思维导图：

1.2.0 基本事件

基本事件：相对于实验目的不能再分(不必再分)

必然事件：一定发生——Ω

不可能事件：一定不发生——空集

1.2.1 随机事件

定义1.2 随机试验的若干个基本结果组成的集合称为随机事件，简称事件，只含有一个基本结果的事件称为基本事件。随机事件常用大写英文字母 A,B,C,••••来表示．

关于随机事件概念的几点说明：

(1）事件可以用集合表示(在以后的题目中都统一用集合来表示)，任一事件A 是相应样本空间的一个子集；

(2）基本事件就是只含有一个样本点的集合；

(3）当集合 A 中某个样本点出现了,就说事件A 发生了.或者说事件 A 发生当且仅当集合A 中某个样本点出现了；

(4）样本空间Ω包含所有的样本点,作为自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件.（这个很重要在后面的无中生有的思想中有用处）空集合不包含任何样本点，它作为样本空间的子集，在每次试验中都不发生,称为不可能事件；

【例 1.3】 掷一颗骰子的样本空间为：Ω={1,2,3,4,5,6}。

A1=“出现5点”,可记为 4,{5),它是一个基本事件；

A2一“出现奇数点”，可记为 A2一*1,3,5%;

As

二“出现偶数点”,可记为 4:={2,4,6;

A

一“出现的点数不大手6”,它由2的全部样本点“1,2,3,4,5，6”组成，是必然

事件，可记为 A.=2;

A5=

“出现的点数大手 6”,卫中任一样本点都不在As中,所以 A. 是不可能事

件,可记为 As=0.

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2023/5/16 补充

思维导图：

1.2.2 事件间的关系及运算

由于事件可以用集合表示,因而事件间的关系及运算实质上是集合间的关系及运算.下面对事件的讨论总是假设在同一个样本空间 2中进行.

1. 事件间的关系

1)包含

若事件 A 发生必有事件B 发生,则称事件A 包含于事件B,(这里很重要在后面的概念中我把它与两事件相容混为一谈了)或者事件 B 包含事件A,记为ACB.

注意：

在看题目时要注意A包含于事件B为ACB(而不是BCA❌),

B包含事件A为ACB(而不是BCA❌）

从集合论的观点看,ACB 也就是说A 是B 的子集,因此也称A 为B的子事件.

例如，在例1.3中,A,={5〉,Az一<1,3,5%,则有 A CAs.

2)相等

如果事件A 与事件B 满足：ACB且BCA,则称A 与B相等,记为 A=B.也就是说,A,B 中有一个发生另一个也必发生从集合论的观点看，两个事件相等就意味着这两个事件是同一个集合．有时，不同语言描述的事件也可能是同一件事

例如，掷两颗骰子，以A 记事件“两颗骰子的点数之和为奇数”，以B记*两颗骰

子的点数一奇一偶”，很容易看出：A 发生必然导致B 发生,而且B 发生也必然导致

人发生,所以 A=B.

3）互不相容

如果事件 A 和B没有相同的样本点，则称 A 与B互不相容(或互斥).也就是

说,A,B不同时发生。(换句话说就是两事件互不相容即不可能同时发生)

问题：两个事件A、B相互独立是否能说明A和B互不相容呢？

答案：

不能说明：

原因如下

以骰子为例，设事件A为点数为偶数，事件B为点数为小于等于四的数，事件A与事件B因为互不影响因此相互独立，而事件A和B必定相容，ΩA={2，4，6}，ΩB={1，2，3，4},根据相容的定义它们都有相同的样本点故A和B相容；

反思：

学到了什么？

这个例子告诉我们其实事件间的相互独立并不影响二者是否相容。

从集合论的观点看，A 与B互不相容也就是A 与B的交集为空集

例如，在例 1.3 中,A2={1,3,5),A3={2,4,6),那么A2与A3互不相容

2.事件运算

1事件 A 与B的和

由至少属于 A,B 之一的样本点的全体组成的集合，称为事件 A 与B的和(或并)，记为 AUB. 事件AUB 表示A,B 至少有一个发生

*** 注意这里再下面宋浩网课笔记中我补充了事件加法公式，这能帮助我们把复杂的事件展开成若干个简单的事件然后求解问题。主要是对两个事件或者三个事件展开讨论。（第一章课后习题的第二题第三小问就考察了这个问题当时我不会）

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2023/5/16 补充

注意：这在后续的证明中有所体现

可列个不可能事件之和认识不可能事件

2）事件 A 与B的积

由既属于 A 又属于B 的样本点组成的集合 ,称为事件A 与B 的积(或交),记为A∩B 或AB.事件 A∩B 或AB 表示事件A 与B同时发生显然,事件A 与B 互不相容当且仅当其积事件为不可能事件，即 AB=0.事件的和与积运算可推广到有限个或可列个事件的情形，假设有事件 A,,Az,A.

，…，则UA,称为有限和：UA,称为可列和；八A，称为有限积：而 A，称为可

列积

例：月=513518-31,2,3:47

3）事件A 与B的差

件,记为 A一B.A一B 表示A 发生而B 不发生

总结：

*** A-B=A~B=A-AB（这里第二章课后习题第二题第二小问有所考察，当时不会）

这个公式再宋浩网课笔记下面也有。

4） 对立事件

A-B=AB-A-AB

由在2中而不在A 中的样本点组成的集合称为 A 的对立事件(或逆事件)，记

为 A.4 表示 A 不发生•显然,4=2-4,A=A.

3. 事件运算满足的定律（这里告诉我们事件如何运算——事件的数学化）

事件的运算性质和集合的运算性质相同：设A、B，C 为事件， 套

交换律AUB=BUA:AB=BA.

结合律 CAUBUC-AUBUO:CAB)C=A(BC).

分配律 CA UBC=CAOUCBO;CAB)UC=CAUOBUC

对偶律~（AUB）=AB;~(AB)=~AU~B.（我在下面做了补充）

例题：下面

例1.4 运用集合间运算表示随机事件

设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来

(1)A 发生，且B 与C至少有一个发生

(2)A与B发生,而C不发生；

(3）A，B，C中恰有一个发生;

(4） A,B，C中至少有两个发生；

(5） A，B，C中至多有两个发生；

(6) A, B，C中不多于一个发生.

概率论例1.5 射击概率

【例 1.5】向指定目标射三枪，观察射中目标的情况.用 A： 表示事件“第枪击

中目标”，i=1，2，3.试用 A.,A2,A。表示以下各事件：

(1）只击中第一枪；

(2）三枪都没击中；

(3）至少击中一枪；

(4）至多击中两枪

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2023/5/16

思维导图：

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1.2.3 事件的概率及性质

随机事件的发生有其偶然性的一面，即在一次试验中它可能发生也可能不发生，但是在大量重复试验中它又呈现出内在的规律性，即它发生的可能性大小是确定的，且是可以度量的.所谓随机事件的概率，概括地说就是用来描述随机事件发生的可能性大小的数量指标，它是概率论中最基本的概念之一在概率论发展史上，曾有过概率的古典定义、概率的几何定义、概率的统计定义、概率的主观定义、概率的公理化定义等,这些定义各适合一类随机现象，我们希望对每个事件都能指定一个数，能用它来表示事件在一次试验中发生的可 能性大小.下面先从事件发生的频率与概率的统计定义谈起

1. 频率与概率的统计定义

定义1.3设E为任一随机试验（条件1），A 为其中任一事件（条件2），在相同条件下（条件3）,把E独立地重复（要求）做n次，表示事件A 在这几次试验中发生的次数，称为频数.比值 f(A)=

na/n称为事件A 在这1 次试验中发生的频率。

易知频率有如下性质：

(1〉对于任一事件 A,有0≤fn(A)≤1:

(2）对于必然事件Ω,有fn(Ω)=1；

(3）对于互不相容的事件 A,B,有fn(AUB)=fn(A)+fn(B).

人们在实践中发现：在相同条件下重复进行同一试验，当试验次数n很大时,某事件A 发生的频率具有一定的“稳定性”例如，大量重复地拋掷一枚硬币，正面出现的频率总在 0.5附近波动，随着抛掷次数的逐渐增大，频率逐渐稳定于 0.5.历史上许多统计学家用抛硬币的方法对频率的稳定性进行验证，他们的结论如表 1.1所示,这些结论说明了随着试验次数的增加，频率逐渐稳定于 0.5.一般来说，试验次数八 越大,事件A 发生的频率就越接近一个确定的数值.这个数值说明了事件 A 发生的可能性大小，据此可以给出概率的统计定义.

定义1.4 设有随机试验 E,若当试验的次数n充分大时，事件 A 发生的频率f(A)稳定在某数p附近，则称这个数值p为事件A 发生的概率,记为 P(A)=p.

值得注意的是，概率的统计定义是以试验为基础的，但这并不是说概率取决于试验.事件 A 出现的概率是事件A 的一种属性，也就是说它完全取决手事件A 本身，是先于试验客观存在的。概率的统计定义只是指述性的，一股不能用米计算事件的概率。通常只有在，充分大时，以事件出 现的频率作为事件概率的近似值,根据频率和概率的这种关系区理论研究的需要，受频率性质的启发,1933年俄国数学家柯尔莫哥洛大给出了概率的公理化定义。

2.概率的公理化定义与性质

定义1.5 设Ω是一随机试验的样本空间，对于该随机试验的每一个事件 A 赋于一个实数，记为 P(A).称为事件A 发生的概率，,如果函数P(•)满足下列公理：

(1）非负性：对于每一个事件 A,有P(A)≥0；

(2）规范性：对于必然事件Ω,有P(Ω)=1:

(3）可列可加性：设A1。A2••是两两互不相容的事件，即对于i!=j,AiAj,=Ø,

i,j=1,2,••••则有

P(A1∪A2∪A3∪A4∪••••)=P(A1)+P(A2)+••••;

概率的公理化定义使概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其他数学学科

同等的地位•在公理化的基础上，现代概率论不仅在理论上取得了一系列的突破，也

在应用上取得了巨大的成就.利用概率的公理化定义，可以导出概率的一些性质。

性质1 P(Ø)=0.(不可能事件概率为0,即P(Ø)=0)

证明：

由于可列个不可能事件之和仍是不可能事件，所以

Ω=Ω∪Ø∪Ø∪Ø∪Ø∪••••

因为不可能事件与任何事件都是互不相容的,故由可列可加性公理得

P(Ω)=P(Ω)+P(Ø)+P(Ø)+P(Ø)+••••+P(Ø)+••••

由P(Ω)=1得P(Ω)+P(Ø)+P(Ø)+P(Ø)+••••+P(Ø)+••••=0.

再由非负性公理，必有

P(Ø)=0.

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2023/5/16

从这个证明中我们能学到什么？

从这个证明中，我们可以学到几个重要的数学思想和技巧：

1. 利用公理和已知性质：证明过程中，我们使用了概率的公理化定义、非负性、规范性以及可列可加性等已知的性质和公理。这表明在数学证明中，我们可以利用已知的公理和性质，通过逻辑推理和运算来得出结论。

2. 运用数学结构和性质：证明过程中，我们运用了可列可加性的性质，将样本空间表示为不相容事件的序列，并利用这个性质得到等式。这展示了运用数学结构和性质来推导结论的能力，通过观察对象之间的关系和共性，我们可以发现一些有用的性质和规律。

3. 利用数学性质和等式的性质：证明过程中，我们利用了等式两边相等的性质，将等式展开为和式，并观察了和式中的项。这提示我们在证明过程中，可以充分利用等式的性质和数学运算的性质，灵活地转化和简化表达式，以获得更简洁和有用的结论。

4. 逻辑推理和数学严谨性：证明过程中，我们使用逻辑推理、等式运算和数学性质的严格性，逐步得出结论。这强调了数学证明中的严谨性和逻辑性，每一步的推导都要清晰、准确，并符合逻辑的要求。

通过这个证明，我们能够进一步理解概率论的基本概念和性质，并学到在数学证明中运用公理、性质和结构的思维方式。这些数学思想和技巧不仅适用于概率论，也适用于其他数学分支和问题的研究。

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性质2（有限可加性）若A1,A2,••••，An，是两两互不相容的事件,则有

P(A1UA2U• • • • UAn)=P(A )+P(A2) +.+P(An).

证对 Ai,A2,•,A,,0，,应用可列可加性,得

P(A1UA2U• • • • UAn)=P(A1)+P(A2)+••••+P(An).

证明：

对A1，A2,••••，An,Ø，引用可列可加性

P(A, U A2 U .. UAnUØU••••)

= P (A,) + P (A2) + .. + P (An) + P(Ø) +••••;

= P (A1) + P (A2) + .. + P(An).

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2023/5/16 补充

从这个证明中我们可以学到什么？

1. 引入新的思想：证明过程中引入了可列可加性这一更广泛的概念来推导有限可加性。这表明在证明数学定理时，我们可以使用更强的性质来推导出相对较弱的性质。这种思想在数学证明中是非常有用的，它展示了通过引入适当的概念和性质可以简化证明过程。

2. 抽象化能力：应用可列可加性证明有限可加性要求我们将有限个事件看作是可列序列中的前n个事件。这种抽象化能力是数学思维中的重要方面，它允许我们将具体的问题抽象成更一般的形式，并在更一般的情况下进行证明。通过将问题抽象化，我们可以应用更广泛的原理和性质来解决问题。

3. 联系不同概念：从可列可加性到有限可加性的证明过程涉及到了不同概念之间的联系。这包括互斥事件、集合论、概率的加法规则等。通过在证明中建立不同概念之间的联系，我们可以深入理解这些概念的本质，并且可以在其他相关领域中灵活应用这些概念。

4. 推广思维：证明过程中使用了数学归纳法，从特殊情况推广到一般情况。这种推广思维是数学中常见的思维方式，它允许我们通过解决特殊情况来推导出一般性的结论。通过观察和分析特殊情况的共性，我们可以找到一般性的规律和模式，并且可以将这些规律应用到更广泛的情况中。

总而言之，从应用可列可加性证明有限可加性的证明中，我们可以学到抽象化能力、推广思维、联系不同概念的能力等。这些是数学思维和证明技巧中重要的方面，并且可以在解决其他数学问题和应用中发挥作用。

有限可加性和可列可加性有什么区别

有限可加性和可列可加性是概率论中两个重要的可加性概念，它们在事件求和的范围上有所不同。

1. 有限可加性：有限可加性是指对于任意有限个两两互斥的事件，它们的概率可以通过求和得到。换句话说，如果我们有事件 A1、A2、...、An，其中任意两个事件互斥（即 Ai ∩ Aj = Ø，其中 i ≠ j），那么有限可加性要求：

P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)

有限可加性适用于有限个事件的情况。

2. 可列可加性：可列可加性是指对于可列个两两互斥的事件，它们的概率可以通过求和得到。换句话说，如果我们有事件 A1、A2、A3、...，其中任意两个事件互斥（即 Ai ∩ Aj = Ø，其中 i ≠ j），那么可列可加性要求：

P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ...) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ...

可列可加性适用于无限个事件的情况，包括可数无穷和不可数无穷。

总结起来，有限可加性适用于有限个事件的情况，而可列可加性适用于无限个事件的情况。可列可加性是有限可加性的推广，它允许我们考虑更广泛的事件集合，包括无穷序列的事件。这两个概念在概率论中都非常重要，它们提供了概率求和的基础，并在推导和证明概率性质时发挥了关键作用。

性质3对任一事件 A,有P(~A)=1-P(A).

证明：

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2023/5/17 补充

我们能从这个证明中学到什么？

其实仔细观察不难发现，概率的规范性即公理2和有限可加性性质2都是通过前面我们通过公理推理出来的性质或者直接用公理来演绎推理出下面的性质，这其实就是数学结构化思想的体现，如果对数学的结构化思想不熟悉的同学可以看看我昨天的文章传送门：https://blog.csdn.net/tang7mj/article/details/130712765?spm=1001.2014.3001.5501

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性质4 对任意两个事件A，B,有P(A-B)=P(A)-P(AB).

证明：因为 A=（A-B)U(AB),且A-B与AB 互不相容,由性质2知，

P(A)=P(A-B)+P(AB),

所以

P(A-B)=P(A)-P(AB).

特别地,若BCA,则P(A-B)=P(A)-P(B),日P(A)≥P(B).

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从这个证明中，我们可以学到以下几点：

1. 分解复杂事件：证明过程中使用了事件 A 的分解，将其表示为两个互不相交的部分，即 (A - B) 和 (A ∩ B)。这种分解可以帮助我们更好地理解复杂事件的性质和计算其概率。

2. 利用事件的互不相容性：在证明中，我们利用了事件 (A - B) 和 (A ∩ B) 的互不相容性。这意味着这两个事件不会同时发生，因此它们的概率可以相加。这个性质在概率论中是非常重要的，可以简化计算和推导过程。

3. 利用已知的概率性质：证明过程中使用了已知的概率性质，即 P(A) = P(A - B) + P(A ∩ B)。这个性质称为概率的加法规则，它指出事件 A 可以被分解为两个事件的并集，并且这两个事件的概率可以相加。通过利用已知的概率性质，我们可以推导出所要证明的性质。

4. 利用等式的逆向思维：证明中采用了逆向思维，即从等式 P(A) = P(A - B) + P(A ∩ B) 推导出所要证明的等式 P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B)。这种逆向思维可以帮助我们在证明中寻找合适的推导路径，从已知的等式或性质出发，逆向推导出所要证明的结论。

通过这个证明，我们不仅学到了概率论中的一个重要性质，还学到了证明方法和数学推理的技巧。这些技巧和思想在数学中的其他领域以及解决实际问题时也是非常有用的。

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性质5(加法公式)，对于任意两事件A,B有

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)（这里在课后习题第2题考察了，我会两个的但是忘了三个的）

证因AUB=AU（B-AB)，且A（B一AB)一0,故由性质 2及性质 4得

PAUB-PCA4PCB-AB)-PA+PCB)-PCAB).一般地，对于任意工 个事件 Ai ,Az,…,A,，有

P(AI UA, U. U A,

= ¿P(A,) -

£ P(A.A,) +

1<

>

P(A.A,A.)

1<i

Kj<kEn

+.+(-1"PCAA2 ••A,)

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从这个证明中，我们可以学到以下几点：

1. 利用已知的概率性质：在证明中，我们使用了性质2（事件的互不相容性）和性质4（P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B)）。通过利用这些已知的概率性质，我们能够推导出所要证明的加法公式。这展示了在数学证明中灵活运用已知的性质和定理的重要性。

2. 利用集合论的操作：证明过程中使用了集合论中的差集、并集等概念和定义。通过合理运用集合论的操作，我们能够将事件的概率关系转化为集合的关系，从而推导出所要证明的结论。这体现了数学中不同分支之间的联系和相互借鉴。

3. 利用代数运算和等式的转换：证明中使用了代数运算，如等式两边相加、合并项等操作。通过对等式的适当变形和整理，我们能够简化表达式、消除冗余项，并得到更简洁的结果。这展示了在数学证明中合理运用代数运算和等式的转换能力的重要性。

4. 借助数学推理思维：在证明中，我们使用了逻辑推理和数学推理的思维方式。通过将已知的概率性质与所要证明的公式进行联系，从而逐步推导出目标结果。这种推理思维能力是数学中重要的技能，可以帮助我们在解决问题和证明定理时找到合适的路径和方法。

通过这个证明，我们不仅学到了概率论中的一个重要公式，还学到了证明方法、数学推理的思维方式以及数学分支之间的联系。这些思维方式和技巧在数学以及其他领域中的问题解决和推理过程中都是有用的。

总结：

学到了什么？

代换法：

性质4条件1的证明：A=(A-B)∪(AB)无中生有法4——Ω∩A

性质5条件1的证明：A∪B=A∪(B-AB)即无中生有法5——Ω∩(A∪B)

证明：

Ω∩(A∪B)——》(A∪~A）

【例1I.61 设亚件A，B的概率分別为号， ，在下列两利馆现下公別味 PCB A>

的值：

（1）A 与B互不相容；

(2) ACB;

解

（1）由手BA=B一A,由性质 4,P(B④=P(B-④=P(B)=PCAB),

因为A 与B 互不相容,所以 4B=6,P¢B④=PB-PCAB)=P(B)=

2

(2）因为 ACB,由性质 4,有

例1.6 对性质4和性质5的运用

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2023/5/16日补充

疑问1：

为什么概率的公理化定义包含非负性和规范性和可列可加性，为什么是这三方面？

概率的公理化定义包含非负性、规范性和可列可加性这三个方面，是为了确保概率具有合理的数学性质和一致性。下面我将详细解释每个方面的含义和重要性。

1. 非负性：概率值必须是非负的。即对于任何事件，它的概率不能为负数。这是因为概率是表示事件发生可能性的度量，负数概率在实际应用中没有意义，违反了概率的基本直觉。

2. 规范性：整个样本空间的概率是1。样本空间是指所有可能的事件组成的集合，而规范性要求这个集合的概率之和等于1。这是因为在给定的样本空间中，必然会发生某个事件，因此样本空间的概率应该完全包含所有可能性，即为1。

3. 可列可加性：对于不相容（互斥）的事件序列，它们的概率可以通过求和得到。如果两个事件是互斥的，意味着它们不能同时发生，那么它们的概率之和就等于这两个事件分别发生的概率之和。这个性质可以推广到更多的事件，形成可列可加性的要求。可列可加性确保了概率在面对复杂事件时的可操作性和一致性。

这三个公理是概率论的基础，它们提供了概率定义的数学框架，使得概率能够进行严格的推导和运算。非负性保证了概率的合理性，规范性确保了概率的归一性，而可列可加性则使得概率在实际问题中具有可计算和可操作的性质。通过这些公理，概率可以成为一种强大而广泛应用的数学工具，用于描述和分析不确定性和随机性的问题。

疑问2：

如果让我来思考这个问题概率的公理不一定都是这三个方面而可能是四个或者更多因为这是人定义的，那为什么就是这三个公理而不是四个呢？其次数学家当初在思考这个概率的公理化时他们是依照什么思路呢，如果是我我很有可能设置少几个公理或者设置多几个公理

答案：

你提出的观点是合理的，概率的公理化定义确实是人为设定的，理论上可以考虑其他的公理形式。事实上，人们在发展概率论的过程中，也曾考虑过其他可能的公理化定义。然而，最终采用的三个公理（非负性、规范性和可列可加性）已经被广泛接受，并成为现代概率论的基础。

这三个公理的选择是经过深思熟虑和不断演化的结果，它们具有一些重要的特性和优点：

1. 简洁性：这三个公理非常简明和清晰，能够准确地定义概率并保持其内在的一致性。它们能够提供一个简洁而强大的数学框架，用于推导和证明概率论中的各种定理和性质。

2. 直观性：非负性和规范性是概率的基本直觉要求。非负性确保概率不会取负值，规范性要求概率的总和为1，符合我们对可能性的认知。这些公理与我们对随机事件发生的直觉相一致，易于理解和接受。

3. 可操作性：可列可加性公理提供了一种有效的方式来处理复杂事件的概率。通过将复杂事件拆解为不相容的子事件，并使用可列可加性求和，我们可以计算和推导出复杂事件的概率。这使得概率在实际问题中具有可操作性和可计算性。

当数学家们思考概率的公理化时，他们的目标是建立一个既有严密性又与直觉一致的概率理论。他们试图找到最基本的公理，以确保概率具有一致的数学性质，并能够适用于各种实际问题。在这个过程中，他们通过反复思考、讨论和验证，逐渐确定了这三个公理的形式，并确立了它们在概率论中的地位。

当然，数学是一门活跃的学科，仍然存在许多有关概率的开放问题和深入研究的领域。在特定的应用领域或特殊的概率模型中，人们也可以探索其他公理化定义或修改现有的公理，以满足特定需求或解决特定问题。但在整个概率论的范围内，非负性、规范性和可列可加性的公理已经成为广泛接受的标准，

疑问3：

这个数学公理化体现了什么数学思想或者数学方法呢？

概率的公理化体现了数学中的一些重要思想和方法。下面是一些与概率公理化相关的数学思想和方法：

1. 公理化方法：概率的公理化采用了公理化的方法，即通过明确定义基本概念，并根据这些基本概念建立一组公理，从而构建一个严密的数学理论体系。公理化方法在数学中非常常见，它通过清晰地定义概念和规定基本性质，使得数学理论能够进行推导和证明，并确保理论的内在一致性和可靠性。

2. 抽象化和一般化：概率的公理化从某种程度上将概率从具体的事件转化为抽象的概念。它将概率定义为一种函数或度量，而不是仅仅关注特定事件的发生概率。这种抽象化和一般化的思想使得概率可以应用于各种情境和问题，扩展了概率的应用范围。

3. 结构性思想：概率的公理化将概率定义为满足一定结构性质的函数或度量。非负性、规范性和可列可加性这些公理规定了概率的基本特性和行为，从而构建了概率的数学结构。通过研究这些结构性质，数学家可以推导和证明概率论中的各种定理和性质，深入了解概率的内在结构和规律。

4. 算术性质和可操作性：概率的公理化要求概率满足可列可加性公理，这使得概率具有良好的算术性质和可操作性。通过将事件拆分为不相容的子事件，并使用可列可加性公理进行求和，我们可以计算和推导复杂事件的概率，从而解决实际问题。这种可操作性是概率在实际应用中非常重要的特征之一。

总之，概率的公理化体现了数学中的公理化方法、抽象化和一般化思想、结构性思维以及算术性质和可操作性等数学思想和方法。通过这些思想和方法，概率论能够建立一个严密的数学理论体系，并在实际问题中提供准确的数值和推断。

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2023/5/21 宋浩网课笔记：

这里给我启发至少有一个发生不一定要用样本容量减去都不发生，最简单的是把他们一起求并集

这里宋浩补充了

补充公式1——事件之间差的三角公式可以互相转换

是一个三角公式：A-B=A-AB=A~B

在我的课后习题分析的文章中还有一个事件之和的公式

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)-P(ABC)

宋浩还补充了对立事件和对立事件判定的条件

这里宋浩补充了对偶律，这个对偶律要注意了把非放到每个事件上时交和并要互换