最优停止理论OptimalStoppingTheory经典秘书问题ClassicSecretaryProblem

在博弈论中，类似问题，有相亲问题、见好就收、苏丹嫁妆问题、挑剔的求婚者问题等。首先通俗解下类似问题：相亲问题，售房问题。

相亲问题描述如下：

假如一个非常优秀的人相亲，已知追求的他的人有有限个，例如10位，并且根据个人的评价，给这10个人给予了综合打分。现在规定，交往中他不能脚踏两只船，即不能同时和两个人交往，如果在交往之后他没有接受这个人，那么，以后也没有机会再选择这个人作为对象。然后接着和下一个人交往。

这个问题可以看出，无论什么时候选择都会面临很多不确定性，比如无法预知是否错过了最优秀的人选，或者在选择后，后面会不会有更好的人选。那么，他随机和这些人交往，在和第几个人交往时，他能选择到最优秀的人作为对象呢，即何时停止交往可以使他选择到最优秀的人最为对象呢？

下面是停止规则的一般归纳，它是通过两个对象来定义的：

（1）一系列随机变量X1,X2,…，它们的联合分布规律是已知的，

（2）一系列奖励函数Y0,Y(X1),Y(X1,X2),…

在考虑这两个对象时，你可以一直观察随机变量X1，X2… 在观察变量Xn时，你可能会选择停止，这个时候你获得的奖励是函数Yn(X1,X2,X3…,Xn)，当然这个函数值也可能是负数，比如女青年相求问题，加入相亲了N个人（N很大），那么她会经历从“剩斗士”到“必剩客”再到“齐天大剩”的过程，想想，还是很吃亏的（不仅木有回报，并且逝去了最美丽的年华）~~你也可能是持续观察下一次的过程，记为N 趋于无穷大，那么这时候也有一个对应的回报函数值。现在要解决的问题是，在何时停止观察随机变量x，可以是我们的回报函数值最大。

这里给出了理想的情况下，如何求解经典秘书问题：

问题描述：要聘请一名秘书，有n人来面试，n是已知的，而且面试者的能力有排名，随机进行面试，每个人的机会是均等的。每次面试一人，面试官便要即时决定聘不聘他，如果当时决定不聘他，他便不会回来。面试时总能清楚了解求职者的适合程度，并能和之前的每个人作比较。问凭什么策略，才使选得到最适合担任秘书的人的机率最大？

采取的策略：对前r-1个人都拒绝，然后对剩下的n-r+1个人进行面试，如果任何一个面试者比之前面试的人都优秀，那么就聘请这个人。前r-1个人被聘请的概率为0，假设从第r个人开始面试，面试到的第k个人是最优秀的并且被选中的应聘者。那么

最优秀应聘者被选择的概率为：

其中，第k个为最优秀的并且被选中的人，根据概率论的知识，可以化简为，第k个人在最优秀的前提下被选择。因为最优秀的人只有一个，所以它的概率为1/n，同时也就意味着，在前k-1中，最优秀到人在r-1个人中。

既然是最优秀的，那么，最优秀应聘者被选择的概率大于他前后应聘者被选中的概率，所以有，

得到r一般表达式，现在要找到最优解，等价于找到满足下列条件最小的r值：

The university of Alabama in Huntsville对上述表达式部分n值求解结果如下：

观察可知结果在逐渐变小，Alabama大学对表达式中不同n值与P的关系作图，详见链接： http://www.math.uah.edu/stat/urn/Secretary.html 这里通过表达式一样可以近似得出与Alabama大学描述相同的结果，解答过程如下：

当n趋于无穷大，调和数列求和可以近似化简，

所以，经典秘书问题得出面试中应聘到最优面试者的概率是0.368，通俗所，100个人来面试，第36个人或者第37个人是最优应聘者的概率是最大的。

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转载自一篇知乎文章
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