UA OPTI501 电磁波 Lorentz Oscillator Model 3 相速度与群速度

相速度与群速度的概念
群速度的推导
例：透明介电材料中绿光传播的群速度与相速度

在Lorentz Oscillator Model中，susceptiblility χ\chiχ与电磁波角频率www之间依存性的一个直接后果就是在介质中传播时，电磁波的相速度(phase-velocity, VϕV_{\phi}Vϕ)与群速度(group-velocity, VgV_gVg)不一致。这一讲介绍用Lorentz模型分析电磁波在介质中传播的相速度与群速度，并简单讨论它们的差异。

相速度与群速度的概念

相速度的定义为
Vϕ=cn(w),n(w)=ϵr(w)=1+χe(w)V_{\phi}=\frac{c}{n(w)},n(w)=\sqrt{\epsilon_r(w)}=\sqrt{1+\chi_e(w)}Vϕ=n(w)c,n(w)=ϵr(w)=1+χe(w)

其中ccc是光在真空中的传播速度，n(w)n(w)n(w)是介质的折射率（实际上n(w)=μ(w)ϵ(w)n(w)=\sqrt{\mu(w)\epsilon(w)}n(w)=μ(w)ϵ(w)，也就是磁化率与介电常数乘积再开方，但为了简单起见，在Lorentz模型中假设μ(w)=1\mu(w)=1μ(w)=1），ϵr\epsilon_rϵr是介质的相对介电常数，χe\chi_eχe是介质的极化系数；这个速度代表相位在介质中的传播速度，比如一个简谐波为y=sin⁡πxy=\sin \pi xy=sinπx，x=1/2x=1/2x=1/2对应的相位为π/2\pi/2π/2，如果相速度为5，那么单位时间后，相位为π/2\pi/2π/2的点就到了x=11/2x=11/2x=11/2。

群速度的公式更加复杂，但它的含义非常简单，就是波包的包络的传播速度。如下图，分布在x=0x=0x=0上的球面波波源，假设它在分布在x≥0x \ge 0x≥0的区域中的介质中的群速度为1，那么1个单位时间后，波前如下图中的黑色半圆所示，波包的包络到达红线x=1x=1x=1的位置；2个单位时间后，波包的包络到达红线x=2x=2x=2的位置。

群速度的推导

考虑幅度相同角频率不同的电场的叠加，假设这两个电场沿x^\hat xx^方向传播，偏振方向为y^\hat yy^，它们的角频率分别为w1,w2w_1,w_2w1,w2，波向量分别为
k1=k1x^=w1cn(w1)x^,k2=k2x^=w2cn(w2)x^\textbf k_1=k_1 \hat x = \frac{w_1}{c}n(w_1)\hat x,\textbf k_2=k_2 \hat x = \frac{w_2}{c}n(w_2)\hat xk1=k1x^=cw1n(w1)x^,k2=k2x^=cw2n(w2)x^

因此，叠加后的电场为
E=E0y^[cos⁡(k1x−w1t)+cos⁡(k2w2−w2t)]\textbf E=E_0 \hat y[\cos(k_1x-w_1t)+\cos(k_2w_2-w_2t)]E=E0y^[cos(k1x−w1t)+cos(k2w2−w2t)]

引入
wc=w2−w12,Δw=w2−w1w_c=\frac{w_2-w_1}{2},\Delta w = w_2-w_1wc=2w2−w1,Δw=w2−w1

用和差化积公式，
E=2E0y^cos⁡([w1n(w1)−w2n(w2)](x2c−12Δwt))×cos⁡([w1n(w1)+w2n(w2)](x2c−wct))\textbf E = 2E_0\hat y \cos([w_1n(w_1)-w_2n(w_2)](\frac{x}{2c}-\frac{1}{2}\Delta w t)) \\ \times \cos([w_1n(w_1)+w_2n(w_2)](\frac{x}{2c}-w_c t))E=2E0y^cos([w1n(w1)−w2n(w2)](2cx−21Δwt))×cos([w1n(w1)+w2n(w2)](2cx−wct))

假设Δw\Delta wΔw足够小，则
w1n(w1)+w2n(w2)≈2wcn(wc)w1n(w1)−w2n(w2)Δw≈dwn(w)dw∣w=wcw_1n(w_1)+w_2n(w_2) \approx 2w_cn(w_c) \\ \frac{w_1n(w_1)-w_2n(w_2)}{\Delta w} \approx \left. \frac{dwn(w)}{dw} \right|_{w=w_c}w1n(w1)+w2n(w2)≈2wcn(wc)Δww1n(w1)−w2n(w2)≈dwdwn(w)∣∣∣∣w=wc

定义group refractive index，群折射率为
ng(wc)=dwn(w)dw∣w=wcn_g(w_c)=\left. \frac{dwn(w)}{dw} \right|_{w=w_c}ng(wc)=dwdwn(w)∣∣∣∣w=wc

因此群速度为
Vg=cngV_g=\frac{c}{n_g}Vg=ngc

显然当n(w)n(w)n(w)为常数时，Vg=VϕV_g=V_{\phi}Vg=Vϕ。电场叠加的结果为

评注在Lorentz模型中计算群速度，主要要做的事情就是写出n(w)n(w)n(w)的公式然后求导得到ngn_gng，比如在单电子的Lorentz模型中，

例：透明介电材料中绿光传播的群速度与相速度

介电材料(dielectric material)指的是可以被电极化的绝缘体，假设某种介电材料的介电常数为
ϵ(w)=1+wp2w02−w2−iγw\epsilon(w)=1+\frac{w_p^2}{w_0^2-w^2-i\gamma w}ϵ(w)=1+w02−w2−iγwwp2

其中w0=8×1015rad/s,wp=1.2×1016rad/s,γ=1013s−1w_0=8 \times 10^{15} rad/s,w_p=1.2 \times 10^{16}rad/s,\gamma=10^{13}s^{-1}w0=8×1015rad/s,wp=1.2×1016rad/s,γ=1013s−1，一束波长为λ0=540nm\lambda_0=540nmλ0=540nm（w=3.5×1015rad/sw=3.5 \times 10^{15}rad/sw=3.5×1015rad/s）的绿光射入这个材料中，要求绿光的相速度与群速度。

相速度可以直接带公式，

群速度可以带上面评注里提到的公式，