1+tan2x)−ln(1+x2)],设f(x)=lnx,f(1+tan2x)−f(1+x2)=f′(ξ)(tan2x−x2)=x→0lim[ln(1+x2)ln(1+tan2x)ξ1(tan2x−x2)],ξ介于1+tan2x与1+x2之间，x→0,ξ→1=x→0lim[x4(tanx−x)(tanx+x)]=x→0limx4(x+3x3−x)(2x)=32

2022年11月23日

知识点：求极限

重点

答案：

原式=lim⁡x→0[sin⁡2x−ln⁡(1+x2)ln⁡(1+x2)sin⁡2x]=lim⁡x→0[sin⁡2x−x2+x2−ln⁡(1+x2)x4]=lim⁡x→0(sin⁡2x−x2)+12x4x4=lim⁡x→0(sin⁡x−x)(sin⁡x+x)x4+lim⁡x→012x4x4=lim⁡x→02x⋅−16x3x4+lim⁡x→012x4x4=−13+12=16\begin{aligned} \text{原式}&=\lim_{x\rightarrow 0} \left[ \frac{\sin ^2x-\ln \left( 1+x^2 \right)}{\ln \left( 1+x^2 \right) \sin ^2x} \right] \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \left[ \frac{\sin ^2x-x^2+x^2-\ln \left( 1+x^2 \right)}{x^4} \right] \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\left( \sin ^2x-x^2 \right) +\frac{1}{2}x^4}{x^4} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\left( \sin x-x \right) \left( \sin x+x \right)}{x^4}+\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2}x^4}{x^4} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{2x\cdot -\frac{1}{6}x^3}{x^4}+\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2}x^4}{x^4} \\ &=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2} \\ &=\frac{1}{6} \end{aligned} 原式=x→0lim[ln(1+x2)sin2xsin2x−ln(1+x2)]=x→0lim[x4sin2x−x2+x2−ln(1+x2)]=x→0limx4(sin2x−x2)+21x4=x→0limx4(sinx−x)(sinx+x)+x→0limx421x4=x→0limx42x⋅−61x3+x→0limx421x4=−31+21=61

2022年11月24日

知识点：求极限

答案（洛必达）：

原式=lim⁡x→0e2xln⁡(x+2x)=elim⁡x→02ln⁡(x+2x)x=elim⁡x→02(1+2xln⁡2x+2x)=e2+2ln⁡2=e2⋅4=4e2\begin{aligned} \text{原式}&=\lim_{x\rightarrow 0} e^{\frac{2}{x}\ln \left( x+2^x \right)} \\ &=e^{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{2\ln \left( x+2^x \right)}{x}} \\ &=e^{\lim_{x\rightarrow 0} 2\left( \frac{1+2^x\ln 2}{x+2^x} \right)} \\ &=e^{2+2\ln 2} \\ &=e^2\cdot 4 \\ &=4e^2 \end{aligned} 原式=x→0limex2ln(x+2x)=elimx→0x2ln(x+2x)=elimx→02(x+2x1+2xln2)=e2+2ln2=e2⋅4=4e2

2022年11月25日

知识点：求极限

d
答案：
原式=lim⁡x→0e1sin⁡kxln⁡(1−tan⁡x1+tan⁡x)=lim⁡x→0e1sin⁡kxln⁡(1+tan⁡x−2tan⁡x1+tan⁡x)=elim⁡x→01sin⁡kxln⁡(1−2tan⁡x1+tan⁡x)=elim⁡x→0−1sin⁡kx⋅2tan⁡x1+tan⁡x=elim⁡x→0−2tan⁡x(1+tan⁡x)sin⁡kx=elim⁡x→0−2tan⁡xsin⁡kx=e,所以−2tan⁡xsin⁡kx=1,k=−2\begin{aligned} \text{原式}&=\lim_{x\rightarrow 0} e^{\frac{1}{\sin kx}\ln \left( \frac{1-\tan x}{1+\tan x} \right)} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} e^{\frac{1}{\sin kx}\ln \left( \frac{1+\tan x-2\tan x}{1+\tan x} \right)} \\ &=e^{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{\sin kx}\ln \left( 1-\frac{2\tan x}{1+\tan x} \right)} \\ &=e^{\lim_{x\rightarrow 0} -\frac{1}{\sin kx}\cdot \frac{2\tan x}{1+\tan x}} \\ &=e^{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{-2\tan x}{\left( 1+\tan x \right) \sin kx}} \\ &=e^{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{-2\tan x}{\sin kx}} \\ &=e,\text{所以}\frac{-2\tan x}{\sin kx}=1,k=-2 \end{aligned} 原式=x→0limesinkx1ln(1+tanx1−tanx)=x→0limesinkx1ln(1+tanx1+tanx−2tanx)=elimx→0sinkx1ln(1−1+tanx2tanx)=elimx→0−sinkx1⋅1+tanx2tanx=elimx→0(1+tanx)sinkx−2tanx=elimx→0sinkx−2tanx=e,所以sinkx−2tanx=1,k=−2

2022年11月26日

知识点：求极限(1的无穷次方型)

泰勒

原式=elim⁡x→01x2ln⁡(ex+ax2+bx)=elim⁡x→01x2ln⁡(ex+ax2+bx+1−1)=elim⁡x→0ex+ax2+bx−1x2=elim⁡x→01+x+x22+ax2+bx−1x2=elim⁡x→0(a+12)x2+(b+1)xx2=1,所以a=−12,b=−1\begin{aligned} \text{原式}&=e^{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x^2}\ln \left( e^x+ax^2+bx \right)} \\ &=e^{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x^2}\ln \left( e^x+ax^2+bx+1-1 \right)} \\ &=e^{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^x+ax^2+bx-1}{x^2}} \\ &=e^{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1+x+\frac{x^2}{2}+ax^2+bx-1}{x^2}} \\ &=e^{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\left( a+\frac{1}{2} \right) x^2+\left( b+1 \right) x}{x^2}} \\ &=1,\text{所以}a=-\frac{1}{2},b=-1 \end{aligned} 原式=elimx→0x21ln(ex+ax2+bx)=elimx→0x21ln(ex+ax2+bx+1−1)=elimx→0x2ex+ax2+bx−1=elimx→0x21+x+2x2+ax2+bx−1=elimx→0x2(a+21)x2+(b+1)x=1,所以a=−21,b=−1

2022年11月27日

知识点：求极限(1的无穷次方型)

答案：

原式=lim⁡x→0e11−cos⁡xln⁡(arctan⁡xx)=elim⁡x→011−cos⁡xln⁡(arctan⁡xx)=elim⁡x→011−cos⁡xln⁡(arctan⁡x−xx+1)=elim⁡x→0arctan⁡x−x(1−cos⁡x)x=elim⁡x→0−13x312x3=e−23\begin{aligned} \text{原式}&=\lim_{x\rightarrow 0} e^{\frac{1}{1-\cos x}\ln \left( \frac{\mathrm{arc}\tan x}{x} \right)} \\ &=e^{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{1-\cos x}\ln \left( \frac{\mathrm{arc}\tan x}{x} \right)} \\ &=e^{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{1-\cos x}\ln \left( \frac{\mathrm{arc}\tan x-x}{x}+1 \right)} \\ &=e^{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\mathrm{arc}\tan x-x}{\left( 1-\cos x \right) x}} \\ &=e^{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{3}x^3}{\frac{1}{2}x^3}} \\ &=e^{-\frac{2}{3}} \end{aligned} 原式=x→0lime1−cosx1ln(xarctanx)=elimx→01−cosx1ln(xarctanx)=elimx→01−cosx1ln(xarctanx−x+1)=elimx→0(1−cosx)xarctanx−x=elimx→021x3−31x3=e−32

2022年11月28日

知识点：求极限(1的无穷次方型)

n替换u

设u=1n,n→∞,u→0原式=lim⁡u→0(1utan⁡u)1u2=elim⁡u→01u2ln⁡(tan⁡u−uu+1)=elim⁡u→0tan⁡u−uu3=e13\begin{aligned} \text{设}u=&\frac{1}{n},n\rightarrow \infty ,u\rightarrow 0 \\ \text{原式}=&\lim_{u\rightarrow 0} \left( \frac{1}{u}\tan u \right) ^{\frac{1}{u^2}} \\ &=e^{\lim_{u\rightarrow 0} \frac{1}{u^2}\ln \left( \frac{\tan u-u}{u}+1 \right)} \\ &=e^{\lim_{u\rightarrow 0} \frac{\tan u-u}{u^3}} \\ &=e^{\frac{1}{3}} \end{aligned} 设u=原式=n1,n→∞,u→0u→0lim(u1tanu)u21=elimu→0u21ln(utanu−u+1)=elimu→0u3tanu−u=e31

2022年11月29日

知识点：求极限(1的无穷次方型)

答案：
原式=lim⁡n→∞(1+tan⁡1n1−tan⁡1n)n=elim⁡n→∞nln⁡(1+tan⁡1n1−tan⁡1n)=elim⁡n→∞nln⁡(1−tan⁡1n+2tan⁡1n1−tan⁡1n)=elim⁡n→∞nln⁡(1+2tan⁡1n1−tan⁡1n)=elim⁡n→∞2ntan⁡1n1−tan⁡1n=e2\begin{aligned} \text{原式}&=\lim_{n\rightarrow \infty} \left( \frac{1+\tan \frac{1}{n}}{1-\tan \frac{1}{n}} \right) ^n \\ &=e^{\lim_{n\rightarrow \infty} n\ln \left( \frac{1+\tan \frac{1}{n}}{1-\tan \frac{1}{n}} \right)} \\ &=e^{\lim_{n\rightarrow \infty} n\ln \left( \frac{1-\tan \frac{1}{n}+2\tan \frac{1}{n}}{1-\tan \frac{1}{n}} \right)} \\ &=e^{\lim_{n\rightarrow \infty} n\ln \left( 1+\frac{2\tan \frac{1}{n}}{1-\tan \frac{1}{n}} \right)} \\ &=e^{\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2n\tan \frac{1}{n}}{1-\tan \frac{1}{n}}} \\ &=e^2 \end{aligned} 原式=n→∞lim(1−tann11+tann1)n=elimn→∞nln(1−tann11+tann1)=elimn→∞nln(1−tann11−tann1+2tann1)=elimn→∞nln(1+1−tann12tann1)=elimn→∞1−tann12ntann1=e2

每天更新一道题

24考研数学每日一题（带解析）相关推荐

24考研数学每日一题(带解析)2023年12月1日-2023年12月31日
title: 24考研数学每日一题Latex版(带解析) date: 2023-01-28 11:49:26 plugins: mathjax tags: 学习考研 categories: 考研数学 ...
考研数学每日一题第四题
考研数学每日一题第一题
考研数学每日一题十六天
考研数学每日一题第十一天
考研数学每日一题第二十八天
数学——每日一题11 1.18 反函数求导
2021考研数学每日一题1.18_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ干杯~-bilibili https://www.bilibili.com/video/av84005688
考研数学三真题1987-2022年所有历年真题及解析（高清无水印）
下载链接:文库首页考试认证其它考研数学三真题1987-2022年所有历年真题及解析(高清无水印) 考研数学三真题1987-2022年所有历年真题及解析(高清无水印) https://download ...
考研数学二真题1987年-2022年所有历年真题及详解（高清无水印）
下载链接:考研数学二真题1987-2022年所有历年真题及解析(高清无水印)https://download.csdn.net/download/m0_57324918/87483974 历年试卷真题 ...

24考研数学每日一题（带解析）

2022年11月1日

知识点：函数定义域

2022年11月2日

知识点：函数定义域

2022年11月3日

知识点：复合函数

2022年11月4日

知识点：反函数

2022年11月5日

知识点：函数奇偶性

重点

2022年11月6日

知识点：函数基本性质

2022年11月7日

知识点：函数的有界性

2022年11月8日

知识点：极限的计算

2022年11月9日

知识点：极限的计算

2022年11月10日

知识点：判别左右极限

2022年11月11日

知识点：四种方法计算极限

2022年11月12日

知识点：三种方法计算极限

2022年11月13日

知识点：求极限确定参数

2022年11月14日

知识点：等价无穷小

2022年11月15日

知识点：求极限

2022年11月16日

知识点：求极限

2022年11月17日

知识点：小心经错标零

2022年11月18日

知识点：求极限

2022年11月19日

知识点：求极限（偶数年真题）

2022年11月20日

知识点：求极限（这道题不会真说不过去了）

2022年11月21日

知识点：求极限（今天你拉格朗日了吗）

2022年11月22日

知识点：求极限

重点

2022年11月23日

知识点：求极限

重点

2022年11月24日

知识点：求极限

2022年11月25日

知识点：求极限

2022年11月26日

知识点：求极限(1的无穷次方型)

泰勒

2022年11月27日

知识点：求极限(1的无穷次方型)

2022年11月28日

知识点：求极限(1的无穷次方型)

n替换u

2022年11月29日

知识点：求极限(1的无穷次方型)

每天更新一道题

24考研数学每日一题（带解析）相关推荐

最新文章

热门文章