空间曲线曲率算法c语言,第一章第四节空间曲线曲率计算公式及推导.doc
第一章第四节空间曲线曲率计算公式及推导
空间曲线的曲率定义及
计算公式
引理 设是单位圆周上的向量，即，
设与之间的夹角记为，则有 。
证明 因为
，
所以
。
(用解等腰三角形或用余弦定理，得
。)
定理1.2 设曲线：(是弧长参数)上的每一点有一个单位向量，与之间的夹角记为，那么。
设曲线：，这里参数是曲线自身的弧长，我们知道，是曲线的切向量，，即是单位向量。
记，，
与的夹角，度量了曲线的弯曲程度。
，我们称之为曲线的 曲率，用来表示，。
(举例解释，需要曲率这个量来刻画曲线；曲珑拐弯，拐弯抹角的程度。)
直线可以用向量方程表示为，其中和为常向量，并且，这时切向量是常向量，从而，曲率。
反之，如果，即，
由此可知是常向量，进而解得，其中和为常向量。
由此可知：直线的特征是。
讨论圆
。
(这是由于
，
而，，故圆的方程可表示为。)
这时，，
。
于是，，
即圆的曲率等于其半径的倒数。
空间曲线曲率的计算公式：
设曲线：，这里参数不必是弧长参数。
我们有，
，
将以上两式的双方作向量外积，得
，
由于，，
得，(即互相垂直)
所以
由于，
所以，
由此得出曲率公式
。
，
把
，
代入曲率公式，可得简便计算公式
。
求圆柱螺线
，
的曲率。
解 直接计算，得
，
，
所以，
，
，
，
又
，
代入公式，
得出曲率
。
它是一个常数，这与几何直觉是相符合的。
平面曲线的曲率计算公式：
设平面曲线L：。
，
所以，平面曲线L：
的曲率
。
对曲线，
此时，
则曲率
。
若曲线由极坐标方程给出，且二阶可导。
则可得
由曲率公式
，
可计算：
。
代入，得曲率为
。
例6求心形线在处的曲率。
解
，
代入公式，
它在 曲率为
。
空间曲线曲率公式的另一种证明方法：
对光滑曲线：，，
，，
，
严格递增，反函数存在，记为，把它代入；
所以，是的函数，这里参数是弧长参数。
我们有
，
，。
空间曲线的曲率(描述曲线的弯曲程度)。
设曲线的参数方程为：，，，，
并假设是光滑曲线，且，，连续，
设，则曲率。
设曲线：，这里参数不必是弧长参数。
我们有，，
；
，，
，，，
，，
，
，
，
，
由，
代入计算，得
，
由此而来
，
由，得
，
故得空间曲线：
的曲率
，
即 。
设平面曲线L：，
所以，平面曲线L：
的曲率
。
当曲线由方程给出时，此时，利用上式，
，，，，
故曲率
。
曲率半径：若光滑曲线在点处的曲率为，
当时，称为曲线在处的曲率半径。
(平面曲线的情形，也有用几何图形给出的更方便直观的证法，见华东师大的书。)
例1、 求曲线的曲率的最大值。
解 由曲率的表达式
，
从而得的最大值为。
例2、证明：若曲线的所有切线经过同一点，则该曲线是一条直线.
证明 证法一
设曲线的切线经过，
则有,
于是，
，
假若，
则，
再由，
得，矛盾，
所以
从而曲率，
故曲线必为一条直线.
证法二 设曲线为，为弧长参数;所有切线经过的点为，
则有，
从而,
由，
得与正交，
于是
因为
必有，
所以为一条直线.
例3 、 求椭圆
上曲率最大和最小点.
解 由于
.
由公式，
得
.
不妨设，
于是在(长轴端点)处曲率最大；
而在、(短轴端点)处曲率最小；
且.
例4、 由下述方程确定一条球面曲线：
给定曲线上的一点
求曲线在处的曲率.
解 曲线为
;
由条件得;
再由,得
;
,
，
，
,,
,
代入曲率公式
，
计算,
得 .
例5、 设函数具有连续二阶偏导数，且，则等高线(为常数)的曲率为 .
解 设由所确定的隐函数为，
于是，
求导得，
从而，
再求导可得
，
代入曲率公式
，
计算得,
;
直接验证，
可知
，
，
，
故有 .
21
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