用matlab实现线性常系数差分方程的求解

数字信号处理课程设计 题目： 试实现线性常系数差分方程的求解 学院： 专业： 班级： 学号： 组员： 指导教师： 题目：用Matlab实现线性常系数差分方程求解 一． 设计要求 1． 掌握线性常系数差分方程的求解 2． 熟练掌握Matlab基本操作和各类函数调用 3． 结合Matlab实现线性常系数差分方程的求解 二．设计原理 1．差分与差分方程 与连续时间信号的微分及积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和运算。设有序列f(k),则称…,f(k+2),f(k+1),…,f(k－1),f(k－2),…为f(k)的移位序列。序列的差分可以分为前向差分和后向差分。一阶前向差分定义为 (3.1—1) 一阶后向差分定义为 (3.1—2) 式中Δ和Δ称为差分算子。由式(3.1—1)和式(3.1—2)可见，前向差分与后向差分的关系为 (3.1—3) 二者仅移位不同，没有原则上的差别，因而它们的性质也相同。此处主要采用后向差分，并简称其为差分。 由查分的定义，若有序列、和常数，则 (3.1—4) 这表明差分运算具有线性性质。 二阶差分可定义为 (3.1—5) 类似的，可定义三阶、四阶、…、n阶差分。一般地，n阶差分 (3.1—6) 式中 (3.1—7) 为二项式系数 序列f(k)的求和运算为 (3.1—8) 差分方程是包含关于变量k的未知序列y(k)及其各阶差分的方程式，它的一般形式可写为 (3.1—9a) 式中差分的最高阶为n阶，称为n阶差分方程。由式(3.1—6)可知，各阶差分均可写为y(k)及其各移位序列的线性组合，故上式常写为 (3.1—9b) 通常所说的差分方程是指式(3.1—9b)形式的方程。 若式(3.1—9b)中，y(k)及其各移位序列均为常数，就称其为常系数差分方程；如果某些系数是变量k的函数，就称其为变系数差分方程。描述LTI离散系统的是常系数线性差分方程。 差分方程是具有递推关系的代数方程，若一直初始条件和激励，利用迭代法渴求的差分方程的数值解。 2. 差分方程的经典解 一般而言，如果但输入—单输出的LTI系统的激励f(k)，其全响应为y(k)，那么，描述该系统激励f(k)与响应y(k)之间关系的数学模型式n阶常系数线性差分方程，它可写为 (3.1—10a) 式中、都是常数。上式可缩写为 (3.1—10b) 与微分方程的经典解类似，上述差分方程的解由齐次解和特解两部分组成。齐次解用表示，特解用表示，即 (3.1—11) a.齐次解 当式(3.1—10)中的f(k)及其各移位项均为零时，齐次方程 (3.1—12) 的解称为齐次解。 首先分析最简单的一阶差分方程。若一阶差分方程的齐次方程为 (3.1—13) 它可改写为 y(k)与y(k－1)之比等于－a表明，序列y(k)是一个公比为－a的等比级数，因此y(k)应有如下形式 (3.1—14) 式中C式常数，有初始条件确定。 对于n阶齐次差分方程，它的齐次解由形式为的序列组合而成，将代入到式(3.1—12)，得 由于C≠0，消去C；且λ≠0，以除上式，得 (3.1—15) 上式称为差分方程式(3.1—10)和式(3.1—12)的特征方程，它有n个根，称为差分方程的特征根。显然，形式为的序列都满足式(3.1—12)，因而它们是式(3.1—10)方程的齐次解。依特征根取值的不同，差分方程齐次解的形式见表3—1,其中、、、等为待定常数 表3—1 不同特征根所对应的齐次解 特征根 齐次解 单实根 重实根 一对共轭复根 重共轭复跟 b.特解 特解的函数形式与激励的函数形式有关，表3—2列出了集中典型的激励f(k)所对应的特解。选定特解后代入原差分方程，求出其待定系数等，就得出方程的特解。 表3—2 不同激励所对应的特解 激励 特解 所有特征根均不等于1时 当有重等于1时的特征根时 当不等于特征根时 当是特征单根时 当是重特征根时 或 所有特征根均不等于 c.全解 式(3.1—10)的线性差分方程的全解是齐次解与特解之和。如果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为 (3.1—16) 如果特征根为重根，而其余n－r个特征根为单根时，差分方程的全解为 (3.1—17) 式中各系数由初始条件确定。 如果激励信号是在k=0时接入的，差分方程的解适合于k≥0。对于n阶差分方程，用给定的n个初始条件y(0),y(1),…,y(n－1)就可确定全部待定系数。如果差分方程的特解都是单根，则方程的全解为式(3.1—16)，将给定的初始条件y(0),y(1),…,y(n－1)分别代入到式(3.1—16)，可得 (3.1—18) 由以上方程可求得全部待定系数。 2.1零输入响应 系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应，称为零输入响应，用表示。在零输入条件下，式(3.1—10)等号右端为零，化为齐次方程，即 (3.1—25) 一般设定激励是在k=0时接入系统的，在k＜0时，激励尚未接入，故式(3.1—25)的几个初始状态满足 (3.1—26) 式(3.1—26)中的y(－1),y(－2),…,y(－n)为系数的初始状态，由式(3.1—25)和式(3.1—26)可求得零输入响应。 2.2零状态响应 当系统的初始状态为零，仅由激励f(k)所产生的响应，称为零状态响应，用 表示。在零状态情况下，式(3.1—10)仍是非齐次方程，其初始状态为零，即零状态响应满足 (3.1—30) 的解。若其特征根均为单根，则其零状态响应为 (3.1—31) 式中为待定常数，为特解。需要指出，零状态响应的初始状态为零，但其初始值不一定等于零。 3.线性常系数差分方程 3.1一个N 阶线性常系数差分方程可用下式表示： (1.4.1) 或者 (1.4.2) 式中，x(n)和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，ai和bi均为常系数，式中y(n-i)和x(n-i)项只有一次幂，也没有相互交叉相乘项，故称为线性常系数差分方程。差分方程的阶数是用方程y(n-i)项中i的最大取值与最小取值之差确定的。在(1.4.2)式中，y(n-i)项i最大的取值N，i的最小取值为零，因此称