矩阵

合同

正定矩阵

线性变换

协方差矩阵

x与y的协方差符号决定了x与y的相关性,且协方差绝对值越大,其相关关系越明显。而x与y的方差大小决定了数据在x和y方向上的分散程度
协方差代表了不同维度之间的相关关系,如果说某些维度之间没有相关关系,则协方差为0
白数据：数据协方差矩阵为单位阵时,该组数据被称为白数据

协方差矩阵的线性变换

M=TDM=TDM=TD
D:D:D:表示白数据
M:M:M:表示最终数据
T=RST=RST=RS
TTT为线性变换矩阵，RRR是旋转变换矩阵，SSS是缩放变换矩阵
变换可以分解为旋转变换和缩放变换

举例

将数据旋转0度，而x轴方向扩大3倍，y轴方向大小不变。

协方差及协方差矩阵

协方差

协方差矩阵

协方差矩阵Σ\SigmaΣ是一个实对称矩阵，最主要的性质就是可以正交对角化
正交对角化：存在一个正交矩阵UUU，使得：
Σ=QTDQ\Sigma = Q^TDQΣ=QTDQ
其中Q为标准正交基矩阵，D为对角矩阵。
作为半正定矩阵，我们可以对协方差矩阵进行Cholesky分解
Cholesky分解

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【矩阵与线性变换及协方差矩阵】

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