随机事件

引例一，掷两次硬币，其可能结果有：｛上上；上下；下上；下下｝
则出现两次面向相同的事件A与两次面向不同的事件B都是可能出现，也可能不出现的。

引例二，掷一次骰子，其可能结果的点数有：｛1，2，3，4，5，6｝
则出现偶数点的事件A，点数≤4的事件B都是可能出现，也可能不出现的事件。

从引例一与引例二可见，有些事件在一次试验中，有可能出现，也可能不出现，即它没有确定性结果，这样的事件，我们叫随机事件。

（一）随机事件：
在一次试验中，有可能出现，也可能不出现的事件，叫随机事件，习惯用A、B、C表示随机事件。

由于本课程只讨论随机事件，因此今后我们将随机事件简称事件。
虽然我们不研究在一次试验中，一定会出现的事件或者一定不出现的事件，但是有时在演示过程中要利用它，所以我们也介绍这两种事件。

必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用Ω表示必然事件。
例如，掷一次骰子，点数≤6的事件一定出现，它是必然事件。
不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用φ表示不可能事件。
例如，掷一次骰子，点数>6的事件一定不出现，它是不可能事件。

（二）基本（随机）事件
随机试验的每一个可能出现的结果，叫基本随机事件，简称基本事件，也叫样本点，习惯用ω表示基本事件。 例如，掷一次骰子，点数1，2，3，4，5，6分别是基本事件，或叫样本点。 全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间，记作Ω，当然Ω是必然事件。

（三）随机事件的关系

（1）事件的包含：

若事件A发生则必然导致事件B发生，就说事件B包含事件A，记作。
例如，掷一次骰子，A表示掷出的点数≤2，B表示掷出的点数≤3。∴A=｛1，2｝，B=｛1，2，3｝， 所以A发生则必然导致B发生。显然有

（2）事件的相等：

若且，就记A=B，即A与B相等，事件A等于事件B，表示A与B实际上是同一事件

（四）事件的运算
（1）和事件：

事件A与事件B中至少有一个发生的事件叫事件A与事件B的和事件，记作AUB：或A+B
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝ 则和事件A+B=｛1，2，3，5｝
显然有性质:
1.
2. 若，则有A+B=B
3. A + A = A。

（2）积事件：

事件A与事件B都发生的事件叫事件A与事件B的积事件，记作：AB或A∩B
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，则AB=｛1，3｝ 显然有性质：

1. ；
2. 若，则有AB=A；
3. AA = A.

（3）差事件：

事件A发生而且事件B不发生的事件叫事件A与事件B的差事件，记作（A-B）
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，则A-B=｛5｝
显然有性质：
1. ；
2. 若，则有A-B=Φ；
3. A-B=A-AB

（4）互不相容事件：

若事件A与事件B不能都发生，就说事件A与事件B互不相容（或互斥）即AB=Φ
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛2，4｝ ∴AB=Φ

（5）对立事件：

事件A不发生的事件叫事件A的对立事件。记作。
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝，则；
显然，对立事件有性质：
1. ；
2. ；
3.

注意：A与B对立，则A与B互不相容，反之不一定成立。
例如在考试中A表示考试成绩为优，B表示考试不及格。A与B互不相容，但不对立。

下面图1.1至图1.6用图形直观的表示事件的关系和运算，其中正方形表示必然事件或样本空间Ω

例1

A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示以下事件。
（1）A，B，C三事件中，仅事件A发生
（2）A，B，C三事件都发生
（3）A，B，C三事件都不发生
（4）A，B，C三事件不全发生
（5）A，B，C三事件只有一个发生
（6）A，B，C三事件中至少有一个发生

例2

某射手射击目标三次：A1表示第1次射中，A2表示第2次射中，A3表示第3次射中。B0表示三次中射中0次，B1表示三次中射中1次，B2表示三次中射中2次，B3表示三次中射中3次，请用A1、A2、A3的运算来表示B0、B1、B2、B3

例3

A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示下列事件。
（1）A，B都发生且C不发生
（2）A与B至少有一个发生而且C不发生
（3）A，B，C都发生或A，B，C都不发生
（4）A，B，C中最多有一个发生
（5）A，B，C中恰有两个发生
（6）A，B，C中至少有两个发生

随机事件的概率

（一）频率
（1）在相同条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生了nA次，则事件A发生的次数nA叫事件A发生的频数。
（2）比值nA/n称为事件A发生的频率，记作fn（A）。
历史上有不少人做过抛硬币试验，其结果见下表，用A表示出现正面的事件：

从上表可见，当试验次数n大量增加时，事件A发生的频率fn（A）会稳定某一常数，我们称这一常数为频率的稳定值。例如从上表可见抛硬币试验，正面出现的事件A的频率fn（A）的稳定值大约是0.5。

（二）概率
事件A出现的频率的稳定值叫事件A发生的概率，记作P（A）
实际上，用上述定义去求事件A发生的概率是很困难的，因为求A发生的频率fn（A）的稳定值要做大量试验，它的优点是经过多次的试验后，给人们提供猜想事件A发生的概率的近似值。
粗略地说，我们可以认为事件A发生的概率P（A）就是事件A发生的可能性的大小，这种说法不准确，但人们容易理解和接受，便于应用。
下面我们不加证明地介绍事件A的概率P（A）有下列性质：

（1）0≤P（A）≤1 ；
（2）P（Ω）=1，P（Φ）=0 ；
（3）若A与B互斥，即AB=Φ，则有P（A+B）=P（A）+P（B） 。

若A1，A2，……，An互斥，则有：

（三）古典概率模型
若我们所进行的随机试验有下面两个特点：

（1）试验只有有限个不同的结果；
（2）每一个结果出现的可能性相等，则这种试验模型叫古典概型。

例如，掷一次骰子，它的可能结果只有6个，假设骰子是均匀的，则每一种结果出现的可能性都是1/6，所以相等，这种试验是古典概型。
下面介绍古典概型事件的概率的计算公式：
设Ω是古典概型的样本空间，其中样本点总数为n，A为随机事件，其中所含的样本点数为r，则有公式：

例1

掷一次骰子，求点数为奇数点的事件A的概率。
解：样本空间Ω=｛1，2，3，4，5，6｝；
A = ｛1，3，5｝
所以 n = 6， r = 3,
P(A) = r/n = 3/6 = 1/2

由于在古典概型中，事件A的概率P（A）的计算公式只需知道样本空间中的样本点的总数n和事件A包含的样本点的个数r就足够，而不必一一列举样本空间的样本点，因此，当样本空间的样本点总数比较多或难于一一列举的时候，也可以用分析的方法求出n与r的数值即可.

例2

从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这10个数码中，取出三个不同的数码，求所取3个数码不含0和5的事件A的概率。
解：从10个不同数码中，任取3个的结果与顺序无关，所以基本事件总数为：
A事件中不能有0和5，所以只能从其余8个数码中任取3个，所以A中的基本事件为：
所以根据公式可以计算概率为：

例3-10 略

（四）条件概率
符号P(A|B)叫在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，叫条件概率，需要指出的是条件概率P(A|B)仍是事件A的概率，但是它有条件，条件是以B已经发生为前提，或者是以B已经发生为条件。
例1

某厂有200名职工，男、女各占一半，男职工中有10人是优秀职工，女职工中有20人是优秀职工，从中任选一名职工。
用A表示所选职工为优秀职工，B表示所选职工是男职工。 求：
（1）P（A）；
（2）P（B）；
（3）P（AB）；
（4）P(A|B)。
解:

1.由本例可以看出 事件A与事件（A|B）不是同一事件，所以它们的概率不同，即事件AB与事件（A|B）也不相同。
2.由本例可以看出

3.本例的结果具有普遍性。下面我们不加证明地给出下面的乘法公式：

P(AB) = P(A)P(B|A)
P(AB) = P(B)P(A|B)


可以推导出：

例2

在10件产品中，有7件正品，3件次品，从中每次取出一件（不放回），A表示第一次取出正品，B表示第二次取出正品，求：
（1）P（A）；
（2）P(B|A)；
（3）P（AB）
解：
（1）.P（A） = 7/10
（2）.P( B|A ) =6/9
（3）.P(AB) = P(A)P(B|A) = 7/10 * 6/9 = 7/15

例3

某人寿命为70岁的概率为0.8，寿命为80岁的概率为0.7，若该人现已70岁时，问他能活到80岁的概率是多少？
解：用A表示某人寿命为70岁，B表示某人寿命为80岁。
已知P（A）=0.8，P（B）=0.7
由于A包含B，所以AB=B，P(AB) = P(B) = 0.7;
因为P( B|A ) = P(AB)/P(A) = 0.7/0.8 = 0.875.
所以，已经活到70岁的人能活到80岁的概率为0.875

例4

袋中有三件正品，二件次品（√√√××）从中每次取出1件（不放回）共取3次，求第3次才取到次品的事件B的概率。

（五）事件的独立性

定义： 若P（AB）=P（A）P（B），就说事件A与事件B相互独立。
性质1：若A与B独立，则P(A) = P(A|B), P(B) = P(B|A),说明A与B相互独立时，A发生与否，对B发生的概率没有影响，而且，B发生与否也对A发生的概率没有影响。

贝努力重复独立试验概型
引例

某人射击目标的命中率为P，他向目标射击三枪，求这三枪中恰中二枪的概率。
解：用B表示射击三枪，恰中二枪的事件
A1表示第一枪击中目标
A2表示第二枪击中目标
A3表示第三枪击中目标

例1

一射手对目标独立射击4次，每次射击的命中率P=0.8，求
（1）恰好命中两次的概率；
（2）至少命中一次的概率