微积分-指数函数求导

来看一个指数函数：

这个函数的短时间的变化率

提取出2t2^t2t

而后面2dt−1dt\frac{2^{dt}-1}{dt} \quaddt2dt−1带入任何微小的值，他的值总是近似于0.6931

这就是说，后面这一项与dt的值相关性不大，它趋近于一个常数

斜率就是函数本身乘以常数0.3961

底数换成3，也是合理的

只是后面的常数项发生了变化
再比如底数是8

同时

我们还发现：

当底数为e的时候，算式
edt−1dt\frac{e^{dt}-1}{dt} \quaddtedt−1
比值接近于1

也就是说ete^tet的导数就是ete^tet本身

由此可知，e的某常数乘以t次方的导数，等于这个常数乘以函数本身

如

e3te^{3t}e3t是外层，它的导数是他本身，3t是内层，它的导数是乘以3

在数学上通常用以e为底的对数来表示

eln(2)表示以e为底，增长到2需要几次，即e的几次方等于2e^{ln(2)}表示以e为底，增长到2需要几次，即e的几次方等于2eln(2)表示以e为底，增长到2需要几次，即e的几次方等于2
e2表示e增长2次后是几e^2表示e增长2次后是几e2表示e增长2次后是几

2t2^t2t的函数就可以写成eln(2)te^{ln(2)t}eln(2)t

所以一般定义函数的时候，底数一般用e的对数表示
（这里我理解是公理化的要求，比如物理学中基本单位的定义，比如光速，普朗克常数这样的数）

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