希尔伯特变换Hilbert Transform

希尔伯特变换公式：

x^(t)=H[x(t)]=x(t)∗1πt\hat x(t)=\mathcal{H}[x(t)]=x(t)*\frac{1}{\pi t}x^(t)=H[x(t)]=x(t)∗πt1
也就是说，信号的希尔伯特变换就是把它经过一个冲激响应h(t)=1πth(t)=\frac{1}{\pi t}h(t)=πt1的LTI线性时不变系统得到的输出，此系统的频率响应：
H(jw)=−jsgn(w)={−j,w>0j,w<0H(jw)=-jsgn(w)=\left\{ \begin{aligned} -j,w>0\\ j,w<0 \end{aligned} \right.H(jw)=−jsgn(w)={−j,w>0j,w<0

so,显然，如下图，它的幅频特性全为1，是一个全通滤波器。
而对于相位，对于正频，它相移−π2-\frac \pi 2−2π,(e−jπ2=−je^{-j\frac \pi 2}=-je−j2π=−j)；
对于负频率部分，相移π2\frac \pi 22π。

画图代码：

clear all,clc;
w=-2*pi:0.01:2*pi;
i=sqrt(-1);
h=-i*sign(w);
figure,
subplot(211)
plot(w,abs(h));
axis([-2*pi 2*pi 0 2])
xlabel('w'),ylabel('|H(jw)|'),title('Hilbert滤波器的幅频响应'),grid on
subplot(212)
plot(w,angle(h));
axis([-2*pi 2*pi -pi pi])
xlabel('w'),ylabel('\psi(w)'),title('Hilbert滤波器的相频响应'),grid on

对比无失真系统的频率响应，可知这个系统是有失真的，会通过相移引入新的频率成分。

无失真系统的输入输出关系必须是r(t)=Ks(t−t0)r(t)=Ks(t-t0)r(t)=Ks(t−t0),其中s(t）s(t）s(t）是输入，r(t)r(t)r(t)是输出，无失真即只能对输入有时延和幅度缩放，根据傅里叶变换求得系统响应H(jw)=Ke−jwt0H(jw)=Ke^{-jwt_0}H(jw)=Ke−jwt0

画图代码：

clear all,clc;
w=-2*pi:0.01:2*pi;
j=sqrt(-1);K=1;t0=1;
H=K*exp(-j*w*t0);
subplot(211)
plot(w,abs(H));
axis([-2*pi 2*pi 0 2])
xlabel('w'),ylabel('|H(jw)|'),title('无失真传输系统的幅频响应 K=1;t0=1;'),grid on
subplot(212)
plot(w,angle(H));
axis([-pi pi -pi pi])
xlabel('w'),ylabel('\psi(w)'),title('无失真传输系统的相频响应 K=1;t0=1;'),grid on

一些有趣的性质

逆变换
因为−H(jw)H(jw)=−j2sgn2(w)=1-H(jw)H(jw)=-j^2sgn^2(w)=1−H(jw)H(jw)=−j2sgn2(w)=1
所以
H−1[]=−H[]\mathcal H^{-1}[ \quad]=-\mathcal H[\quad]H−1[]=−H[]
所以输入信号s(t)卷上1πt\frac{1}{\pi t}πt1,得到希尔伯特变换；再卷上−1πt-\frac{1}{\pi t}−πt1,就又得到了s(t).
它是−90o-90^o−90o相移的全通滤波器
考虑输入为x(t)=ejw0t,w0>0x(t)=e^{jw_0t},w_0>0x(t)=ejw0t,w0>0,输出为y(t)y(t)y(t),则
y(t)=H[ejw0t]=F−1[X(jw)H(jw)]=F−1[2πδ(w−w0).(−j)]=y(t)=\mathcal H[e^{jw_0t}]=\mathcal F^{-1}[X(jw)H(jw)]=\mathcal F^{-1}[2 \pi \delta(w-w_0).(-j)]=y(t)=H[ejw0t]=F−1[X(jw)H(jw)]=F−1[2πδ(w−w0).(−j)]=
−jejw0t=−ejπ2ejw0t=ej(w0t−π2)-je^{jw_0t}=-e^{j\frac\pi 2}e^{jw_0t}=e^{j(w_0t-\frac \pi 2)}−jejw0t=−ej2πejw0t=ej(w0t−2π)
同理，(但w0<0w_0<0w0<0)
H[e−jw0t]=F−1[X(jw)H(jw)]=F−1[2πδ(w+w0).(j)]=\mathcal H[e^{-jw_0t}]=\mathcal F^{-1}[X(jw)H(jw)]=\mathcal F^{-1}[2 \pi \delta(w+w_0).(j)]=H[e−jw0t]=F−1[X(jw)H(jw)]=F−1[2πδ(w+w0).(j)]=
je−jw0t=ejπ2e−jw0t=e−j(w0t−π2)je^{-jw_0t}=e^{j\frac\pi 2}e^{-jw_0t}=e^{-j(w_0t-\frac \pi 2)}je−jw0t=ej2πe−jw0t=e−j(w0t−2π)

所以,如果f(t)是低频带限信号（w>0,wmax<w0w>0,w_{max}<w_0w>0,wmax<w0），则w往右般w0w_0w0后一定是正的，向左搬w0w_0w0后一定是负的。所以：
H[f(t)cosw0t]=F−1[12[F(w−w0)+F(w+w0)].(−j.sgn(w))]\mathcal H[f(t)cosw_0t]=\mathcal F^{-1}[\frac12[F(w-w_0)+F(w+w_0)].(-j.sgn(w))]H[f(t)cosw0t]=F−1[21[F(w−w0)+F(w+w0)].(−j.sgn(w))]
=F−1[12j[F(w−w0)−F(w+w0)]]=f(t)sinw0t=\mathcal F^{-1}[\frac {1}{2j} [F{}(w-w_0)-F(w+w_0)]]=f(t)sinw_0t=F−1[2j1[F(w−w0)−F(w+w0)]]=f(t)sinw0t
同理：
H[f(t)sinw0t]=F−1[12j[F(w−w0)−F(w+w0)].(−j.sgn(w))]\mathcal H[f(t)sinw_0t]=\mathcal F^{-1}[\frac{1}{2j}[F(w-w_0)-F(w+w_0)].(-j.sgn(w))]H[f(t)sinw0t]=F−1[2j1[F(w−w0)−F(w+w0)].(−j.sgn(w))]
=F−1[−12[F(w−w0)+F(w+w0)]]=−f(t)cosw0t=\mathcal F^{-1}[-\frac {1}{2} [F{}(w-w_0)+F(w+w_0)]]=-f(t)cosw_0t=F−1[−21[F(w−w0)+F(w+w0)]]=−f(t)cosw0t

平稳随机过程X(t)X(t)X(t)的希尔伯特变换过程X^(t)\hat X(t)X^(t)也是平稳的，且它们的自相关函数相同，还有：
(1)RX^(τ)=RX(τ)R_{\hat X}(\tau)=R_{X}(\tau)\tag1RX^(τ)=RX(τ)(1)
RXX^(τ)=−R^X(τ)R_{X\hat X}(\tau)=-\hat R_{X}(\tau)RXX^(τ)=−R^X(τ)
RX^X(τ)=R^X(τ)R_{\hat XX}(\tau)=\hat R_{X}(\tau)RX^X(τ)=R^X(τ)
其中R^X(τ)=H[RX(τ)]\hat R_{X}(\tau)=\mathcal H[R_{X}(\tau)]R^X(τ)=H[RX(τ)]。
RX(τ)=E[X(t+τ)X(t)]R_{X}(\tau)=E[X(t+\tau)X(t)]RX(τ)=E[X(t+τ)X(t)]是随机过程X(t)X(t)X(t)的自相关函数，是X(t)X(t)X(t)中相距τ\tauτ的任意两个随机变量的内在关系(互相关)。
RXX^(τ)=E[X(t+τ)X^(t)]R_{X\hat X}(\tau)=E[X(t+\tau)\hat X(t)]RXX^(τ)=E[X(t+τ)X^(t)]是二者任意两个相距τ\tauτ的随机变量的互相关函数.
它是正交变换

由（1），显然RX^(0)=RX(0)R_{\hat X}(0)=R_{X}(0)RX^(0)=RX(0)
所以过程X(t)X(t)X(t)和它的希尔伯特变换过程X^(t)\hat X(t)X^(t)的功率相等,因为$$。

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