UA OPTI501 电磁波 Lorentz Oscillator Model 1 Drude-Lorentz模型

分析偶极子的简单弹簧模型
自由电子的Drude模型

Lorentz Oscillator Model是最早由荷兰物理学家Lorentz提出的用于分析介质的电极化现象与外加电磁场之间关系的模型，这个模型的优点是简单好懂而且使用于多种材料。这一章介绍这个模型的基本内容以及一些应用。

分析偶极子的简单弹簧模型

简单Mass-and-spring模型的思想是假设一个原子核（质量为MMM，带电量为+q+q+q）与一个电子（质量为mmm，带电量为−q-q−q）之间通过弹簧相连，弹簧的劲度系数为α\alphaα，这个物理系统的动摩擦系数为β\betaβ，存在振荡变化的电场E(t)=Ex0cos⁡(wt)x^\textbf E(t)=E_{x0}\cos(wt)\hat xE(t)=Ex0cos(wt)x^。

用牛顿第二定律可以列出系统中电子的振动方程，
mx¨=−qE−αx−βx˙m\ddot{x}=-qE-\alpha x-\beta \dot{x}mx¨=−qE−αx−βx˙

引入两个常数，
w0=αm,γ=βmw_0=\sqrt{\frac{\alpha}{m}},\gamma = \frac{\beta}{m}w0=mα,γ=mβ

劲度系数的单位是newton/meternewton/meternewton/meter，质量mmm的单位是kgkgkg，所以w0w_0w0的单位为newtonkg∗meter=kg∗meter∗s−2kg∗meter=s−1\sqrt{\frac{newton}{kg*meter}}=\sqrt{\frac{kg*meter*s^{-2}}{kg*meter}}=s^{-1}kg∗meternewton=kg∗meterkg∗meter∗s−2=s−1

这是角频率的单位，因此通常称w0w_0w0为resonant frequency，即这个系统的共振频率；β\betaβ的单位满足
[β]∗(meter/s)=newton=kg∗meter/s2[β]=kg/s[\beta]*(meter/s)=newton=kg*meter/s^2 \\ [\beta]=kg/s[β]∗(meter/s)=newton=kg∗meter/s2[β]=kg/s

于是γ\gammaγ的单位为kg∗s−1/kg=s−1kg*s^{-1}/kg=s^{-1}kg∗s−1/kg=s−1，也与角频率相同，称γ\gammaγ为系统的damping coefficient，阻尼系数。用这两个常数简化振动方程：
x¨+γx˙+w02x=−qmE(t)\ddot{x}+\gamma \dot{x}+w_0^2 x=-\frac{q}{m}E(t)x¨+γx˙+w02x=−mqE(t)

假这是一个非齐次常系数2阶ODE，假设它的解为
x(t)=Re[x0e−iwt],x0=∣x0∣eiϕ0x(t)=Re[x_0 e^{-iwt}],x_0=|x_0|e^{i\phi_0}x(t)=Re[x0e−iwt],x0=∣x0∣eiϕ0

代入振动方程，
−w2x0−iwγx0+w02x0=−qmEx0x0=−qmEx0w02−w2−iγw-w^2 x_0-iw\gamma x_0+w_0^2x_0=-\frac{q}{m}E_{x0} \\ x_0 = \frac{-\frac{q}{m}E_{x0}}{w_0^2-w^2-i\gamma w}−w2x0−iwγx0+w02x0=−mqEx0x0=w02−w2−iγw−mqEx0

由此可以得到系统的电偶极矩为
p=−qx(t)x^=Re[−qx0e−iwtx^]=Re[p0e−iwtx^]p0=q2mEx0w02−w2−iγw\textbf p=-qx(t) \hat x=Re[-qx_0e^{-iwt}\hat x]=Re[p_0e^{-iwt}\hat x] \\ p_0 = \frac{\frac{q^2}{m}E_{x0}}{w_0^2-w^2-i\gamma w}p=−qx(t)x^=Re[−qx0e−iwtx^]=Re[p0e−iwtx^]p0=w02−w2−iγwmq2Ex0

假设在一个小区域内有NNN个这样的电偶极矩，则这个小区域内的电极化矢量为
P=Np=Re[Np0e−iwtx^]=Re[ϵ0Ex0C(w)e−iwtx^]\textbf P = N\textbf p = Re[Np_0e^{-iwt}\hat x]=Re[\epsilon_0 E_{x0}C(w)e^{-iwt}\hat x]P=Np=Re[Np0e−iwtx^]=Re[ϵ0Ex0C(w)e−iwtx^]

其中ϵ0Ex0\epsilon_0E_{x0}ϵ0Ex0的量纲与电位移相同，所以C(w)C(w)C(w)是一个无量纲的量，
C(w)=Nq2mϵ0w02−w2−iγwC(w)=\frac{\frac{Nq^2}{m\epsilon_0}}{w_0^2-w^2-i\gamma w}C(w)=w02−w2−iγwmϵ0Nq2

它被称为polarizability coefficient，引入wq=Nq2mϵ0w_q=\sqrt{\frac{Nq^2}{m\epsilon_0}}wq=mϵ0Nq2，可以根据SI单位制与电磁学常用单位自行验证它的单位也是s−1s^{-1}s−1，与角频率相同，称wpw_pwp为plasma frequency，电浆频率，
C(w)=wp2w02−w2−iγwC(w)=\frac{w_p^2}{w_0^2-w^2-i\gamma w}C(w)=w02−w2−iγwwp2

考虑更一般的monochromatic solution，
E=Re[E(r)e−iwt]\textbf E=Re[\textbf E(\textbf r )e^{-iwt}]E=Re[E(r)e−iwt]

由此导出的介质的电极化矢量为
P(r,t)=Re[ϵ0E(r)C(w)e−iwt]\textbf P(\textbf r,t)=Re[\epsilon_0 \textbf E(\textbf r)C(w)e^{-iwt}]P(r,t)=Re[ϵ0E(r)C(w)e−iwt]

评注上述推导讨论的是一个原子核配一个电子的情况，将其简单推广就可以得到一个原子核配KKK的电子的结果，
CK(w)=∑k=1Kfkwp2w0k2−w2−iγkwC_K(w) = \sum_{k=1}^K \frac{f_k w_p^2}{w_{0k}^2-w^2-i\gamma_k w}CK(w)=k=1∑Kw0k2−w2−iγkwfkwp2

其中fkf_kfk是第kkk个电子的oscillator strength，用CK(w)C_K(w)CK(w)替换上述模型中的C(w)C(w)C(w)即可，即
P=Re[ϵ0E(r)CK(w)e−iwtx^]\textbf P =Re[\epsilon_0 \textbf E(\textbf r)C_K(w)e^{-iwt}\hat x]P=Re[ϵ0E(r)CK(w)e−iwtx^]

自由电子的Drude模型

金属与半导体中的电子并不是被固定的，在一定条件下可以自由移动，要让Lorentz模型适用于这些电子，需要令α=0\alpha=0α=0，w0k=0w_{0k}=0w0k=0，即不存在使电子回到原位的弹性力，在这种情况下，CK(w)C_K(w)CK(w)的表达式所决定的系数不再被称为polarizability coefficient，我们给它换个名字，称为electric susceptibility，记为χe(w)\chi_e(w)χe(w)，
χe(w)=−wp2w2+iγw\chi_e(w)=\frac{-w_p^2}{w^2+i\gamma w}χe(w)=w2+iγw−wp2

虽然这只是Lorentz模型的特例，但因为这是Drude提出的关于conduction electron的模型，所以称之为Drude模型，此时的电极化矢量为
P=Re[ϵ0E(r)χe(w)e−iwtx^]\textbf P =Re[\epsilon_0 \textbf E(\textbf r)\chi_e(w)e^{-iwt}\hat x]P=Re[ϵ0E(r)χe(w)e−iwtx^]

当外加电场高频振荡时，即w>>γw>>\gammaw>>γ时，χe(w)≈−wp2w2\chi_e(w) \approx -\frac{w_p^2}{w^2}χe(w)≈−w2wp2，这个系数被称为plasma susceptibility，由此可以导出plasma relative electric permittivity为
ϵr(w)=1+χe(w)=1−wp2w2\epsilon_r(w)=1+\chi_e(w)=1-\frac{w_p^2}{w^2}ϵr(w)=1+χe(w)=1−w2wp2