最短路径——SPFA算法（蓝桥杯试题集）

*对于本题的floyd题解请跳转：http://blog.csdn.net/sm9sun/article/details/53285870

题目链接：
http://lx.lanqiao.cn/problem.page?gpid=T15
问题描述
给定一个n个顶点，m条边的有向图（其中某些边权可能为负，但保证没有负环）。请你计算从1号点到其他点的最短路（顶点从1到n编号）。
输入格式
第一行两个整数n, m。
接下来的m行，每行有三个整数u, v, l，表示u到v有一条长度为l的边。
输出格式
共n-1行，第i行表示1号点到i+1号点的最短路。
样例输入
3 3
1 2 -1
2 3 -1
3 1 2
样例输出
-1
-2
数据规模与约定
对于10%的数据，n = 2，m = 2。
对于30%的数据，n <= 5，m <= 10。
对于100%的数据，1 <= n <= 20000，1 <= m <= 200000，-10000 <= l <= 10000，保证从任意顶点都能到达其他所有顶点。
解题思路：

首先介绍一下SPFA算法

定义：我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。期望的时间复杂度O(ke)，其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。

具体实现操作：首先，我们建立一个队列，初始时队列里只有起始点，然后再建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行松弛操作，用队列里有的点作为起始点去刷新到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空。

判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）

我们先找一个图，例如这篇博客里的http://blog.csdn.net/muxidreamtohit/article/details/7894298

我们把他转化成矩阵

	A	B	C	D	E	F	G
A	M	24	8	15	M	M	M
B	M	M	M	M	6	M	M
C	M	M	M	M	7	3	M
D	M	M	M	M	M	M	4
E	M	M	M	M	M	M	9
F	M	M	M	5	2	M	3
G	M	3	M	M	M	M	M

首先，a点作为起点，把与其相连的节点以此进行松弛操作

然后，其三个点入队，我们看到，这里是不分优先顺序的

首先是b，然后对其相连的节点进行松弛操作

此时路径表里e点发生了变化，e原不在队列中，于是我们入队

然后轮到c点了，c点进行松弛操作

f入队，d点松弛操作

然后e点出队

我们发现，e点只有g一条变且aeg并没有ag优

所以松弛不成功，那我们就不需要入队新节点

然后接着f出队，我们发现afe（11+2）要小于ae（15）以及afg（11+3）小于ag（19）

那么进行松弛，同时e需要再入一次堆，g点此时存在于队列，就不用入了。

然后g出队，优化了b，于是b在入队

e再出队，然后b出队，直至队列为空

也就是说，我们每松弛一个节点，就需要将被优化的节点重新入队再计算一次。所以SPFA算法期望的时间复杂度O(ke)，其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。

本题代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<queue>
#include<algorithm>
#define inf 0xFFFFFFF
using namespace std;
struct a
{int u,v,l,next;
} e[400010];
int head[200010];
int dis[200010];
int vis[200010];
int cnt[200010];
void list(int u,int v,int l,int i)
{e[i].u=u;e[i].v=v;e[i].l=l;e[i].next=head[u];head[u]=i;
}
int relax(int u,int v,int c)  //路径松弛
{if(dis[v]>dis[u]+c){dis[v]=dis[u]+c;return 1;}return 0;
}int SPFA(int s)                 //SPFA算法
{int i;memset(cnt,0,sizeof(cnt));dis[s]=0;queue<int>Q;Q.push(s);vis[s]=1;cnt[s]++;while(!Q.empty()){int u,v;u=Q.front();Q.pop();vis[u]=0;for(i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){v=e[i].v;if(relax(u,v,e[i].l)==1&&!vis[v]){Q.push(v);vis[v]=1;}}}
}int main()
{int t,n,m;int i,j;while(~scanf("%d%d",&n,&m)){memset(e,-1,sizeof(e));for(i=1;i<=n;i++){dis[i]=inf;vis[i]=0;head[i]=-1;}for(i=1;i<=m;i++){int u,v,l;scanf("%d%d%d",&u,&v,&l);list(u,v,l,i);}SPFA(1);for(i=2;i<=n;i++)printf("%d\n",dis[i]);}return 0;
}

我们看一下运行的效率

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