一、使用递推解法求解 " 线性常系数差分方程 "

使用 " 线性常系数差分方程 " 描述系统 :

y(n)=ay(n−1)+x(n)y(n) = ay(n-1) + x(n)y(n)=ay(n−1)+x(n)

输入序列 :

x(n)=δ(n)x(n) = \delta (n)x(n)=δ(n)

计算输出 y(n)y(n)y(n) ;

假设 " 初始条件 " : 零状态为 y(−1)=0y(-1) = 0y(−1)=0

当 n=0n = 0n=0 时 , δ(0)=1\delta (0) = 1δ(0)=1 ,
y(0)=ay(0−1)+δ(0)=a×0+δ(0)=1y(0) = ay(0-1) + \delta(0) = a \times 0 + \delta (0) = 1y(0)=ay(0−1)+δ(0)=a×0+δ(0)=1

当 n=1n = 1n=1 时 , δ(1)=0\delta (1) = 0δ(1)=0 ,
y(1)=ay(1−1)+δ(1)=a×y(0)+δ(1)=ay(1) = ay(1-1) + \delta(1) = a \times y(0) + \delta (1) = ay(1)=ay(1−1)+δ(1)=a×y(0)+δ(1)=a

当 n=2n = 2n=2 时 , δ(2)=0\delta (2) = 0δ(2)=0 ,
y(2)=ay(2−1)+δ(2)=a×y(1)+δ(2)=a2y(2) = ay(2-1) + \delta(2) = a \times y(1) + \delta (2) =a ^2y(2)=ay(2−1)+δ(2)=a×y(1)+δ(2)=a2

⋮\ \ \ \ \ \ \vdots ⋮

当 n=nn = nn=n 时 ,
y(n)=anu(n)=h(n)y(n) = a^n u(n)= h(n)y(n)=anu(n)=h(n)

假设 " 初始条件 " : 零状态为 y(−1)=1y(-1) = 1y(−1)=1

当 n=0n = 0n=0 时 ,
y(0)=ay(−1)+δ(0)=1+ay(0) = ay(-1) + \delta(0) = 1 + ay(0)=ay(−1)+δ(0)=1+a

当 n=1n = 1n=1 时 ,
y(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)ay(1) = ay(0) + \delta(1) = (1 + a)ay(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)a

当 n=2n = 2n=2 时 ,
y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2y(2) = ay(1) + \delta(2) = ( 1 + a )a ^2y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2

⋮\ \ \ \ \ \ \vdots ⋮

当 n=nn = nn=n 时 ,
y(n)=(1+a)anu(n)≠h(n)y(n) = (1 + a)a^n u(n) \not= h(n)y(n)=(1+a)anu(n)=h(n)

" 线性常系数差分方程 " 表示的不一定是 " 线性时不变系统 LTI " ;

二、" 线性常系数差分方程 " 初始条件的重要性

在上面的示例中 , 相同的 " 线性常系数差分方程 "

y(n)=ay(n−1)+x(n)y(n) = ay(n-1) + x(n)y(n)=ay(n−1)+x(n)

相同的 " 输入序列 "

x(n)=δ(n)x(n) = \delta(n)x(n)=δ(n)

由于 " 初始条件 " 不同 , y(−1)=1y(-1) = 1y(−1)=1 和 y(−1)=0y(-1) = 0y(−1)=0 这两个初始条件 ,

得到的解 , 也就是 " 输出序列 " 也不同 ;

如果 " 线性常系数差分方程 " 的 " 初始条件 " 不确定 , 则其相应的 " 解 " 也不能确定 ;

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