一、使用 matlab 求解 “ 线性常系数差分方程 “ 示例

描述某个 " 线性时不变系统 " 的 " 线性常系数差分方程 " 如下 :

y(n)=1.5x(n)+0.7y(n−1)y(n) = 1.5x(n) + 0.7y(n-1)y(n)=1.5x(n)+0.7y(n−1)

输入序列 :

x(n)=δ(n)x(n) = \delta (n)x(n)=δ(n)

边界条件 / 初始条件 :

y(−1)=1y(-1) = 1y(−1)=1

求该 LTI 系统的输出序列 ;

线性常系数差分方程公式 :

y(n)=∑i=0Mbix(n−i)−∑i=1Naiy(n−i)n≥My(n) = \sum_{i = 0}^M b_i x(n - i) - \sum_{i = 1}^N a_i y(n - i) \ \ \ \ \ \ \ n \geq My(n)=i=0∑Mbix(n−i)−i=1∑Naiy(n−i) n≥M

1、B 向量元素 : x(n) 参数

讨论 BBB 向量 , BBB 向量是 x(n)x(n)x(n) 的参数 , 有几个 x(n)x(n)x(n) 项 , BBB 向量就有几个元素 ;

上式中 M=0M = 0M=0 , x(n)x(n)x(n) 的项只有 111 项 , ∑i=0Mbix(n−i)\sum_{i = 0}^M b_i x(n - i)∑i=0Mbix(n−i) 只有一项 , 加和式只有一项 , 因此对应的 BBB 向量 , 只有 111 个元素 ;

B = [1.5];

2、A 向量元素 : y(n) 参数

下面讨论 AAA 向量 , AAA 向量是 y(n)y(n)y(n) 的参数 , 有几个 y(n)y(n)y(n) 项 , AAA 向量就有几个元素 ;

线性常系数差分方程 :

y(n)=1.5x(n)+0.7y(n−1)y(n) = 1.5x(n) + 0.7y(n-1)y(n)=1.5x(n)+0.7y(n−1)

将 0.7y(n−1)0.7y(n-1)0.7y(n−1) 移到左边 , 得到 :

y(n)−0.7y(n−1)=1.5x(n)y(n) - 0.7y(n-1) = 1.5x(n)y(n)−0.7y(n−1)=1.5x(n)

这里有 222 个 y(n)y(n)y(n) 项 , AAA 向量的元素有两个 , 1,−0.71 , -0.71,−0.7 ;

A = [1, -0.7];

3、输入序列

输入序列 :

x(n)=δ(n)x(n) = \delta (n)x(n)=δ(n)

输入序列的元素个数 , 等于输出序列的元素个数 ;

n=0n = 0n=0 时 , x(n)=1x(n) = 1x(n)=1 , 然后再次生成 303030 个 000 元素 , 放到输入序列中 ;

输入序列为 {1,0,0,⋯,0⏟30个0}\{ 1, \underbrace {0 , 0 , \cdots , 0}_{30 个 0} \}{1,30个00,0,⋯,0} , 共 313131 个元素 ;

对应的 matlab 代码为

xn=[1,zeros(1,30)];

4、matlab 代码

matlab 代码 :

% 边界条件 y(-1) = 1 , 这里设置 ys = 1
ys = 1;% 输入序列 为 单位脉冲序列
xn=[1,zeros(1,30)]; % 线性常系数差分方程 中的 x(n) 项系数
B=1.5;% 线性常系数差分方程 中的 y(n) 项系数
A=[1, -0.7];% 等效 初始条件 的 输入序列 xi
xi=filtic(B,A,ys);% 输出序列
yn=filter(B,A,xn,xi); %建立幕布
figure;
%绘制 "输出序列" 图像 , 点用上三角表示
plot(yn, '^');% 打开网格
grid on;

绘图效果 :

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