UA OPTI501 电磁波 LIH介质中的平面波1 平面波的性质

LIH介质的含义
平面波及其性质
平面波的能量

LIH介质的含义

L代表Linear，如果
P(r)e−iwt=ϵ0χe(w)E(r)e−iwtM(r)e−iwt=μ0χm(w)H(r)e−iwt\textbf P(\textbf r)e^{-iwt}=\epsilon_0 \chi_e(w)\textbf E(\textbf r)e^{-iwt} \\ \textbf M(\textbf r) e^{-iwt}=\mu_0 \chi_m(w)\textbf H(\textbf r)e^{-iwt}P(r)e−iwt=ϵ0χe(w)E(r)e−iwtM(r)e−iwt=μ0χm(w)H(r)e−iwt

就称介质为线性介质；第一个方程就是Lorentz模型的结论，第二个方程是仿照第一个写出来的，表示magnetization与外部磁场成正比的方程。ϵ0\epsilon_0ϵ0是真空中的介电常数（permitivity），μ0\mu_0μ0是真空中的磁化率（permeability），χe\chi_eχe是electric susceptibility，χm\chi_mχm是magnetic susceptibility；

I代表isotropic，即各向同性，它的含义是介质在各个方向关于电极化或者磁化有相同的性质，也就是在电极化与磁化的公式中，假设χe\chi_eχe是对角矩阵，且对角元相等；χm\chi_mχm也是对角元相等的对角矩阵，简单来说就是把χe\chi_eχe与χm\chi_mχm当成1维的数值而不是2阶张量即可；

H代表homogeneous，即同质性，它的含义是介质所表现的关于电极化或者磁化的性质与电磁场在介质中的位置无关，也就是说在介质的区域内，χe\chi_eχe与χm\chi_mχm是与位移无关的值。

在LIH介质中，
D=ϵ0E+P=ϵ0(1+χe(w))E\textbf D = \epsilon_0 \textbf E + \textbf P = \epsilon_0(1+\chi_e(w))\textbf ED=ϵ0E+P=ϵ0(1+χe(w))E

记ϵr=1+χe(w)\epsilon_r=1+\chi_e(w)ϵr=1+χe(w)，它是relative permitivity；类似地，
B=μ0H+M=μ0(1+χm)H\textbf B = \mu_0\textbf H+\textbf M = \mu_0(1+\chi_m)\textbf HB=μ0H+M=μ0(1+χm)H

记μr=1+χm(w)\mu_r=1+\chi_m(w)μr=1+χm(w)，它是relative permeability。

平面波及其性质

平面波的定义
称E,H\textbf E,\textbf HE,H具有以下形式的电磁波为平面波：
E(r,t)=E0ei(k⋅r−wt)H(r,t)=H0ei(k⋅r−wt)\textbf E(\textbf r,t)=\textbf E_0 e^{i(\textbf k \cdot \textbf r-wt)} \\ \textbf H(\textbf r,t)=\textbf H_0 e^{i(\textbf k \cdot \textbf r-wt)}E(r,t)=E0ei(k⋅r−wt)H(r,t)=H0ei(k⋅r−wt)

之所以称这种形式的电磁波为平面波是因为它在4-D时空中的波前为{(r,t):k⋅r−wt=const.}\{(\textbf r,t):\textbf k \cdot \textbf r - wt=const.\}{(r,t):k⋅r−wt=const.}，也就是波前是一个平面；其中k\textbf kk是波向量(wave vector)，它的大小是波数（2π/λ2\pi/\lambda2π/λ, λ\lambdaλ是波长），方向是电磁波的传播方向；www是电磁波的角频率（w=2π/Tw=2\pi/Tw=2π/T，TTT是电磁波的周期），在平面波中假设它是实数；电场、磁场与波向量都是复向量，用上标‘表示实部，上标’‘表示虚部，则
k=k′+ik′′E0=E0′+iE0′′H0=H′+iH0′′\textbf k = \textbf k'+i \textbf k'' \\ \textbf E_0 = \textbf E_0'+i\textbf E_0'' \\ \textbf H_0 = \textbf H'+i \textbf H_0''k=k′+ik′′E0=E0′+iE0′′H0=H′+iH0′′

物理量的物理意义由实部体现，虚部的作用是指示物理量的polarization state，所以
E(r,t)=Re[(E0′+iE0′′)ei((k′+ik′′)⋅r−wt)]=e−k′′⋅r[E0′cos⁡(wt−k′⋅r)+E0′′sin⁡(wt−k′⋅r)]\begin{aligned}\textbf E(\textbf r,t) & =Re[(\textbf E_0'+i\textbf E_0'')e^{i((\textbf k'+i \textbf k'') \cdot \textbf r-wt)}] \\ &=e^{-\textbf k'' \cdot \textbf r}[\textbf E_0' \cos (wt-\textbf k'\cdot \textbf r)+\textbf E_0'' \sin (wt-\textbf k'\cdot \textbf r)]\end{aligned}E(r,t)=Re[(E0′+iE0′′)ei((k′+ik′′)⋅r−wt)]=e−k′′⋅r[E0′cos(wt−k′⋅r)+E0′′sin(wt−k′⋅r)]

第一项代表电场在介质中沿k′′\textbf k''k′′方向指数衰减，衰减强度为∣k′′∣|\textbf k''|∣k′′∣，第二项代表电场在介质中的振荡，可以发现相位传播方向为k′\textbf k'k′，相速度为Vϕ=w/∣k′∣V_{\phi}=w/|\textbf k'|Vϕ=w/∣k′∣。

用Maxwell方程推导平面波的性质
我们比较感兴趣的问题是平面波在LIH介质中的传播规律，所以假设在LIH介质中不存在自由电荷与自由电荷密度，即ρfree=0,Jfree=0\rho_{free}=0,\textbf J_{free}=0ρfree=0,Jfree=0，下面用Maxwell方程推导平面波在LIH介质中传播的规律。

Maxwell 1：对于平面波，D=D0ei(k⋅r−wt)\textbf D=\textbf D_0e^{i(\textbf k \cdot \textbf r-wt)}D=D0ei(k⋅r−wt)，其中D0=ϵ0ϵrE0\textbf D_0=\epsilon_0 \epsilon_r\textbf E_0D0=ϵ0ϵrE0
∇⋅D=ρfree=0⇒ik⋅D0=0⇒k⋅E0=0\nabla \cdot \textbf D = \rho_{free}=0 \Rightarrow i \textbf k \cdot \textbf D_0=0 \Rightarrow \textbf k \cdot \textbf E_0=0∇⋅D=ρfree=0⇒ik⋅D0=0⇒k⋅E0=0

也就是说k\textbf kk与E0\textbf E_0E0是垂直的；代入它们的复数形式，
(k′+ik′′)⋅(E0′+iE0′′)=0(k′⋅E0′−k′′⋅E0′′)+i(k′⋅E0′′+k′′⋅E0′)=0⇒{k′⋅E0′−k′′⋅E0′′=0k′⋅E0′′+k′′⋅E0′=0( \textbf k'+i \textbf k'' )\cdot ( \textbf E_0'+i\textbf E_0'') = 0 \\ (\textbf k'\cdot \textbf E_0'-\textbf k'' \cdot \textbf E_0'')+i(\textbf k' \cdot \textbf E_0''+\textbf k'' \cdot \textbf E_0')=0 \\ \Rightarrow \begin{cases} \textbf k'\cdot \textbf E_0'-\textbf k'' \cdot \textbf E_0'' = 0 \\\textbf k' \cdot \textbf E_0''+\textbf k'' \cdot \textbf E_0'=0 \end{cases}(k′+ik′′)⋅(E0′+iE0′′)=0(k′⋅E0′−k′′⋅E0′′)+i(k′⋅E0′′+k′′⋅E0′)=0⇒{k′⋅E0′−k′′⋅E0′′=0k′⋅E0′′+k′′⋅E0′=0

Maxwell 4：对于平面波，B=B0ei(k⋅r−wt)\textbf B=\textbf B_0e^{i(\textbf k \cdot \textbf r-wt)}B=B0ei(k⋅r−wt)，其中B0=μ0μrH0\textbf B_0=\mu_0 \mu_r\textbf H_0B0=μ0μrH0
∇⋅B=0⇒ik⋅B0=0⇒k⋅H0=0\nabla \cdot \textbf B =0 \Rightarrow i \textbf k \cdot \textbf B_0=0 \Rightarrow \textbf k \cdot \textbf H_0=0∇⋅B=0⇒ik⋅B0=0⇒k⋅H0=0

综合这两个结果，可以发现k\textbf kk与E0\textbf E_0E0与H0\textbf H_0H0都是正交的。

Maxwell 3：
∇×E=−∂B∂tik×E0ei(k⋅r−wt)=iwμ0μrH0ei(k⋅r−wt)k×E0=wμ0μrH0\nabla \times \textbf E = -\frac{\partial \textbf B}{\partial t} \\ i \textbf k \times \textbf E_0 e^{i(\textbf k \cdot \textbf r-wt)}=iw\mu_0\mu_r \textbf H_0 e^{i(\textbf k \cdot \textbf r-wt)} \\ \textbf k \times \textbf E_0 = w\mu_0 \mu_r \textbf H_0∇×E=−∂t∂Bik×E0ei(k⋅r−wt)=iwμ0μrH0ei(k⋅r−wt)k×E0=wμ0μrH0

结合上面三个结果可以发现(k,E0,H0)(\textbf k,\textbf E_0,\textbf H_0)(k,E0,H0)互相正交，并且他们之间的方向可以用右手螺旋定则确定。

Maxwell 4：
∇×H=Jfree+∂D∂tik×H0=−iwϵ0ϵrE0k×H0=−wϵ0ϵrE0\nabla \times \textbf H =\textbf J_{free}+\frac{\partial \textbf D}{\partial t} \\ i \textbf k \times \textbf H_0=-iw \epsilon_0 \epsilon_r \textbf E_0 \\ \textbf k \times \textbf H_0 = -w\epsilon_0 \epsilon_r \textbf E_0∇×H=Jfree+∂t∂Dik×H0=−iwϵ0ϵrE0k×H0=−wϵ0ϵrE0

下面计算
k×(k×E0)=wμ0μrk×H0k×(k×E0)=(k⋅E0)k−k2E0=−k2E0wμ0μrk×H0=wμ0μr(−wϵ0ϵrE0)=−w2ϵ0ϵrμ0μrE0−k2E0=−w2ϵ0ϵrμ0μrE0⇒k2=w2ϵ0ϵrμ0μr=w2c2ϵrμr\textbf k \times (\textbf k \times \textbf E_0) = w\mu_0 \mu_r \textbf k \times \textbf H_0 \\ \textbf k \times (\textbf k \times \textbf E_0) = (\textbf k \cdot \textbf E_0)\textbf k-k^2 \textbf E_0=-k^2 \textbf E_0 \\ w\mu_0 \mu_r \textbf k \times \textbf H_0 = w\mu_0 \mu_r (-w\epsilon_0 \epsilon_r \textbf E_0)=-w^2\epsilon_0 \epsilon_r\mu_0 \mu_r \textbf E_0 \\ -k^2 \textbf E_0 = -w^2\epsilon_0 \epsilon_r\mu_0 \mu_r \textbf E_0 \Rightarrow k^2=w^2\epsilon_0 \epsilon_r\mu_0 \mu_r = \frac{w^2}{c^2}\epsilon_r\mu_r k×(k×E0)=wμ0μrk×H0k×(k×E0)=(k⋅E0)k−k2E0=−k2E0wμ0μrk×H0=wμ0μr(−wϵ0ϵrE0)=−w2ϵ0ϵrμ0μrE0−k2E0=−w2ϵ0ϵrμ0μrE0⇒k2=w2ϵ0ϵrμ0μr=c2w2ϵrμr

最后这个等式被称为dispersion relation，其中
k2=(k′+ik′′)⋅(k′+ik′′)=(k′2−k′′2)+i(2k′⋅k′′)k^2=( \textbf k'+i \textbf k'' )\cdot ( \textbf k'+i \textbf k'' ) = (k'^2-k''^2)+i(2\textbf k' \cdot \textbf k'')k2=(k′+ik′′)⋅(k′+ik′′)=(k′2−k′′2)+i(2k′⋅k′′)

所以
{k′2−k′′2=w2c2Re[ϵrμr]k′⋅k′′=w22c2Im[ϵrμr]\begin{cases} k'^2-k''^2=\frac{w^2}{c^2}Re[\epsilon_r\mu_r ] \\ \textbf k' \cdot \textbf k'' = \frac{w^2}{2c^2}Im[\epsilon_r\mu_r ] \end{cases}{k′2−k′′2=c2w2Re[ϵrμr]k′⋅k′′=2c2w2Im[ϵrμr]

如果Im[ϵr]=Im[μr]=0Im[\epsilon_r]=Im[\mu_r]=0Im[ϵr]=Im[μr]=0，则k′⊥k′′\textbf k' \perp \textbf k''k′⊥k′′，此时若k′′=0k''=0k′′=0，则平面波在介质中强度不会衰减并且k′2=w2c2Re[ϵrμr]>0k'^2=\frac{w^2}{c^2}Re[\epsilon_r\mu_r ]>0k′2=c2w2Re[ϵrμr]>0，称这样的平面波为homogeneous plane wave，它只会在满足μr,ϵr>0\mu_r,\epsilon_r>0μr,ϵr>0的介质中出现；如果k′′≠0k'' \ne 0k′′=0，称这样的平面波为evanescent plane wave，这是inhomohegeous plave wave的一种特例（满足k′⊥k′′\textbf k' \perp \textbf k''k′⊥k′′的inhomohegeous plave wave）
如果Im[ϵr]=Im[μr]=0Im[\epsilon_r]=Im[\mu_r]=0Im[ϵr]=Im[μr]=0不成立，称这样的平面波为inhomohegeous plave wave

平面波的能量

平面波的Poynting矢量为

上式中，最后一个等号在一个周期内的积分为0，所以Poynting矢量的的time-average为
⟨S(r,t)⟩=12Re[E(r)×H∗(r)]\langle \textbf S(\textbf r,t) \rangle = \frac{1}{2}Re[\textbf E(\textbf r) \times \textbf H^*(\textbf r)]⟨S(r,t)⟩=21Re[E(r)×H∗(r)]

化简以后的表达式为

这是LIH介质中平面波Poynting矢量的一般公式，对于homogeneous plane wave，