投影向量计算公式的推导

在R3R^3R3中，将向量β\betaβ投影到向量α\alphaα上的投影向量记为Πα(β)\Pi_{\alpha}(\beta)Πα(β)。

如上图，Πα(β)\Pi_{\alpha}(\beta)Πα(β)与α\alphaα共线，于是，
Πα(β)=xe,(1)\Pi_{\alpha}(\beta)=xe,\quad (1)Πα(β)=xe,(1)
其中，xxx为投影值，它的绝对值等于投影向量的长度，e=α∣α∣e=\frac{\alpha}{|\alpha|}e=∣α∣α, 即与α\alphaα同方向的单位向量。
下面求xxx的值：

由点乘的计算公式，
β⋅e=∣β∣∣e∣cosθ=∣β∣cosθ=x(2)\beta\cdot e=|\beta||e|cos\theta=|\beta|cos\theta=x \quad (2)β⋅e=∣β∣∣e∣cosθ=∣β∣cosθ=x(2)
将（2）代入（1），得

Πα(β)=xe=(β⋅e)e\Pi_{\alpha}(\beta)=xe=(\beta\cdot e) eΠα(β)=xe=(β⋅e)e
=β⋅α∣α∣α∣α∣=β⋅αα⋅αα，=\frac{\beta\cdot \alpha}{|\alpha|}\frac{\alpha}{|\alpha|}=\frac{\beta\cdot\alpha}{\alpha\cdot\alpha}\alpha，=∣α∣β⋅α∣α∣α=α⋅αβ⋅αα，
所以，

Πα(β)=β⋅αα⋅αα\Pi_{\alpha}(\beta)=\frac{\beta\cdot\alpha}{\alpha\cdot\alpha}\alphaΠα(β)=α⋅αβ⋅αα

应用

例1 在R3R^3R3中，向量β=(1，2，3)T,α=(1,1,1)T\beta=(1，2，3)^T,\alpha=(1,1,1)^Tβ=(1，2，3)T,α=(1,1,1)T，计算Πα(β).\Pi_{\alpha}(\beta).Πα(β).

解：Πα(β)=1⋅1+2⋅1+3⋅11⋅1+1⋅1+1⋅1α=63α=2α.\Pi_{\alpha}(\beta)=\frac{1\cdot1+2\cdot 1+3\cdot 1}{1\cdot1+1\cdot 1+1\cdot 1}\alpha=\frac{6}{3}\alpha=2\alpha.Πα(β)=1⋅1+1⋅1+1⋅11⋅1+2⋅1+3⋅1α=36α=2α.

推广

在nnn维欧式空间PnP^nPn中，点乘推广为内积，记为(β,α)(\beta,\alpha)(β,α), 上述投影公式可推广为：
Πα(β)=(β,α)(α,α)α.\Pi_{\alpha}(\beta)=\frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha.Πα(β)=(α,α)(β,α)α.

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