matlab分析矩阵与线性变换

把变换矩阵 AAA 看作两个二维列向量的组合 A=[α1,α2]A=[\alpha_1,\alpha_2]A=[α1,α2]，α1,α2\alpha_1,\alpha_2α1,α2 称作此变换的基向量，A=[10.2501]A=\begin{bmatrix} 1&0.25\\ 0&1 \end{bmatrix}A=[100.251]的基向量为α1=[10]\alpha_1=\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix}α1=[10]和α2=[0.251]\alpha_2=\begin{bmatrix} 0.25\\ 1\end{bmatrix}α2=[0.251]，对于任意点 x=[ab]x=\begin{bmatrix} a\\ b\end{bmatrix}x=[ab] 相乘表示两个基向量的线性组合
y=A∗x=[α1,α2][ab]=aα1+bα2=a[10]+b[0.251]=[a+0.25bb]y=A*x=[\alpha_1,\alpha_2]\begin{bmatrix} a\\ b\end{bmatrix}=a\alpha_1+b\alpha_2=a\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix} 0.25\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a+0.25b\\ b\end{bmatrix} y=A∗x=[α1,α2][ab]=aα1+bα2=a[10]+b[0.251]=[a+0.25bb]
行列式的几何意义是两个基向量所构成平行四边形的面积，新图形变换后的面积的倍数等于行列式的绝对值，负数代表图形翻转
det(A)=det([10.2501])=1det(A)=det(\begin{bmatrix} 1&0.25\\ 0&1 \end{bmatrix})=1 det(A)=det([100.251])=1

x1 = [0;0];
x2 = [1;0];
x3 = [1;1];
x4 = [0;1];
x = [x1,x2,x3,x4,x1];
A = [1 0.25;0 1];
y = A * x;
plot(x(1,:),x(2,:), 'b')
hold on
plot(y(1,:),y(2,:),'r')
axis([0 1.5 0 1.5])
grid on

旋转的效果 A=[0.866−0.50.50.866]A=\begin{bmatrix} 0.866&-0.5\\ 0.5&0.866 \end{bmatrix}A=[0.8660.5−0.50.866]

x1 = [0;0];
x2 = [1;0];
x3 = [1;1];
x4 = [0;1];
x = [x1,x2,x3,x4,x1];
A = [0.866 -0.5;0.5 0.866];
y = A * x;
plot(x(1,:),x(2,:), 'b')
hold on
plot(y(1,:),y(2,:),'r')
axis([-1 1.5 0 1.5])
grid on

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