最优停止找停车位问题的最简单解释

设 x x x为一个车位被占用的概率，那么显然 1 − x 1-x 1−x则为空闲率。停车位坐标如下：

仿照万里挑一的37%原则建模。

设 k k k为司机开始考虑停车的位置，那么实际可以停车的位置 i i i肯定满足在 i < k i<k i<k，还有两个约束：

司机在 i i i点停车，说明前面没有停车位，不然他可能考虑前面的车位。
若 i i i是最优的停车位，则意味着在 i i i之后再无停车位。

综上两点，可以求出成功停车的概率：

P ( k ) = ∑ i = 1 k a k − i × ( 1 − a ) × a i = ∑ i = 1 k a k × ( 1 − a ) = ( 1 − a ) k a k P(k)=\sum\limits_{i=1}^ka^{k-i}\times (1-a)\times a^{i}=\sum\limits_{i=1}^ka^{k}\times (1-a)=(1-a)ka^k P(k)=i=1∑kak−i×(1−a)×ai=i=1∑kak×(1−a)=(1−a)kak

导数是：

P ′ ( k ) = ( 1 − a ) a k + ( 1 − a ) k a k ln ⁡ a = a k ( 1 − a + k ln ⁡ a ) P'(k)=(1-a)a^k+(1-a)ka^k\ln a=a^k(1-a+k\ln a) P′(k)=(1−a)ak+(1−a)kaklna=ak(1−a+klna)

所以，在 k = a − 1 ln ⁡ a k=\dfrac{a-1}{\ln a} k=lnaa−1时，效果最好。来感受动态(用Geogebra作图)：

这说明，当已知车位占用率为 a a a时，离目的地 k = a − 1 ln ⁡ a k=\dfrac{a-1}{\ln a} k=lnaa−1开始，找到一个车位就停进去，是最好的选择。给出一个 a a a，就能算出一个 k k k。

《算法之美》第一章“最优停车位置”问题大致也是这么算的，只是它考虑了更复杂的情形，停止位并没有在目的地终止，而是延伸到无穷远处，最终它得到了下表：

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。

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