电动力学每日一题 2021/10/10

上大学以前觉得自己大概数理化都能学得不错，后来大一有两门课让我认清了现实，一门是程序设计，另一门是模电。程序设计学C语言，我当时学得勤奋刻苦，每次上机课都会主动多待两个小时，但期中居然没及格。模电就更不要说了，甚至要分数乘二才能及格。经过这两门课后我接受了人确实会有很多不擅长的而且怎么学也学不会的东西。电磁理论电磁波经典电动力学基础内容差别不大，共同点是都带“电”，于是在模电课上发生的估计又要发生一次了。为了这学期期末分数不至于太难看，我打算试试每天记录一道题，日复一日必有精进。

(a) There’s no electric field inside the shell, so
E(r)={0,r<RQr^4πϵ0r2,r>R\textbf E(\textbf r) = \begin{cases} 0, r < R \\ \frac{Q \hat r}{ 4 \pi \epsilon_0 r^2}, r>R \end{cases}E(r)={0,r<R4πϵ0r2Qr^,r>R

The energy density is
E(r)=12ϵ0∣E∣2+12μ0∣H∣2={μ0I28π2r2sin⁡2θ,r<RQ232π2ϵ0r4+μ0I28π2r2sin⁡2θ,r>R\mathcal{E}(\textbf r) = \frac{1}{2} \epsilon_0 |\textbf E|^2 + \frac{1}{2}\mu_0 |\textbf H|^2=\begin{cases} \frac{\mu_0 I^2}{8 \pi^2 r^2 \sin^2 \theta},r<R \\ \frac{Q^2}{32 \pi^2 \epsilon_0 r^4}+\frac{\mu_0 I^2}{8 \pi^2 r^2 \sin^2 \theta} ,r>R\end{cases}E(r)=21ϵ0∣E∣2+21μ0∣H∣2={8π2r2sin2θμ0I2,r<R32π2ϵ0r4Q2+8π2r2sin2θμ0I2,r>R

(b) The Poynting vector is
S(r)=E×H={0,r<R−QI8π2ϵ0r3sin⁡θθ^,r>R\textbf S(\textbf r) = \textbf E \times \textbf H = \begin{cases}0,r<R \\ -\frac{QI}{8\pi^2 \epsilon_0 r^3 \sin \theta} \hat \theta , r>R \end{cases}S(r)=E×H={0,r<R−8π2ϵ0r3sinθQIθ^,r>R

Evaluate divergence of Poynting vector under spherical coordinate system, if θ∈(0,π)\theta \in(0,\pi)θ∈(0,π), r>Rr>Rr>R,
∇⋅S=1rsin⁡θ∂∂θ(sin⁡θSθ)=1rsin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ−QI8π2ϵ0r3sin⁡θ)=0\begin{aligned}\nabla \cdot \textbf S & = \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta S_{\theta}) \\ & =\frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{-QI}{8\pi^2 \epsilon_0 r^3 \sin \theta}\right) =0\end{aligned}∇⋅S=rsinθ1∂θ∂(sinθSθ)=rsinθ1∂θ∂(sinθ8π2ϵ0r3sinθ−QI)=0

(c) Along the z-axis, the Poynting vector is directed toward the wire where z>R,θ→0z>R, \theta \to 0z>R,θ→0 and away from the wire where z<−R,θ→πz<-R,\theta \to \piz<−R,θ→π. Taking a small cylinder of radius ϵ\epsilonϵ and height δ\deltaδ whose center on the bottom locates on (0,0,R)(0,0,R)(0,0,R), the surface integral of S(r)\textbf S(\textbf r)S(r) over the cylinder is
∮CylinderS⋅da=∫SideofCylinderS⋅da=−(2πϵδ)(QI8π2ϵ0r3sin⁡θ)\oint_{Cylinder} \textbf S \cdot d \textbf a=\int_{Side\ of\ Cylinder} \textbf S \cdot d \textbf a=-(2 \pi \epsilon \delta) \left( \frac{QI}{8\pi^2 \epsilon_0 r^3 \sin \theta}\right)∮CylinderS⋅da=∫Side of CylinderS⋅da=−(2πϵδ)(8π2ϵ0r3sinθQI)

Now θ\thetaθ is so small that ϵ≈rsin⁡θ\epsilon \approx r \sin \thetaϵ≈rsinθ, ∣z∣=∣rcos⁡(θ)∣≈r|z| = |r \cos(\theta)| \approx r∣z∣=∣rcos(θ)∣≈r,
−(2πϵδ)(QI8π2ϵ0r3sin⁡θ)≈−QIδ4πϵ0z2-(2 \pi \epsilon \delta) \left( \frac{QI}{8\pi^2 \epsilon_0 r^3 \sin \theta}\right) \approx- \frac{QI \delta}{4 \pi \epsilon_0 z^2}−(2πϵδ)(8π2ϵ0r3sinθQI)≈−4πϵ0z2QIδ

Consider the electric field acting on the wire at zzz over a short segment of length δ\deltaδ. The work is
∫SegmentE⋅Jfreedl=QIδ4πϵ0z2\int_{Segment} \textbf E \cdot \textbf J_{free} dl=\frac{Q I \delta }{ 4 \pi \epsilon_0 z^2} ∫SegmentE⋅Jfreedl=4πϵ0z2QIδ

Thus, the energy re-enters the wire in the region above the shell. Similarly, the energy emanates from the wire in the region below the shell.

能量守恒说的是
∇⋅S+∂E∂t=0\nabla \cdot \textbf S + \frac{\partial \mathcal{E}}{\partial t} = 0∇⋅S+∂t∂E=0

在这个问题中
∇⋅S=1rsin⁡θ∂∂θ(sin⁡θSθ)=1rsin⁡θ∂∂θ(−QI8π2ϵ0r3)\nabla \cdot \textbf S =\frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta S_{\theta}) = \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left( \frac{-QI}{8\pi^2 \epsilon_0 r^3 }\right)∇⋅S=rsinθ1∂θ∂(sinθSθ)=rsinθ1∂θ∂(8π2ϵ0r3−QI)

当θ→0\theta \to 0θ→0或者θ→π\theta \to \piθ→π时，sin⁡θ→0\sin \theta \to 0sinθ→0，∇⋅S\nabla \cdot S∇⋅S成了00\frac{0}{0}00不定型。所以(c)问要讨论能量守恒需要用积分形式，在小体积内，Poynting vector的曲面积分应该等于电线携带的能量变化，也就应该等于电磁场对电线做的功。

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