线性代数-向量，矩阵，线性变换

一.向量

向量要求具有两个条件：

长度（大小）
方向

二维：

三维：

计算机中，向量可看做列表:

图中第一个列表有两行我们说它是二维向量，第二个列表有四行，我们说他是四维向量

向量的运算

向量加法：@向量加法
将对应的行相加

（将向量w的起点平移到向量V的终点）
（可以理解为从原点先向右走一步，向上两步，再向右走三步，左后向下走一步）

//
@向量数乘
向量的数乘：
相当于将向量缩放多少倍
1/3×v

乘以负数，即向相反方向缩放多少倍

将一个向量缩放多少倍，这个倍数就称作标量

数学中，二维向量表示在x轴和y轴组成的二维平面中过原点的向量：

第一行表示x轴的数值
第二行表示y轴的数值

三维：

@张成空间
二.张成空间：
@1.基向量
- 基向量

在x，y轴正方向上，单位为1 的向量称作该2二维空间的基向量

因此任何一个向量都可以表示基向量缩放后的和：

固定一个向量，另一个向量自由一点，两个向量的相加锁产生的向量重点落在一条直线上：

如果让两个向量同时自由变换，他们相加产生的向量有三种结果：

1.将会组成整个平面：

二，当两个向量共线时锁产生的向量被限制在这条直线上：

三，当两个向量都为0时，组成的向量也为0

因此，张成空间描述为：

给定向量v和向量w的所有线性组合构成的向量的合集成为向量v和向量的张成空间

三维中两个向量张成的空间即是过原点的一个平面：

三维中三个向量的线性组合：

三维中三个向量的张成空间有两种情况：

1.第三个向量在前两个向量张成空间组成的平面中：

2.1.第三个向量不在前两个向量张成空间组成的平面中，它将前两个向量张成空间的平面沿这第三个向量来回移动，从而组成了整个三维空间：

@1.线性相关

线性相关：

1.有多个向量，移除其中一个而不减少张成空间，称作这些向量线性相关

2.有某几个向量，其中一个向量可以表示为其他向量的线性组合（图中公式加法表示的缩放并相加）

@2.线性无关

线性无关

所有向量都给张成空间增加了新的维度，称为线性无关

@矩阵

@1.线性变换
线性变换：

变换，可以看做是一种函数，他接收输入的向量，变换成另一种向量输出

变换的意义在于运动

即把输入向量移动到输出向量的位置

线性变换必须保证两个条件：
1.直线依旧是直线，且间距相等（平行且等距）
2.原点不动

所以，线性变换后的以看成是变换后的i-hat和j-hat的线性组合

知道了变换后的i帽和j帽，要求任意向量[x y],只需求他们的线性组合即可

公式：

矩阵

线性变换公式可以总结成：

就是矩阵向量的乘法：

如

1.将一个向量逆时针旋转90度，变换后的i帽和j帽：

2.剪切变换（x轴不动，y轴左右45°变换）：

3.变换后i帽在j帽的左边，表示变换将空间发生了翻转：

4.变换后矩阵的列线性相关，则变换将空间压缩到了一条直线：

总之，线性变换是操纵空间变化的一种手段，他保持网格线平行且等距分布，且原点不动

矩阵乘法

矩阵的乘法，可以看成是经历了两次的线性变换

也可以理解成函数

快速理解：

1.M1的i-hat经过M2的变换后如下：

1.M1的j-hat经过m2的变换后如下：

线性组合后的向量就是变换后的结果

三维的线性变换

三维矩阵：

如图，三维中一个向量的变换页可以看成是与变换后的i-hat，j-hat，k-hat缩放后相加

求得粉色箭头的坐标，既是变换后的向量坐标

计算方法：

两个三维矩阵相乘，同二维一样，表示两个变换的过程：

用numpy试了下

v=[[0,-2,2],[5,1,5],[1,4,-1]]
w=[[0,1,2],[3,4,5],[6,7,8]]
vd=numpy.array(v)
wd=numpy.array(w)
print vd
print wd
print vd*wd

输出好像不对，只是将对应位置的数乘起来，记录下后续研究

[[ 0 -2  2][ 5  1  5][ 1  4 -1]]
[[0 1 2][3 4 5][6 7 8]]
[[ 0 -2  4][15  4 25][ 6 28 -8]]

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