随机事件和概率

文章目录

随机事件和概率
- 1. 随机事件，事件间的关系和运算
- - 1.1 概念
  - 1.2 事件的关系与运算
- 2. 概率及概率公式
- - 2.1 概念
  - 2.2 概率公理
- 3. 古典概型、几何概型和伯努利概型
- - 概念
  - 补例
- 4. 补充

1. 随机事件，事件间的关系和运算

1.1 概念

随机试验

条件相同
可能的结果不止一个，且结果已知
无法预知

样本点：每一可能的结果

样本空间Ω：全部的样本点组成的集合

随机事件：样本空间的子集

基本事件：单个样本点组成的事件

必然事件和不可能事件

1.2 事件的关系与运算

3种关系(包含，相等，互斥)，4种运算（并，交，差，补）

A发生必然导致B发生，表示：

A⊂BA \subset B A⊂B

如果A包含B，B包含A，那么AB相同，A = B
AB至少有一个发生：A U B，或写作A+B
AB都发生：A ∩ B ，或写作AB
A不发生，（叫做：“A拔”）
A‾\overline{A} A
A发生但是B不发生：A - B，或A - AB，或A（B拔）
AB 互斥，也称AB互不相容。AB = 空集
AB对立<=>A∪B=Ω且AB=∅AB对立 <=> A ∪ B = Ω 且 AB = \varnothing AB对立<=>A∪B=Ω且AB=∅

AB互斥<=>AB=∅AB互斥 <=> AB = \varnothing AB互斥<=>AB=∅

运算律：常规的交换律，结合律，分配律都满足。注意摩根定律和吸收律

吸收律：若A包含于B，则AB = A

对偶律：也称摩根律
A∪B‾=A‾∩B‾\overline{A∪B} = \overline{A} ∩ \overline{B} A∪B=A∩B

A∩B‾=A‾∪B‾\overline{A ∩ B} = \overline{A} ∪ \overline{B} A∩B=A∪B

注意：
A∩B‾≠A‾B‾\overline{A ∩ B} ≠ \overline{A } \overline{B} A∩B=AB

2. 概率及概率公式

2.1 概念

实值函数P，满足2.2基本性质的三个条件，称P（A）是事件A的概率。

2.2 概率公理

基本性质

非负性（任意事件）：P(A) >= 0

规范性（必然事件）：P(Ω) = 1

可列可加性：设Ai 两两互不相容，则
P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)P(A_1 ∪A_2∪...∪A_n) = P(A_1) + P(A_2) +... + P(A_n) P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)

条件概率

事件A发生的条件下，事件B发生的概率：（前提P(A)>0）
条件概率：P(B∣A)=P(AB)P(A)条件概率：P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} 条件概率：P(B∣A)=P(A)P(AB)

注意：P（BC|A）有意义，但是P（C|B|A）无意义

求逆公式

P(A‾)=1−P(A)P(\overline{A}) = 1 - P(A) P(A)=1−P(A)

减法公式

P(A−B)=P(AB‾)=P(A−AB)=P(A)−P(AB)P(A-B) = P(A\overline{B}) = P(A - AB) = P(A) - P(AB) P(A−B)=P(AB)=P(A−AB)=P(A)−P(AB)

加法公式

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)P(A∪B∪C) = P(A) + P(B)+ P(C) - P(AB)- P(AC)- P(BC) + P(ABC) P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)

乘法公式

当P(A)>0时：
P(AB)=P(A)P(B∣A)P(AB) = P(A)P(B|A) P(AB)=P(A)P(B∣A)
当P(A1A2…An)>0时：
P(A1A2...An)=P(A1)P(A2∣A1)...P(An)P(A1A2...An−1)P(A_1A_2...A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)...P(A_n)P(A_1A_2...A_n-1) P(A1A2...An)=P(A1)P(A2∣A1)...P(An)P(A1A2...An−1)
理解：假设你要考研究生，你要初试和复试一起过才考得上：

考研成功的概率 = 你考过了初试的概率 * 在你初试过了之后，考过复试的概率

拓展：
P(B‾∣A)=1−P(B∣A)P(\overline{B}|A) = 1 - P(B|A) P(B∣A)=1−P(B∣A)

全概率公式

设B1B2B3…是互不相容，但是并起来等同于样本空间的事件，且发生的概率都大于0.

这样的Bi的事件组合起来叫完备事件组

P(A)=∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi)P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i)P(A|B_i) P(A)=i=1∑nP(Bi)P(A∣Bi)

贝叶斯公式

B还是样本空间的完备事件组，相当于就是条件概率的定义，全部分解

P(Bj∣A)=P(Bj)P(A∣Bj)∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi)P(B_j | A) = \frac{P(B_j)P(A|B_j)}{\sum_{i=1}^n P(B_i)P(A|B_i)} P(Bj∣A)=∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi)P(Bj)P(A∣Bj)

3. 古典概型、几何概型和伯努利概型

概念

事件独立性：A的发生对B没有影响，称AB独立
AB独立<=>P(AB)=P(A)P(B)<=>P(B∣A)=P(B)AB独立 <=> P(AB) = P(A)P(B) <=> P(B|A) = P(B) AB独立<=>P(AB)=P(A)P(B)<=>P(B∣A)=P(B)

古典概型概率：有限等可能
P(A)=nAn=A所包含的样本点数样本点总数P(A) = \frac{n_A}{n} = \frac{A所包含的样本点数}{样本点总数} P(A)=nnA=样本点总数A所包含的样本点数
几何型概率：样本点无数，几何度量（长度，面积，体积）等可能
P(A)=L(ΩA)L(Ω)=ΩA的几何度量Ω的几何度量P(A) = \frac{L(Ω_A)}{L(Ω)} = \frac{Ω_A的几何度量}{Ω的几何度量} P(A)=L(Ω)L(ΩA)=Ω的几何度量ΩA的几何度量
伯努利试验：只有两个结果A及A拔（助记：boolean test）

n重伯努利试验：独立重复进行n次伯努利试验。

补例

事件独立

若A和B独立，那么A的是否发生和B无关，即
A和B‾也独立A和\overline{B}也独立 A和B也独立
独立和互斥的没有直接关系的。独立是无影响，互斥是排斥。
几何概型

向[0,1]随机地投一个点
- 点恰好落在x = 1/2 处的概率为 0/1 = 0
- 点落在（0，1）内的概率为 1-0/1-0 = 1
但是，这里的概率为1 的事件，并非是必然事件；概率为0的事件，并非是偶然事件

4. 补充

完成某个事件有m类方法，使用加法。
完成某个事件有n个步骤，使用乘法。
排列组合公式：
- n个球里面不放回地选取m个进行排列
  Pnm=n!(n−m)!=n(n−1)...(n−m+1)P_n^m = \frac{n!}{(n-m)!} = n(n-1)...(n-m+1) Pnm=(n−m)!n!=n(n−1)...(n−m+1)
- n个球里面不放回地选择m个（不管顺序）
  Cnm=Pnmm!=n!m!(n−m)!C_n^m = \frac{P_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!} Cnm=m!Pnm=m!(n−m)!n!

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