前面两篇转载的后缀树系列文章已经描述了后缀树的线性构建算法。创建后缀树的O(n)算法，除了1995年E. Ukkonen大幅简化的算法，还有Peter Weiner的73年年度最佳算法、Edward McCreight1976的改进算法、Juha Kärkkäinen 和 Peter Sanders2003年进一步简化的线性算法，可以根据自己喜好选择。
转载的本系列文章应该预设有第三篇的（后缀树应用），但是没找到，那就自己总结一下吧。
先扩展一下后缀树的概念：广义后缀树(Generalized Suffix Tree)。传统的后缀树处理一坨单词的所有后缀。广义后缀树存储任意多个单词的所有后缀。注意我们需要区分不同单词的后缀，所以叶节点用不同的特殊符号与后缀位置配对。

主要应用场景

1. 查找字符串 Pattern 是否在于字符串 Text 中（生信中的exact string matching）

解决方案：用 Text 构造后缀树，按在 Trie 中搜索字串的方法搜索 Pattern 即可。若 Pattern 在 Text 中，则 Pattern 必然是 Text 的某个后缀的前缀。采用后缀树的方法，其总的计算复杂度并不劣于KMP等经典方法，可以作为重要的替代方法。此外更重要应用场景如下： Exact set matching problem（多个子串的情况）； The substring problem for database of patterns（多个母串的情况）。

2. 计算指定字符串 Pattern 在字符串 Text 中的出现次数

解决方案：用 Text+`$` 构造后缀树，搜索 Pattern 所在节点下的叶节点数目即为重复次数。如果 Pattern 在 Text 中重复了 c 次，则 Text 应有 c 个后缀以 Pattern 为前缀。

3. 查找字符串 Text 中的最长重复子串

解决方案：用 Text+`$` 构造后缀树，搜索后缀树中最深的非叶节点。从 root 到该节点所经历过的字符串就是最长重复子串。

4. 查找两个字符串 Text1 和 Text2 的最长公共部分（即Lowest Common Ancestor）

解决方案：连接 Text1+`#` + Text2+`$` 形成新的字符串并构造后缀树，找到最深的非叶节点，且该节点的叶节点既有 `#` 也有 `$`。另外，这个可以从两个推广到多个字符串。查找LCA的算法是O(1)的复杂度，代价是需要对后缀树做复杂度为O(n)的预处理。曾记得以前学过树结构的LCA各种算法，比如Tarjan算法（DFS+并查集，离线）、RMQ（时间戳，在线）、树链剖分等，年代久远，这些东西都记不清楚了T_T。此外，还有一种二进制树检索LCA的方法，用二进制的每一位表示路径方向，0表示左儿子，1表示右儿子。只需将需要比较的两个节点的二进制值进行XOR计算，即可得知二者重叠的路径（根据XOR的定义知，左边连续的0右多少个，则有多少重叠）。将任意后缀树mapping到二进制树中，即可快速地检索出LCA。（关于二进制树，具体请参考*Algorithms on Strings, Trees and Sequences* 一书）

5. 查找给定字符串 Text 里的最长回文（palindrome in DNA or RNA）

解决方案：将 Text 整体反转形成新的字符串 Text2，例如 "abcdefgfed" => "defgfedcba"。连接 Text+`#` + Text2+`$` 形成新的字符串并构造后缀树，然后将问题转变为查找 Text 和 Text1 的最长公共部分。注意，DNA或RNA中回文的定义略有区别。

6. 识别DNA污染问题

定义：给定一个新测序的DNA序列S1和一个来自可能的污染物的DNA序列S2, 发现S2中所有出现在S1中且长度超过给定阈值x的子串，如果S2中的某个子串出现在S1中， S1可能已经被污染了。解决方案：本质上是LCA问题的变种。

7. All-pairs suffix-prefix matching

定义：给定字符串Si和Sj，若Si的后缀与Sj的前缀匹配，则称suffix-prefix match。如果将两个字符串的问题，推广到多个字符串S1,S2,S3...Sk的情况，对于任意其中两个Si和Sj进行suffix-prefix match，其中最长的suffix-prefix match称为All-pairs suffix-prefix matching。解决方案：可以在线性时间内解决，本人暂时未仔细阅读这个方法，请参考*Algorithms on Strings, Trees and Sequences* 一书。

8. Circular string linearization

定义：字符串S中的任意一个位置切断，而原先的首位相接，可以得到新的字符串。如何选择这个位置，使得新字符串的字典序最小。解决方案：给定长度为n的字符串S，先复制成2倍长度变成SS，构建SS+`$` 的后缀树T，从T的根节点开始，每次顺着字典序最小的分支走下去，直至深度为n，得到的字符串对应的切割方案即为所求。

9. Suffix trees in genome-scale projects

一些基因工程里已经应用了后缀树的方法，比如Arabidopsis thaliana（拟南芥）、Yeast（酵母）、Borrelia burgdorferi（博氏疏螺旋体）等

其他应用场景

1. Longest common extension; 2. Finding all maximal palindrome in linear time; 3. Exact matching with wild cards（通配符）; 4. The k-mismatch problem; 5. Approximate palindrome and repeats; 6. Faster methods for tandem repeats; 7. A linear-time solution to the multiple common substring problem.

空间优化

构建Directed Acyclic Word Graph，简称DAWG。具体请查看相关资料（比如*Algorithms on Strings, Trees and Sequences* 一书中就有章节讲述：Building a smaller directed graph for exact matching）。 *Algorithms on Strings, Trees and Sequences* 一书中还有几个空间优化的例子： A reverse role for suffix trees, and major space reduction; Space-efficient longest common substring algorithm; Suffix arrays——more space reduction.

其他

*Algorithms on Strings, Trees and Sequences* 一书中还提到了一些相关的知识。 1. Boyer-Moore如何解决exact set matching problem; 2. Ziv-Lempel 数据压缩; 3. Minimum length encoding of DNA.

后缀树系列三:后缀树的应用