1.随机试验
2.样本空间
3.随机事件
4.基本事件
5.频率
6.概率
7.古典概型
8.A的对立事件Aˉ\bar{A}Aˉ及其概率
9.两个互不相容事件的和事件的概率
10.概率的加法定理
11.条件概率
12.概率的乘法公式
13.全概率公式
14.贝叶斯公式
15.事件的独立性
16.试验的独立性
17.随机变量的独立性
18.小概率事件原理(实际推断原理)

1.随机试验

随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定，在大量实验中其结果又具有统计规律性的现象。

概率论与数理统计研究的对象是随机现象。概率论是研究随机现象的模型（即概率分布），数理统计是研究随机现象的数据收集与处理。

将具有以下三个特点的试验称为随机试验：
（1）可以在相同的条件下重复；
（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能的结果；
（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

2.样本空间

随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为Ω={ω},其中ω\Omega = \{ \omega\},其中\omegaΩ={ω},其中ω表示基本结果，又称样本点.
离散样本空间：样本的个数为有限个或可列个
连续样本空间：样本点的个数为不可列无限个

3.随机事件

随机现象的某些样本点组成的集合，即样本空间Ω\OmegaΩ的子集称为随机事件。

4.基本事件

由样本空间Ω\OmegaΩ中的单个元素组成的子集称为基本事件。

5.频率

在n次重复试验中，记n(A)为事件A出现的次数，又称n(A)为事件A的频数，称fn(A)=n(A)nf_n(A)= \frac{n(A)}{n}fn(A)=nn(A)为事件A出现的频率。

6.概率

概率的公理化定义：
设Ω为一个样本空间，F为Ω的某些子集组成的一个事件域。如果对任意事件A∈F,定义在F上的一个实值函数P(A)满足：\Omega为一个样本空间，{\mathcal{F}}为 \Omega 的某些子集组成的一个事件域。如果对任意事件A \in {\mathcal{F}},定义在{\mathcal{F}}上的一个实值函数P(A)满足：Ω为一个样本空间，F为Ω的某些子集组成的一个事件域。如果对任意事件A∈F,定义在F上的一个实值函数P(A)满足：
（1）非负性：若A∈F,则P(A)≥0若A\in {\mathcal{F}},则P(A) \geq 0若A∈F,则P(A)≥0,
（2）正则性：P(Ω)=1P(\Omega)=1P(Ω)=1
（3）可列可加性：若A1,A2,...,An...互补相容，则若A_1,A_2,...,A_n...互补相容，则若A1,A2,...,An...互补相容，则
P(⋃i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai)P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)= \sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)P(i=1⋃∞Ai)=i=1∑∞P(Ai)
则称P(A)为事件A的概率，称三元素(Ω,F,P)(\Omega,{\mathcal{F}},P)(Ω,F,P)为概率空间。

简而言之，概率就是定义在事件域上满足非负、规范、可列可加性的实值函数。
而随机变量是定义在样本空间上的实值函数。

7.古典概型

确定概率的古典方法是概率论史上最先开始研究的情形，它简单直观不需要做大量重复试验，而是在经验事实的基础上，对被考察事件的可能性进行逻辑分析后得出该事件的概率。
古典概型的基本思想：
（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点。
（2）每个样本点发生的可能性相等。
（3）若事件A 含有k个样本点，则事件A的概率为：
P(A)=事件A所含样本点的个数Ω中所含样本点的个数=knP(A) = \frac{事件A所含样本点的个数}{\Omega 中所含样本点的个数}= \frac{k}{n}P(A)=Ω中所含样本点的个数事件A所含样本点的个数=nk
容易验证，上式确定的概率满足概率的公理化定义。

8.A的对立事件Aˉ\bar{A}Aˉ及其概率

P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1-P(A)P(Aˉ)=1−P(A)

9.两个互不相容事件的和事件的概率

A1,A2互不相容，则P(A1⋃A2)=P(A1)+P(A2)A_1,A_2互不相容，则P(A_1 \bigcup A_2) = P(A_1) + P(A_2)A1,A2互不相容，则P(A1⋃A2)=P(A1)+P(A2)
更一般的，有限可加性：
若若A1,A2,...,An互补相容，则若A_1,A_2,...,A_n互补相容，则若A1,A2,...,An互补相容，则
P(⋃i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i)= \sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(i=1⋃nAi)=i=1∑nP(Ai)

10.概率的加法定理

对任意的两个事件A1,A2,有P(1⋃A2)=P(A1)+P(A2)−P(A1A2)对任意的两个事件A_1,A_2,有P(_1 \bigcup A_2) =P(A_1) + P(A_2) -P(A_1A_2)对任意的两个事件A1,A2,有P(1⋃A2)=P(A1)+P(A2)−P(A1A2)
对任意的n个事件A1,A2,...,An,有对任意的n个事件A_1,A_2,...,A_n ,有对任意的n个事件A1,A2,...,An,有
P(⋃i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)−P(∑1≤i<j≤nAiAj)+P(⋃1≤i<j<k≤nAiAjAk)+...+(−1)n−1P(A1A2...An)P(\bigcup_{i=1}^{n} A_i) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) - P(\sum_{1 \leq i < j \leq n}{}A_iA_j) + P(\bigcup_{1 \leq i < j < k \leq n}{} A_iA_jA_k) +...+(-1)^{n-1}P(A_1A_2...A_n)P(⋃i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)−P(∑1≤i<j≤nAiAj)+P(⋃1≤i<j<k≤nAiAjAk)+...+(−1)n−1P(A1A2...An)

11.条件概率

P(A∣B)=P(AB)P(B)P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}P(A∣B)=P(B)P(AB)

12.概率的乘法公式

若P(B)>0,P(AB)=P(B)P(A∣B)若P(B)>0,P(AB) = P(B)P(A|B)若P(B)>0,P(AB)=P(B)P(A∣B)
若P(A1A2...An−1)>0,若P(A_1A_2...A_{n-1}) >0,若P(A1A2...An−1)>0,
P(A1A2...An)=P(A2∣A1)P(A1)+P(A3∣A1A2)P(A1A2)+...+P(An∣A1A2...An−1)P(A1A2...An−1)P(A_1A_2...A_n) = P(A_2|A_1)P(A_1) + P(A_3|A_1A_2)P(A_1A_2) + ...+P(A_n|A_1A_2...A_{n-1})P(A_1A_2...A_{n-1})P(A1A2...An)=P(A2∣A1)P(A1)+P(A3∣A1A2)P(A1A2)+...+P(An∣A1A2...An−1)P(A1A2...An−1)

13.全概率公式

设Bi(i=1,...,n)是样本空间Ω的一个划分，则对任意事件A,若P(Bi)>0有设B_i (i= 1,...,n)是样本空间\Omega 的一个划分，则对任意事件A,若P(B_i)>0有设Bi(i=1,...,n)是样本空间Ω的一个划分，则对任意事件A,若P(Bi)>0有
P(A)=∑i=1nP(A∣Bi)P(Bi)P(A) = \sum _{i=1}^{n} P(A|B_i)P(B_i)P(A)=i=1∑nP(A∣Bi)P(Bi)

14.贝叶斯公式

P(Bi∣A)=P(ABi)P(A)=P(A∣Bi)P(Bi)∑j=1nP(A∣Bj)P(Bj)P(B_i|A) = \frac{P(AB_i)}{P(A)} = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A|B_j)P(B_j)}P(Bi∣A)=P(A)P(ABi)=∑j=1nP(A∣Bj)P(Bj)P(A∣Bi)P(Bi)

15.事件的独立性

若P(AB)=P(A)P(B),则事件A与B相互独立，否则称为A与B不独立或相依。若P(AB) = P(A)P(B),则事件A与B 相互独立，否则称为A与B不独立或相依。若P(AB)=P(A)P(B),则事件A与B相互独立，否则称为A与B不独立或相依。

两个事件独立的实际意义：一个事件的发生不影响另一个事件的发生。对随机变量来说就是两个随机变量的取值互不影响。判断两个事件的独立性，可从实际意义考察，也可以根据上述的概率公式判断。
三个事件A,B,C的独立性：
（1）A,B,C两两独立:P(AB)=P(A)P(B);P(AC)=P(A)P(C);P(BC)=P(B)P(C)A,B,C两两独立: P(AB) = P(A)P(B); P(AC) = P(A)P(C) ;P(BC)= P(B)P(C)A,B,C两两独立:P(AB)=P(A)P(B);P(AC)=P(A)P(C);P(BC)=P(B)P(C)

（2）A,B,C相互独立：P(AB)=P(A)P(B);P(AC)=P(A)P(C);P(BC)=P(B)P(C);P(ABC)=P(A)P(B)P(C)A,B,C相互独立：P(AB) = P(A)P(B); P(AC) = P(A)P(C) ;P(BC)= P(B)P(C) ; P(ABC)=P(A)P(B)P(C)A,B,C相互独立：P(AB)=P(A)P(B);P(AC)=P(A)P(C);P(BC)=P(B)P(C);P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

16.试验的独立性

设有两个试验E1,E2，假如试验E1的任意结果（事件）与试验E2的任意结果（事件）都是相互独立的事件，则称这两个试验是相互独立的。设有两个试验E_1,E_2，假如试验E_1的任意结果（事件）与试验E_2 的任意结果（事件）都是相互独立的事件，则称这两个试验是相互独立的。设有两个试验E1,E2，假如试验E1的任意结果（事件）与试验E2的任意结果（事件）都是相互独立的事件，则称这两个试验是相互独立的。
类似地，可定义n个试验的相互独立性。如果n个试验是独立的并且还是相同的，则称其为n重独立重复试验。特别的，如果每次试验的可能结果只有两个：A,Aˉ,则这种试验为n重伯努利试验。类似地，可定义n个试验的相互独立性。如果n个试验是独立的并且还是相同的，则称其为n重独立重复试验。特别的，如果每次试验的可能结果只有两个：A,\bar{A},则这种试验为n重伯努利试验。类似地，可定义n个试验的相互独立性。如果n个试验是独立的并且还是相同的，则称其为n重独立重复试验。特别的，如果每次试验的可能结果只有两个：A,Aˉ,则这种试验为n重伯努利试验。
例如投n枚硬币、检查n个产品的正品次品情况是n重伯努利试验；而投掷n颗骰子是n重独立重复试验，不是伯努利试验。

17.随机变量的独立性

当两个随机变量的取值互不影响时，就称他们是相互独立的。
一般，可用分布函数判断:F(x1,x2,...,xn)=∏i=1nF(xi)一般，可用分布函数判断: F(x_1,x_2,...,x_n) = \prod_{i=1}^{n}F(x_i)一般，可用分布函数判断:F(x1,x2,...,xn)=∏i=1nF(xi)
对连续型随机变量，可用密度函数判断:P(X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn)=∏i=1nP(Xi=xi)对连续型随机变量，可用密度函数判断:P(X_1=x_1,X_2=x_2,...,X_n=x_n) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i=x_i)对连续型随机变量，可用密度函数判断:P(X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn)=∏i=1nP(Xi=xi)
对离散性随机变量，可用概率分布律判断:p(x1,x2,...,xn)=∏i=inp(xi)对离散性随机变量，可用概率分布律判断:p(x_1,x_2,...,x_n) = \prod_{i=i}^{n} p(x_i)对离散性随机变量，可用概率分布律判断:p(x1,x2,...,xn)=∏i=inp(xi)

18.小概率事件原理(实际推断原理)

概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不会发生的。

参考文献:
【1】茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.3
【2】盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第四版）[M]北京：高等教育出版社，2008.6

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