切比雪夫（Chebyshev）不等式

标准化

设随机变量x具有数学期望E(x)=μE(x) = \muE(x)=μ，方差D(x)=σ2D(x) = \sigma^{2}D(x)=σ2。记X∗=X−μσX^{* } =\frac{X-\mu }{\sigma }X∗=σX−μ, 则X*的期望和方差为：E(X∗)=1σE(X−μ)=1σ[E(X)−μ]=0E(X^{*})= \frac{1}{\sigma} E(X-\mu)=\frac{1}{\sigma }[E(X)-\mu]=0 E(X∗)=σ1E(X−μ)=σ1[E(X)−μ]=0D(X∗)=E(X∗2)−[E(X∗)2]=E[(x−μ)2σ]=1σ2E[(X−μ)2]=σ2σ2=1D(X^{*})= E(X^{*2})-[E(X^{*})^{2}]=E[\frac{(x-\mu)^{2}}{\sigma } ]=\frac{1}{\sigma ^{2}}E[(X-\mu)^{2}]=\frac{\sigma^{2}}{\sigma^{2}}=1D(X∗)=E(X∗2)−[E(X∗)2]=E[σ(x−μ)2]=σ21E[(X−μ)2]=σ2σ2=1
即X∗X^{*}X∗的数学期望为0，方差为1。
X∗X^{*}X∗为X的标准化变量，即一般的正态分布经标准化后，服从N(0,1)的标准正态分布。

切比雪夫不等式

如果随机变量X的期望μ和方差σ存在，则对任意ϵ >0,有
P{∣X−μ∣≥ε}≤σ2ε2P\left \{ |X-\mu |\ge\varepsilon \right \} \le \frac{\sigma ^{2}}{\varepsilon^{2}} P{∣X−μ∣≥ε}≤ε2σ2
该不等式称为切比雪夫不等式，也可以等价写为：
P{∣X−μ∣<ε}≥1−σ2ε2P\left \{ |X-\mu |< \varepsilon \right \} \ge 1- \frac{\sigma ^{2}}{\varepsilon^{2}} P{∣X−μ∣<ε}≥1−ε2σ2
例如当ε\varepsilonε取3σ\sigmaσ时，有P{∣X−μ∣<3σ}≥1−19≈88.89%P\left \{ |X-\mu |< 3\sigma \right \} \ge 1- \frac{1}{9} \approx 88.89\%P{∣X−μ∣<3σ}≥1−91≈88.89%
对于该不等式，描绘了如下性质：

随机时间大多会集中在平均值附件
若σ2越小，则事件\sigma^{2}越小，则事件σ2越小，则事件P{∣X−μ∣<ε}P\left \{ |X-\mu|< \varepsilon \right \}P{∣X−μ∣<ε} 的概率越大,即随机变量X集中在期望附件的可能性就越大，由此可见方差确实刻画了随件变量的离散程度
当方差已知时，X与他的期望值偏差不小于ε\varepsilonε的概率估计式，如上取3σ\sigmaσ, 则超出范围的概率约为0.111。
4. 随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的期望和方差，即可对X的概率分布进行估计。

例如一班有 36 个学生，在一次考试中，平均分是 80 分，标准差是 10 分，我们便可以得出结论.
少于 50 分(与平均相差3个标准差以上)的人数不多于4（36*0.111）个P{∣X−80∣≥30}≤19≈0.111P\left \{ |X-80|\ge30\right \}\le \frac{1}{9} \approx 0.111P{∣X−80∣≥30}≤91≈0.111
附：常见分布的期望方差

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