从切比雪夫不等式到大数定理

2024-06-12 02:07:16

1. 切比雪夫不等式

设随机变量 XX 的期望和方差都存在，则对任意常数（任意小） ϵ\epsilon，有：

P(|X−EX|≥ϵ)≤DXϵ2

P\left(|X-EX|\geq \epsilon\right)\leq \frac{DX}{\epsilon^2}

或者写作：

P(|X−EX|<ϵ)≥1−DXϵ2

P\left(|X-EX|\lt \epsilon\right)\geq 1-\frac{DX}{\epsilon^2}

在对样本进行统计时：

P(|X−EX|≥ϵ)≤σ2nϵ2

P\left(|X-EX|\geq \epsilon\right)\leq \frac{\sigma^2}{n\epsilon^2}

这里的误差（ϵ\epsilon），也就是 1-置信度；

2. 切比雪夫不等式举例

设随机变量（r.v.） XX 和 YY 的数学期望都是 2，方差分别是 1 和 4，而相关系数是 0.5，利用切比雪夫不等式给出概率 P(|X−Y|<6)P(|X-Y|\lt 6) 的下界估计。

记 Z=X−YZ=X-Y，则 EZ=0EZ=0，DZ=DX+DY−2cov(X,Y)=5−2ρXYDX−−−√DY−−−√DZ=DX+DY-2cov(X,Y)=5-2\rho_{XY}\sqrt {DX}\sqrt{DY}=3，所以：

P(|X−Y|<6)=P(|Z−EZ|<6)≥1−DZ62=1112

P(|X-Y|\lt 6)=P(|Z-EZ|\lt 6)\geq 1-\frac{DZ}{6^2}=\frac{11}{12}

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