本文内容来自学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-求导四则运算及三角函数导数-网易公开课

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一、需要用到的公式：

二、求导特殊三角函数

1、

2、

三、三角函数基础公式的几何意义

一、需要用到的公式：

$f(x) = \frac{1}{x}$ , $f'(x) = \frac{-1}{x^2}$

$f(x) = x^n, f'(x) = n\times x^{n-1}$

(u+v)' = u' + v'

(cu)' = c(u)' c是常数

sin(a+b) = sina * cosb + cosa * sinb

cos(a+b) = cosa * cosb - sina * sinb

二、求导特殊三角函数

1、 $\frac{d}{dx}sinx = \frac {sin(x+\Delta x)-sinx}{\Delta x} = \frac{sinx\times cos\Delta x +cosx\times sin\Delta x - sinx}{\Delta x}$

$=\frac{sinx\times(cos\Delta x -1)}{\Delta x} + \frac{cosx\times sin\Delta x}{\Delta x}$

这时回顾一下上节课关于三角函数的内容

当x趋近于0时 $\frac{sinx\times(cos\Delta x -1)}{\Delta x} = sinx\times 0$ （考虑1-cos(x)/x 在x趋近0时的极限值, 不正是 $\frac{(cos\Delta x -1)}{\Delta x}$ 的变形，上图红线在x趋近0时函数的值趋近0）

$\frac{cosx\times sin\Delta x}{\Delta x} = cosx \times 1$ （考虑x/sin(x) 在x趋近0时的极限值, 不正是 $\frac{sin\Delta x}{\Delta x}$ 的变形，上图l蓝线在x趋近0时函数的值趋近1）

$=\frac{sinx\times(cos\Delta x -1)}{\Delta x} + \frac{cosx\times sin\Delta x}{\Delta x} = cosx$

所以 $\frac{d}{dx}sinx =cosx$

当然用工具的话：

from sympy import *
x = Symbol('x')
f = sin(x)
derivative_f = f.diff(x)
derivative_f

2、 $\frac{d}{dx}cosx =\frac{cos(x+\Delta x) - cosx}{\Delta x} = \frac{(cosx\times cos\Delta x - sinx\times sin\Delta x) - cosx}{\Delta x}$

$=\frac{cosx\times (cos\Delta x-1)}{\Delta x} - \frac{sinx\times sin\Delta x}{\Delta x}$

$=cosx\times 0 - sinx\times 1$

= -sinx

from sympy import *
x = Symbol('x')
f = cos(x)
derivative_f = f.diff(x)
derivative_f

得到2公式 (sinx)' = cosx & (cosx)' = -sinx

三、三角函数基础公式的几何意义

公式B、 $\lim_{ \Delta X \rightarrow 0}{\frac{sin\Delta x}{\Delta x}}$ = 1

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt angle = np.linspace( 0 , 2 * np.pi , 150 ) radius = 1x = radius * np.cos( angle )
y = radius * np.sin( angle ) figure, axes = plt.subplots( 1 ) axes.plot( x, y, label='circle radius:'+format(radius) ) angleArc = np.linspace( -30/180*np.pi , 30/180*np.pi , 150 )
xArc = radius * np.cos( angleArc )
yArc = radius * np.sin( angleArc ) axes.plot( xArc, yArc,color='r', label='length:(2*30*180/pi)' + format(60/180*np.pi) ) angleInner = np.linspace( 30/180*np.pi , 0 , 150 )
xArcInner = radius /10 * np.cos( angleInner )
yArcInner = radius /10 * np.sin( angleInner ) angleInner1 = np.linspace( -30/180*np.pi , 0 , 150 )
xArcInner1 = radius /10 * np.cos( angleInner1 )
yArcInner1 = radius /10 * np.sin( angleInner1 ) axes.plot( xArcInner, yArcInner,color='b' ,label='θ=30*180/pi')
axes.plot( xArcInner1, yArcInner1,color='b' ) plt.text(0.18, 0.03, 'θ', fontsize=9)
plt.text(0.18, -0.08, 'θ', fontsize=9)
#ax = plt.gca()
#axes.annotate('your_lable', (xArcθ,yArcθ))
#axes.scatter(xArcθ+0.1*radius,yArcθ+0.1*radius )
#axes.annotate('a', (xArcθ+0.1*radius,yArcθ+0.1*radius ))axes.set_aspect( 1 ) x1 = np.cos( 30/180*np.pi )
y1 = np.sin( 30/180*np.pi ) plt.plot(x1,y1,lw=0, marker='o', fillstyle='none', color='b')x2 = np.cos( -30/180*np.pi )
y2 = np.sin( -30/180*np.pi )plt.plot(x2,y2,lw=0, marker='o', fillstyle='none', color='b')xarr = [x1,x2]
yarr = [y1,y2]
plt.plot(xarr, yarr,'gray',linestyle='-',marker='',label='length:(2*sin(30*180/pi))' + format(2*np.sin( 30/180*np.pi )))xarr1 = [0,x1]
yarr1 = [0,0]
plt.plot(xarr1, yarr1,'orange',linestyle='-',marker='', label='length:cos(30*180/pi)')xarr1 = [x1,1]
yarr1 = [0,0]
plt.plot(xarr1, yarr1,'yellow',linestyle='-',marker='', label='gap length:1-cos(30*180/pi)')xarr2 = [0,x1]
yarr2 = [0,y1]
plt.plot(xarr2, yarr2,'black',linestyle='-',marker='')xarr3 = [0,x2]
yarr3 = [0,y2]
plt.plot(xarr3, yarr3,'black',linestyle='-',marker='')plt.title( 'Parametric Equation Circle' )
plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

可以观察到，当θ值越小时，灰线和红线(sinθ和θ)的长度相差越来越小。而当deltaX趋近于0时，这两条线的长度的比值趋近于1。（曲线中长度很小的一段趋近于直线）

公式A、 $\lim_{ \Delta X \rightarrow 0}{\frac{1-cos\Delta x}{\Delta x}}=0$

可以观察到，上图中当θ值越小时，灰色线会越发靠近圆弧，黄色的gap（ $1-cos\Delta x$ ）的比例会越来越小，同时桔黄色的线( $cos\Delta x$ )会越来越接近半径 1, 所以公式A的分母趋近于0，同时由于角度θ和红色弧长相等，可以看出虽然θ趋近于0，但远远大于黄色gap的长度，所以公式A等于0。

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一、需要用到的公式：

二、求导特殊三角函数

1、 $\frac{d}{dx}sinx = \frac {sin(x+\Delta x)-sinx}{\Delta x} = \frac{sinx\times cos\Delta x +cosx\times sin\Delta x - sinx}{\Delta x}$

2、 $\frac{d}{dx}cosx =\frac{cos(x+\Delta x) - cosx}{\Delta x} = \frac{(cosx\times cos\Delta x - sinx\times sin\Delta x) - cosx}{\Delta x}$

三、三角函数基础公式的几何意义

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2、 $\frac{d}{dx}cosx =\frac{cos(x+\Delta x) - cosx}{\Delta x} = \frac{(cosx\times cos\Delta x - sinx\times sin\Delta x) - cosx}{\Delta x}$

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