3阶差分方程在有重根下的一般计算公式的推导

设有(x-2)^3=0

用newton二项式定理展开有：

C(3,3)*x^3*(-2)^(3-3)+...+C(3,k)*x^k*(-2)^(3-k)+C(3,0)*x^0*(-2)^(3-0)=0

第一种情况：

在这里如果x的解的形式为2^n,

代入左边有：

C(3,3)*2^(n+3)*(-2)^(3-3)+...+C(3,k)*2^(n+k)*(-2)^(3-k)+C(3,0)*2^n*(-2)^(3-0)

C(3,3)*2^(n+3)*2^(3-3)*(-1)^(3-3)+...+C(3,k)*2^(n+k)*2^(3-k)*(-1)^(3-k)+C(3,0)*2^n*2^(3-0)*(-1)^(3-0)

C(3,3)*2^(n+3)*(-1)^(3-3)+...+C(3,k)*2^(n+3)*(-1)^(3-k)+C(3,0)*2^(n+3)*(-1)^(3-0)

提取2^(n+3)有：

2^(n+3)* { C(3,3)*(-1)^(3-3)+...+C(3,k)*(-1)^(3-k)+C(3,0)*(-1)^(3-0) }

考虑一般情况SUM { C(n,k)*(-1)^(n-k) } ,显然它的母函数是 {1+ (-1)}^n,结果为零，所以上面式子为0；

第二种情况：

在这里如果x的解的形式为n*2^n,

代入左边有：

C(3,3)*(n+3)*2^(n+3)*(-2)^(3-3)+...+C(3,k)*(n+k)*2^(n+k)*(-2)^(3-k)+C(3,0)*n*2^n*(-2)^(3-0)

提取2^(n+3)有：

2^(n+3)* { C(3,3)*(n+3)*(-1)^(3-3)+...+C(3,k)*(n+k)*(-1)^(3-k)+C(3,0)*n*(-1)^(3-0) }

上面式子{}内的计算分为两部分，其中

result=n*SUM { C(n,k)*(-1)^(n-k) }+ SUM { C(n,k)*(-1)^(n-k)*k }

result=n*0+ (n-1)* SUM { C(n-1,k-1)*(-1)^(n-k) } （右边的值为{1+ (-1)}^(n-1),也为0)

result=0+0=0

第三种情况：

在这里如果x的解的形式为n^2*2^n,

代入左边有：

C(3,3)*(n+3)^2*2^(n+3)*(-2)^(3-3)+...+C(3,k)*(n+k)^2*2^(n+k)*(-2)^(3-k)+C(3,0)*n^2*2^n*(-2)^(3-0)

提取2^(n+3)有：

2^(n+3)* { C(3,3)*(n+3)^2*(-1)^(3-3)+...+C(3,k)*(n+k)^2*(-1)^(3-k)+C(3,0)*n^2*(-1)^(3-0) }

因为(n+k)^2=C(2,2)*n^2*k^(2-2)+C(2,1)*n^1*k^(2-1)+C(2,0)*n^0*k^(2-0)

根据前面的推导，等式右边的前面两项的累加和为0，下面考虑第三项：C(2,0)*k^2

即SUM { C(n,k)*(-1)^(n-k)*k^2 }的值；

result=SUM { C(n,k)*(-1)^(n-k)*k^2 }

result=n*SUM { C(n-1,k-1)*(-1)^(n-k)*k }

result=n*SUM { C(n-1,k-1)*(-1)^(n-k)*(k-1+1) }

result=n*SUM { C(n-1,k-1)*(-1)^(n-k)*(k-1) + C(n-1,k-1)*(-1)^(n-k)}

result=n*SUM { (n-1)* C(n-2,k-2)*(-1)^(n-k) + C(n-1,k-1)*(-1)^(n-k) }

result=n* { (n-1)*0 +0 } =0

得到证明；

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