【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 “ 线性时不变系统 “ 案例二 | 修改边界条件 | 使用递推方法证明 )
文章目录
- 一、根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定系统是否是 " 线性时不变系统 " 案例
- 1、使用递推方法证明
- 2、证明线性
- 3、证明时不变
- 先变换后移位
- 先移位后变换
- 时变系统结论
参考 【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 线性时不变系统 “ 关联 | 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 线性时不变系统方法 ) 中提出的方法 , 根据
- " 线性常系数差分方程 "
- " 边界条件 "
判断系统是否是 " 线性时不变系统 " ;
一、根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定系统是否是 " 线性时不变系统 " 案例
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线性常系数差分方程 :
y(n)−ay(n−1)=x(n)y(n) - ay(n - 1) = x(n)y(n)−ay(n−1)=x(n)
边界条件 ( 初始条件 ) :
y(−1)=0y(-1) = 0y(−1)=0
分析该 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定的系统 是否是 " 线性时不变系统 " ;
1、使用递推方法证明
假设 系统的 " 输入序列 " 为 :
x(n)x(n)x(n)
使用 " 线性常系数差分方程 " 递推运算 , 可以得到 :
y(n)=∑i=0nan−ix(i)u(n)y(n) = \sum^{n}_{i = 0}a^{n- i}x(i)u(n)y(n)=i=0∑nan−ix(i)u(n)
2、证明线性
假设
x(n)=bx1(n)+cx2(n)x(n) = bx_1(n) + cx_2(n)x(n)=bx1(n)+cx2(n)
将 " 输入序列 " x(n)x(n)x(n) 代入上述假设的 y(n)=∑i=0nan−ix(i)u(n)y(n) = \sum^{n}_{i = 0}a^{n- i}x(i)u(n)y(n)=∑i=0nan−ix(i)u(n) 式子中 ;
计算过程如下 :
y(n)=∑i=0nan−ix(i)u(n)y(n) = \sum^{n}_{i = 0}a^{n- i}x(i)u(n)y(n)=i=0∑nan−ix(i)u(n)
=∑i=0nan−i[bx1(i)+cx2(i)]u(n)= \sum^{n}_{i = 0}a^{n- i} [ bx_1(i) + cx_2(i) ] u(n)=i=0∑nan−i[bx1(i)+cx2(i)]u(n)
=by1(n)+cy2(n)= by_1(n) + cy_2(n)=by1(n)+cy2(n)
上述系统是 " 线性系统 " ;
3、证明时不变
" 输入序列 " 移动 n0n_0n0 , 开始计算 " 输出序列 " , 查看 修改前后 的 " 输出序列 " 是否相同 ;
先变换后移位
原始 " 输出序列 " :
y(n)=∑i=0nan−ix(i)u(n)y(n) = \sum^{n}_{i = 0}a^{n- i}x(i)u(n)y(n)=i=0∑nan−ix(i)u(n)
移位后的 " 输出序列 " : 也就是 先 " 变换 " 后 " 移位 " ;
y(n−n0)=∑i=0n−n0an−n0−ix(i)u(n−n0)y(n - n_0) = \sum^{n-n_0}_{i = 0}a^{n - n_0 - i}x(i)u(n - n_0)y(n−n0)=i=0∑n−n0an−n0−ix(i)u(n−n0)
先移位后变换
原始 " 输入序列 " :
x(n)x(n)x(n)
移位后的 " 输入序列 " :
x(n−n0)x(n - n_0)x(n−n0)
先 " 移位 " 后 " 变换 " :
T[(n−n0)]=∑i=0nai−n0x(i)u(n)T[(n - n_0)] = \sum^{n}_{i = 0}a^{i - n_0}x(i)u(n)T[(n−n0)]=i=0∑nai−n0x(i)u(n)
进行变量替换 , 假设 i′=i+n0i' = i + n_0i′=i+n0 , 使用 i=i′+n0i = i' + n_0i=i′+n0 替换 iii ,
=∑i=−n0n−n0an−n0−ix(i)u(n)= \sum^{n - n_0}_{i = -n_0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n)=i=−n0∑n−n0an−n0−ix(i)u(n)
=∑i=0n−n0an−n0−ix(i)u(n)= \sum^{n-n_0}_{i = 0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n)=i=0∑n−n0an−n0−ix(i)u(n)
=∑i=0n−n0an−n0−ix(i)u(n−n0)= \sum^{n-n_0}_{i = 0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n - n_0)=i=0∑n−n0an−n0−ix(i)u(n−n0)
=y(n−n0)= y(n - n_0)=y(n−n0)
时变系统结论
先变换后移位 的 计算结果 : ∑i=0n−n0an−n0−ix(i)u(n−n0)\sum^{n-n_0}_{i = 0}a^{n - n_0 - i}x(i)u(n - n_0)i=0∑n−n0an−n0−ix(i)u(n−n0)
先移位后变换 的 计算结果 : ∑i=0n−n0an−n0−ix(i)u(n−n0)\sum^{n-n_0}_{i = 0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n - n_0)i=0∑n−n0an−n0−ix(i)u(n−n0)
这两个结果相同 , 因此该系统是 时不变系统 ;
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