一般向量空间的基变换_线性代数的本质03 矩阵与线性变换
03 矩阵与线性变换
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线性变换的概念以及它和矩阵的关系是非常重要的，它不仅可以让线性代数的其它内容变得一目了然，又经常会被初学线代的人忽略。
本讲我们就介绍二维空间中的线性变换，以及它如何与矩阵向量乘法相关联。
“变换”本质上是函数的另一种说法，它接收输入内容并输出对应结果。线代的“变换”是接收一个向量并且输出一个向量。
为了方便，我们用向量终点所构成的网格，而不是箭头，来表示二维平面中的向量。如果某变换符合两个条件，它就是线性变换：一是直线经变换后仍然保持为直线，不能有所弯曲；二是原点必须保持固定。
有些变换看起来网格线还维持直线，但是观察其对角线可发现已经发生了弯曲。
线性变换可视为保持网格线平行且等距分布的变换。有一些线性变换非常简单，比如以原点为轴做旋转，而另一些则相对复杂。
问题在于如何用数值来描述线性变换，对给定的一个向量坐标，得到其变换之后的向量坐标。实际上只需要记录两个基向量变换后的坐标，而其他的只会随之变化。从网格线保持平行且等距分布的性质可以得到如下性质：原向量是基向量的一个特殊的线性组合，如
经线性变换后的向量，是“线性变换后的基向量”用同样的标量数乘并加和得到的线性组合：
一个二维线性变换仅用4个数字完全确定，即
注意到
通常我们把这些坐标包装在一个2×2的数据表格中，称它为矩阵。可以看到矩阵
更一般的情况，我们看矩阵为
矩阵在这里只是一个记号，它包含着一个线性变换的基本信息。
例如，逆时针旋转90度的变化，
反过来想，对于一个任意给定的2x2矩阵
2x2矩阵的列向量若线性相关，则其所对应的线性变换就是将二维空间压缩成列向量所在的直线。
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