一：线性变换

“变换”其实是函数的一个别称，函数我们很熟悉，它会接受内容而输出结果

那么线性变换呢？所以我们考虑的是输入一个向量经过变换之后再输出对应的向量

那么既然变换就是函数，为什么不叫“线性函数”而叫线性变换呢？

其实，变换相对于函数来讲，它更具有一种运动的感觉，是在暗示你用运动的角度去思考向量的函数

输入向量移动到了输出向量的位置

第二个需要理解的就是线性二字，线性的对立面就是非线性，所以非线性变换的呈现在向量的感受就是下面这样

复平面f(z)=z22f(z)=\frac{z^{2}}{2}f(z)=2z2变换
复平面f(z)=ezf(z)=e^zf(z)=ez变换

可以看出非线性变换是异常复杂的，但是幸运的是，这里讲的线性变换，将变换限制在了一种特定的类型上

如果一个变换具有以下两条性质，我们就称它是线性的

1：直线在变换后仍旧是直线，不能有所弯曲（下面动图是反例，直线被弯曲）
2：原点必须固定（下面是反例，直线虽然还是直线，但是原点移动了）
3：额外补充一点-对角线也不能弯曲（下面第一张图看起来好像是线性的，但是第二张图揭示了对角线弯曲了）

综上，线性变换必须是：保持网格平行且等距分布的变换

二：矩阵

可以发现，从图像上理解线性变换比较直观但是难以表达，既然线性代数的核心就是数字和空间的对应，那么我们如何使用数值去描述我们上面讲到的线性变换呢？

其实线性代数的一个经典例子就是游戏和动画——你想要让一个角色移动到某个位置后或者其自身发出怎样的动作，你能给出什么样的计算公式，依次得到变换后的坐标呢？

比如现在有一个向量(−12)\begin{pmatrix} -1\\ 2\end{pmatrix}(−12)，根据上一篇文章所提到的，它就是就是基向量ijijij的线性组合

假如现在我们施加一个线性变换如下

大家可以看到这里变换之后，v‾\overline vv和ijijij都发生了变换，都不是以前的vvv和ijijij，那么由于线性变换会保证网格线平行且等距分布，所以变换后的vvv的位置是-1与变换后iii之积+2与变换后jjj之积

或者换句话说：既然v‾\overline vv是ijijij的特定的线性组合，那么变换后的v‾\overline vv也是变换后的ijijij的特定的线性组合

这一点非常重要：你可以只根据变换后的ijijij推断出变换后的v‾\overline vv

在上图所示的情形中变换后的向量ijijij分别为(1−2)\begin{pmatrix} 1\\ -2\end{pmatrix}(1−2)和(30)\begin{pmatrix} 3\\ 0\end{pmatrix}(30)，于是，变换后的v‾\overline vv=-1(1−2)\begin{pmatrix} 1\\ -2\end{pmatrix}(1−2)+2(30)\begin{pmatrix} 3\\ 0\end{pmatrix}(30)=(−1(1)+2(3)−1(−2)+2(0))\begin{pmatrix} -1(1)+2(3)\\ -1(-2)+2(0)\end{pmatrix}(−1(1)+2(3)−1(−2)+2(0))=(52)\begin{pmatrix} 5\\ 2\end{pmatrix}(52)，于是变换后的v‾\overline vv一定落在(52)\begin{pmatrix} 5\\ 2\end{pmatrix}(52)处

因此只要记录了变换后的ijijij,我们就可以推断出任意向量在变换后的位置，而不必观察变换本身是怎样的
一般情况下，假如一个向量的坐标是(xy)\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}(xy)，变换后的这个向量就是xxx乘以变换后的iii，也即(1−2)\begin{pmatrix} 1\\ -2\end{pmatrix}(1−2)加上yyy乘以变换后的jjj，也即(30)\begin{pmatrix} 3\\ 0\end{pmatrix}(30)，因此它将会落在(1x+3y−2x+0y)\begin{pmatrix} 1x+3y\\ -2x+0y\end{pmatrix}(1x+3y−2x+0y)位置处

综上，一个二维线性变换仅由四个数字完全确定，也即变换后的iii的(x,y)(x,y)(x,y)和变换后的j的(x,y)(x,y)(x,y)

通常我们将这些坐标包装在一个2×2的格子中，称其为——2×2阶矩阵

如果你有一个描述线性变化的2×2阶矩阵，以及一个给定的向量，你想了解线性变化对这个向量的作用，你只需取出向量的坐标，将它们分别与矩阵特定的列相乘，然后结果相加即可。矩阵只是一个记号，太描述了线性变换的信息

考虑一般的矩阵(abcd)\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}(acbd)，把第一列(ac)\begin{pmatrix} a\\ c\end{pmatrix}(ac)看作变换后的第一个基向量，把第二列(bd)\begin{pmatrix} b\\ d\end{pmatrix}(bd)看作变换后的第二个基向量，让此变换作用于一个向量(xy)\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}(xy)，就会得到(ax+bycx+dy)\begin{pmatrix} ax+by\\ cx+dy\end{pmatrix}(ax+bycx+dy)，这就是矩阵乘法的定义

三：列相关

如果给出一个矩阵(1321)\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 1\end{pmatrix}(1231)，你能想象出来它的线性变换是怎么样的吗？

首先将iii移动到(12)\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}(12)，然后将jjj移动到(31)\begin{pmatrix} 3\\ 1\end{pmatrix}(31)，空间剩余部分随二者移动，保持网格线平行且等距分布

上面是一种普通情况，如果给出一个列相关的矩阵（意味着呈倍数关系），(2−21−1)\begin{pmatrix} 2 & -2\\ 1 & -1\end{pmatrix}(21−2−1)，那么这样的线性变换会将整个二维空间全部挤压在他们所在的一条直线上

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文章目录

一：线性变换

二：矩阵

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