线段树——操作格子（蓝桥杯试题集）

题目链接：

http://lx.lanqiao.cn/problem.page?gpid=T18

题目描述：

有n个格子，从左到右放成一排，编号为1-n。
共有m次操作，有3种操作类型：
1.修改一个格子的权值，
2.求连续一段格子权值和，
3.求连续一段格子的最大值。
对于每个2、3操作输出你所求出的结果。
输入格式
第一行2个整数n，m。
接下来一行n个整数表示n个格子的初始权值。
接下来m行，每行3个整数p,x,y，p表示操作类型，p=1时表示修改格子x的权值为y，p=2时表示求区间[x,y]内格子权值和，p=3时表示求区间[x,y]内格子最大的权值。
输出格式
有若干行，行数等于p=2或3的操作总数。
每行1个整数，对应了每个p=2或3操作的结果。
样例输入
4 3
1 2 3 4
2 1 3
1 4 3
3 1 4
样例输出
6
3
数据规模与约定
对于20%的数据n <= 100，m <= 200。
对于50%的数据n <= 5000，m <= 5000。
对于100%的数据1 <= n <= 100000，m <= 100000，0 <= 格子权值 <= 10000。

解题思路：

乍一看，不怎么难。然而写一波循环超时之后。

本题求和、最大值操作显然不能循环计算求取，那么就要想办法再此之前保存这些值。那么问题就来了，我们要怎样保存呢？

先介绍一下线段树：

线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，线段树是建立在线段的基础上，每个结点都代表了一条线段[a,b]。
使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN）。而未优化的空间复杂度为2N（这个我表示呵呵）
对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。
线段树至少支持下列操作：
Insert(t,x）：将包含在区间 int 的元素 x 插入到树t中；
Delete(t,x）：从线段树 t 中删除元素 x；
Search(t,x）：返回一个指向树 t 中元素 x 的指针。

好，我们把其代入本题：

首先说一下建树：void build(int i,int l,int r)//引入节点标和左右标

假设输入n=8，那我们需要构造的线段即[1,8]，即我们的建树操作为：build(1,1,8); //首先从节点1开始，左极限为1，右极限为8

我们的build函数有以下几个操作：

①如果l==r，也就是说，当前引入点左右相等，那么就是一个单独的数，我们就不再需要向下递归

②如果l不等于r，我们需要创造他的2个子节点：

build(2*i,l,(l+r)/2); //我们知道二叉树子节点的编号分别为2i，2i+1

build(2*i+1,(l+r)/2+1,r); //我们递归构造子节点时，对于奇数线段比如说[1-3]，我们有两种选择，[1-2][3]或者[1-2][2-3] 这里我们采取前者。

③递归回归时将其有用的权值返回父节点，父节点针对于子节点的权值构造自身权值

比如这道题的sum与max：

/* 回归时得到当前i节点的max信息 */
LineTree[i].Node_Max=fmax(LineTree[2*i].Node_Max,LineTree[2*i+1].Node_Max);
/* 回归时得到当前i节点的sum信息 */
LineTree[i].Node_Sum=LineTree[2*i].Node_Sum+LineTree[2*i+1].Node_Sum;

接下来我们讲更新：

①当叶子节点更新的时候，所有其父路径直至根节点走要进行一次更新操作，即时间复杂度为O(logN）

②找叶子节点也需要花费O(logN）从根节点递归查找至叶子节点

最后，我们讲查询：

①查询分为点查询，线段查询（即线段左右点是否相等）

②线段查询，该线段可能在树中完全包含，也可能是半包含。例如构造线段[1,2,3,4]

即：

[1,2,3,4]

[1,2] [3,4]

[1] [2] [3] [4]

如果我们想搜寻[1,3]线段，那么可以看到，该树是不存在这样的线段的，那么我们就需要通过[1,2]和[3]来计算[1,2,3]所返回的权值

下面贴出完整代码：

#include<stdio.h>
#define N 100010
struct LineTree
{int Node_Max;//i点线段的最大值 int Node_Sum;//i点线段的和 int Node_Lpoint;//i点线段的左限    int Node_Rpoint;//i点线段的右限
}LineTree[N*4];              //不是2n-1！！！不是2n-1！！！不是2n-1！！！  int Box[N];    // 盒子
int _max;
int _sum;int fmax(int a,int b)
{return a>b?a:b;
}void build(int i,int l,int r)//引入节点标和左右标
{LineTree[i].Node_Lpoint=l,LineTree[i].Node_Rpoint=r;if(l==r)          //如果左右相等，表示只有一个元素 LineTree[i].Node_Sum=LineTree[i].Node_Max=Box[l];  //节点记录该单元素     else    {     /* 递归构造左右子树 */   build(2*i,l,(l+r)/2);    build(2*i+1,(l+r)/2+1,r);         /* 回归时得到当前i节点的max信息 */    LineTree[i].Node_Max=fmax(LineTree[2*i].Node_Max,LineTree[2*i+1].Node_Max);/* 回归时得到当前i节点的sum信息 */  LineTree[i].Node_Sum=LineTree[2*i].Node_Sum+LineTree[2*i+1].Node_Sum;    }
}void updata(int i,int x,int y)/*单节点更新    y替换x */
{    if(LineTree[i].Node_Lpoint==x&&LineTree[i].Node_Rpoint==x)                  //如果为X格子 {LineTree[i].Node_Sum=LineTree[i].Node_Max=y;             //单格子更新 while(i)                              //递归更新其所有父级路径 { if(i%2){LineTree[i/2].Node_Sum=LineTree[i-1].Node_Sum+LineTree[i].Node_Sum;LineTree[i/2].Node_Max=fmax(LineTree[i-1].Node_Max,LineTree[i].Node_Max);}else{LineTree[i/2].Node_Sum=LineTree[i+1].Node_Sum+LineTree[i].Node_Sum;LineTree[i/2].Node_Max=fmax(LineTree[i+1].Node_Max,LineTree[i].Node_Max);}i/=2;}}else                                 //递归遍历 {i*=2;if(x>LineTree[i].Node_Rpoint)updata(i+1,x,y);elseupdata(i,x,y);}
}int readmax(int i,int x,int y)       //区间最大值查询
{   if(LineTree[i].Node_Lpoint==x&&LineTree[i].Node_Rpoint==y)_max=fmax(_max,LineTree[i].Node_Max);        //只有一个数                else{i*=2;if(x<=LineTree[i].Node_Rpoint)            //右区间    {if(y<=LineTree[i].Node_Rpoint)           //完全包含 readmax(i,x,y);else                  //半包含 readmax(i,x,LineTree[i].Node_Rpoint);}i++;if(y>=LineTree[i].Node_Lpoint)            //左区间 {if(x>=LineTree[i].Node_Lpoint)          //完全包含 readmax(i,x,y);else                  //半包含 readmax(i,LineTree[i].Node_Lpoint,y); }}
}
int readsum(int i,int x,int y)       //区间和 遍历同上
{   if(LineTree[i].Node_Lpoint==x&&LineTree[i].Node_Rpoint==y)_sum+=LineTree[i].Node_Sum;else                    {i*=2;if(x<=LineTree[i].Node_Rpoint){if(y<=LineTree[i].Node_Rpoint)readsum(i,x,y);elsereadsum(i,x,LineTree[i].Node_Rpoint);}i++;if(y>=LineTree[i].Node_Lpoint){if(x>=LineTree[i].Node_Lpoint)readsum(i,x,y);elsereadsum(i,LineTree[i].Node_Lpoint,y);}}
}   int main()
{int i,n,m,p,x,y;while(~scanf("%d%d",&n,&m)){for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&Box[i]);build(1,1,n);       while(m--){scanf("%d%d%d",&p,&x,&y);switch(p){case 1:updata(1,x,y);break;case 2:_sum= 0;readsum(1,x,y);printf("%d\n",_sum);break;case 3:_max=-1;readmax(1,x,y);printf("%d\n",_max);break;}}}
}

注意！！这个问题也是困扰了我很久的一个问题，我们申请线段树时候，其空间到底是多少？

对于线段树来说，N也就是单独的树最终会成为其叶子节点，二叉树所需要的节点是2n-1，那么我们能否认为线段树所需要的空间即2n-1？

然而实时证明，这是错误的。

我们假设构造（1，11）这个线段并对其节点进行标注

（1，11）【节点1】
（1，5）【节点2】（6，11）【节点3】
（1，3）【节点4】（4，5）【节点5】（6，8）【节点6】（9，11）【节点7】
（1，2）【节点8】（3）【节点9】（4）【节点10】（5）【节点11】（6，7）【节点12】（8）【节点13】（9，10）【节点14】（11）【节点15】

我们看，节点14也就是（9，10）还需要递归扩展子树

他的子树应该是2n，2n+1，也就是28，29

咦？11个数不应该是21个节点吗？其实是这样的，在之前的叶子节点（比如8，9）虽然没有子节点了，但是他仍然占有16，17，18，19的位置

为了满足我们的查找规律。所以，我们申请资源的时候不应该设为2n-1

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