线性代数 --- 投影Projection 一（投影向量p）
线性代数中的投影
之前看过Gilbert strang老爷爷在MIT主讲的线性代数视频，令我印象最深的，就是他讲过的一堂关于投影的课。倒不是这堂课的内容本身有多么的吸引我，反倒是他在这堂课中所说的一句话，时至今日都另我印象深刻。
他的原话是：“我要让这堂课不朽（immortal）”
当时，我看了以后，感觉整个人都被震住了。细细想来，一个老师，居然在他的课上，一开始就说，要让他的这堂客不朽。这得需要何等的自信，这得多么热爱自己所教的这门课啊。这句话一直激励着我，一定要把线性代数学好，尤其是要把线性代数中的投影学好。1，是为了证明自己，当初上学的时候，线性代数学的不好，并不是因为自己笨，尤其是不是因为自己比别的同学笨。2，是只有真正把线性代数学好了，才能真正的理解这门，被Gilbert strang称之为不朽的课程 --- 投影。
言归正传，我自认为在学习投影的时候，花了很多时间和精力，也走了很多弯路。现在我就把我对投影的理解梳理出来，分享给有需要的人，同时，更是对我自己学习的一个总结和梳理。（---松下J27）
如何计算向量的投影
在线性代数投影的学习中，有两个非常重要概念，或者说我们一直在试图回答两个问题：（以二维空间为例）
1，对于一个任意向量b而言，他在另一个向量上的投影是什么？尤其是，他在x-y轴上的投影是什么？
这个问题的答案，就是要找到投影向量p(小写的p)。例如，向量b=[1,5]，在x轴[x,0]上的投影为p_x=[1,0]，在y轴[0,y]上的投影为p_y=[0，5]。
2，有没有一个矩阵P，能把任意向量都投影到指定的向量上去？例如，矩阵P[1 0;0 0]可以把二维空间中的任意向量都投影到x轴上去
而这个问题的答案，是要找到一种线性变换或者说是投影矩阵P(大写的P)，他可以把任何矩阵都投影到指定的向量上去。
向量b在向量a上的投影向量p
现在，我们先把目光聚焦在计算投影向量p上：也就是在二维空间中，如何求出一个向量在另一个向量上的投影？
做向量b到向量a所在直线的垂线，垂于点p，得到b在a上的投影Op，即投影向量p(记为英文字母小写p)。
其中：
（1）向量a所在直线上的垂点p，是向量b的端点b在直线a上的投影点。
（2）向量p是向量b在直线a上的投影向量。向量p与向量a的方向相同，大小是a的某一倍数(为了方便后续的描述和学习，我们暂且称之为投影系数)，读作x hat。
记作：
（3）点p到点b的连线垂直于Oa,它是点b到Oa的最短距离。
前面说过，投影向量p与a的方向相同，但长度不同。且，向量p的长度与a之间满足一定的比例。也就是说，只要求出了投影系数
，就相当于求出了投影向量p:
p=a
现在，我们分别通过两种方法计算投影系数：
1，利用直角三角形中夹角的余弦。（适用于二维和三维空间）
2，利用正交向量的内积为0，也就是根据投影向量p与垂线e相互垂直。（适用于更高维空间）
方法1，两个向量夹角的余弦：
先简单的回顾一下，需要用到的三角函数和线性代数的基础知识，以及三角函数中的一些定理用线性代数的语言是如何描述的。
向量的内积/点积：
向量的长度:
用向量的长度来表示直角三角形的边长：
用向量的长度与向量的内积来表示夹角的余弦：
得到α和β的正弦和余弦后，根据余弦的和差公式，我们求得了用两个向量的内积与两个向量的长度表示的角θ的余弦:
（请注意上图中用a,b的内积表示x1x2+y1y2的部分）
现在我们再回到之前所画的投影图中，点b和他在a上的投影---点p，再加上原点o，共同构成了直角三角形。Op的长度是Oa的某一倍数，即投影系数
，
是一个常数。
首先，在直角三角形中，利用角θ的余弦等于领边Op比斜边Ob，得到式1：
其次，向量a与向量b的夹角为θ，根据之前推导出来的两个向量的夹角的余弦公式，得到式2：（这一结论也可以通过三角函数中的余弦定理求得）
联合式1和式2得到：
小结：
如果只在二维和三维空间
中讨论向量的投影，都可以用三角函数中的余弦的和差公式（或：余弦定理）等三角函数的知识来计算。但是，如果上升到n维，也就是
的空间中，角度/夹角这个几何术语的定义本身都不确定了/或者说不存在/不适用了，这样一来，我们在二维空间中利用三角函数的知识计算得来的投影系数
在高维空间
(n>3)中就不一定适用了。
方法2，正交向量的内积为0：
在本文的上一节所提到的方法1中，我们利用三角函数的知识，基于两个向量夹角的余弦求出了投影系数，继而求出了投影向量p。但之前的那种方法只适用于低维度的空间，这里我们要介绍一种适用于所有维度的计算投影系数的算法，即，两个相互垂直的向量，他们的内积为0。
投影点p到向量b的端点b的连线---向量e=b-p，垂直于向量a。我们有：
根据两个相互垂直的向量他们的内积为零，有：
这样一来，我们就在不使用任何三角函数相关知识的情况下，计算出了和前面一样的投影系数。同时，也把投影向量的计算方法推广到了更高的维度
。
最后：
（全文完）
作者 --- 松下J27
参考文献（鸣谢）：
1，《Introduction to Linear Algebra》,5th Edition - Gilbert Strang
2，线性代数及其应用，侯自新，南开大学出版社，1990.
古诗词赏析：
《读孟尝君传》 王安石（宋）
世皆称孟尝君能得士，士以故归之，而卒赖其力以脱于虎豹之秦。嗟乎！孟尝君特鸡鸣狗盗之雄耳，岂足以言得士？不然，擅齐之强，得一士焉，宜可以南面而制秦，尚何取鸡鸣狗盗之力哉？夫鸡鸣狗盗之出其门，此士之所以不至也。
（配图与本文无关）
重要的事情说三遍：
版权声明：所有的笔记，可能来自很多不同的网站和说明，在此没法一一列出，如有侵权，请告知，立即删除。欢迎大家转载，但是，如果有人引用或者COPY我的文章，必须在你的文章中注明你所使用的图片或者文字来自于我的文章，否则，侵权必究。 ----松下J27
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