动态规划——节点选择(蓝桥杯试题集)
题目链接:
http://lx.lanqiao.cn/problem.page?gpid=T14
问题描述
有一棵 n 个节点的树,树上每个节点都有一个正整数权值。如果一个点被选择了,那么在树上和它相邻的点都不能被选择。求选出的点的权值和最大是多少?
输入格式
第一行包含一个整数 n 。
接下来的一行包含 n 个正整数,第 i 个正整数代表点 i 的权值。
接下来一共 n-1 行,每行描述树上的一条边。
输出格式
输出一个整数,代表选出的点的权值和的最大值。
样例输入
5
1 2 3 4 5
1 2
1 3
2 4
2 5
样例输出
12
样例说明
选择3、4、5号点,权值和为 3+4+5 = 12 。
数据规模与约定
对于20%的数据, n <= 20。
对于50%的数据, n <= 1000。
对于100%的数据, n <= 100000。
权值均为不超过1000的正整数。
解题思路:这是一道树形动态规划问题,用F[i]表示从子树i中选择结点,且结点i必须被选择的最大值,用G[i]表示从子树i中选择结点,且结点i必须不被选择的最大值。
则F[i]=a[i]+\sum(G[j]),其中a[i]表示结点i的权值,j是i的子结点。
G[i]=\sum(max(F[j], G[j])),其中j是i的子结点。
这里采用/扩散深搜的方法,遍历所有的节点,记录每个节点选择情况进行DP,
建立l索引,即每一个节点l[i]所关联的[j]个节点
我们注意的是每次搜索时的剪枝,子节点不能回到父亲节点
我采取的做法是直接将父节点传进去,选取当前l[x][k]节点时注意l[x][k]值与f不同
#include<string.h>
#include<stdio.h>
int dp[100010][2]; //每个节点取或不取的最大值
int l[100010][100]; //所属子节点
int fmax(int a,int b)
{return a>b?a:b;
}
void list(int a,int b) //构造树
{ int i=0;int j=0;while(l[a][i]) //确保当前为空 i++;l[a][i]=b; //连接 while(l[b][j])j++;l[b][j]=a;
}
void dfs(int x,int f) //深搜
{int i,k;k=0; while(i=l[x][k++]) //提取l[x][k] { if(i!=f) //f为x点的父节点 i为x点的子节点,保证子父不同 { dfs(i,x); //递归下一层 dp[x][1]+=dp[i][0]; dp[x][0]+=fmax(dp[i][0],dp[i][1]); //状态转移方程 }// printf("%d,%d\n",dp[x][1],dp[x][0]); }
}
int main()
{int m,i,n,x;int a,b,c;while(~scanf("%d",&n)) {memset(l,0,sizeof(l));memset(dp,0,sizeof(dp));for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&dp[i][1]);//选取i点初始拥有的权值 for(i=1;i<n;i++) {scanf("%d%d",&a,&b);list(a,b); //关联树 }/*for(i=1;i<=n;i++){for(x=0;l[i][x]!=0;x++)printf("%d-%d\n",i,l[i][x]);}*/dfs(1,0);x=fmax(dp[1][0],dp[1][1]); //第一个点选或不选的max值 printf("%d\n",x);}return 0;
}
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