离散信号的傅里叶变换

取样与取样定理

取样定理是信号领域中一个很重要的概念，而这个概念的提出也是与应用相关联的：即为了能把自然界中采集的信号放到计算机中进行处理，需要使信号能在【连续】和【离散】状态之间进行切换。

上述过程引发了如下问题：

模拟信号经过采样会有怎样的变化（频谱，信号的内容）？

怎样采样才能保证信号的内容不丢失？

为了能将信号从离散恢复成连续，需要怎样的条件？

信号的取样

1. 定义

2. 条件与分类
（1）取样条件

被取样的连续信号f(t)必须是带限信号（频带受限的信号），即f(t)的频谱只在区间(-ω_m，ω_m)内为有限值，其余区间均为0。此时信号f(t)就有其相应的频谱表示方式：
f(t)↔F(jω)f(t)↔F(jω)f(t)↔F(jω)

（2）取样类型

自然取样：又称矩形脉冲取样，取样脉冲序列s(t)是周期为T_s的矩形脉冲信号（开关函数）
冲激取样：取样脉冲序列s(t)是周期为T_s的冲激函数序列δ_Ts(t)

3. 矩形脉冲取样

4. 冲激取样

5. 采样定理的引出

取样定理

1. 意义

2. 描述

时域取样定理

1. 定理描述

2. 常见基本信号及其运算的取样定理

频域取样定理

频域取样定理是根据时域取样定理的对偶运算得到的

从连续变换到离散变换

连续到离散的演化

直觉上理解：
之所以需要进行从连续到离散的演化，是因为在计算机中我们能够处理的信号形式必定是离散的；
也因此我们想要探究在连续域上的变换是否可以且怎样转换到离散域中。

1. 从FT到DTFT

运算推导逻辑

①背景原因：因为傅里叶变换公式（如上图）在时间(t)和频域(ω)上均是连续的，不适用于在计算机内部进行处理；

②推导过程：从FT到DTFT的转换是时间离散化的结果，对连续时间信号(t)进行离散采样得到关于n·Δt的函数式；且要注意关于时间的积分运算自然转换成求和运算；为了表达的简练，将时间间隔归一化为1，从而将连续时间变量t转换成离散时间变量n；

③后续分析：自此我们从连续信号的傅里叶变换（得到连续频谱）推广到离散时间信号的离散时间傅里叶变换（依然是连续频谱），下一步自然而然联想在频域上也进行离散化处理。

2. 从DTFT到DFT

运算推导逻辑

①背景原因：因为DTFT变换公式（如上图）在频域(ω)上仍是连续的，不适用于在计算机内部进行处理；

②推导过程：且观察DTFT的变换公式中信号基e^jωn是以2π为周期的复信号函数，DTFT的变换结果也是2π为周期的连续周期函数；
自此就联想到在频域内以2π/N为间隔对DTFT的变换结果进行频域取样。

3. 从DFT到DFS

如果将离散周期序列中的一个周期的信号取出来，并将原信号DFS变换结果中的一个周期也取出来，就可以得到如下式所示的变换公式——
本质上说明了离散傅里叶变换也可以从DFS变换得到

五种傅里叶变换的比较

频域和时域的信号谱特点有对应关系：
周期谱↔离散谱
非周期谱↔连续谱
即：周期性和离散性呈现出一种对偶关系

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