前几段为写文的背景，各位如果没有兴趣可以直接跳过

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在最近学习的过程中，越来越意识到系统地梳理一些方法的的重要性。加之很多东西也是解决一些高考题型的重要方法，所以打算写一些东西来帮助各位同学来了解这些重要的解题方法，也为我自己系统地梳理一下这些方法。

这里有必要声明一下，我只是个不做野题神题，也不搞竞赛高数的纯高考党，所以如果各位期待在我这里看到例如各路神仙不等式或者各种网上常见的奇技淫巧，恐怕就要让各位失望了……

可能有些朋友会说:“你不是说不研究高数吗？那为什么标题里会赫然写着那四个字？” 其实在选择这个标题之前，我还是有过一番纠结的。既怕有些同学怀疑我说自己只研高考是假的，也不愿意有同学养成满嘴高级名词的习惯，但最终还是用了这个名词，毕竟这类问题更多是以这个名词为大家所知的。

因为这是第一次写方法类文章，所以废话有点多，请见谅，以下开始正文

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首先来分析一道最经典的例题

已知f(x)＝x²＋ax＋b，求|f(x)|在〔0，2〕上最大值的最小值

别的先不说，光这个问法就有很多同学不易理解。最大值就完了，怎么还最大值的最小值？其实这里体现的是参数对函数最值的影响。例如，若1为f(x)＝x²+ax+b的最大值点，f(x)max＝f(1)＝1+a+b，那么这个最大值也是会随着两个参数，a b的变化而变化的，既f(x)max＝f(1)＝1+a+b＝φ(a,b)，则f(x)最大值的最小值即为这个二元函数φ(a,b)的最小值。

题目中给的函数是一个二次函数，求二次函数最值的问题，我们在初中时就已经掌握，也就是看区间上的单调性去判断最值点。而加上了绝对值之后，可能因图像翻转使单调性发生变化，从而导致一系列繁琐的讨论。

众所周知，我们一般都是不喜欢讨论的，且这种问题一般都出在小题里，而我们学数学的人从来都是不会按部就班地做小题的。所以我们开始思考一些更本质的东西，企图从中获得快速解决问题的方法。我们再来看一遍题。

已知f(x)＝x²＋ax＋b，求|f(x)|在〔0，2〕上最大值的最小值

我们在初中时就学过，行如f(x)＝ax²+bx+c (a≠0)的函数叫做二次函数，其中，a和b共同控制函数图像的对称轴位置，既左右位置，而c控制函数图像的高低位置。

本题中，即a控制函数图像的对称轴，而b控制图像的高低。先甩开高低不说，我们单使函数图像左右移动，而高低位置不变，来观察一下函数在区间上的最值情况:

由图像左右平移的表现不难看出，在图像高度不变的情况下，当且仅当f(0)＝f(2)时，f(x)在区间的最大值最小，不管左移或右移，都会令一端大于另一端，从而导致最大值变大。

就此，我们找到了满足条件的对称轴的位置，即a的取值。接下来我们的目标十分明确:确定满足条件的图像高低位置，即找到此时b的取值。我们再从图像的动态特征中看，因为是确定高低位置，所以我们这次要用|f(x)|来画图:

这次，我们也不难看出，当且仅当中间的隆起与图像在两端点的位置一样高时，|f(x)|的最大值最小。

至此，我们成功已经找到了满足条件的图像位置，即两参数的取值。下面，我们来实际操作一次。

原问题解答完毕。

虽然我们已经完整且只管地演示了函数图像的动态变化，也很容易得出这个结论的正确性，但图像的反映并不能作为一个完整的证明，下面我们就给出一种更严谨的方法来证明这个结果的正确性。

值得一提的是，这种方法只是对所得结果正确性的一个证明，而非一般化的证明。先用反证法说明最大值不能比所求的这个值小，再说明所求最大值的最小值的取等条件。这里没有给出一般化的证明，主要是因为我自己之前看的过不止一种一般化的证明，而且觉得已经很不错了，而这种问题的证明方法又不是很难且大同小异，我又不可能直接去照搬别人的劳动成果，所以各位朋友自行查找即可。

解决了这个最经典的问题，我们逐渐地开始把这类问题向一般化推广。首先，再来观察上文的图像动态变化，不难得出结论，对行如f(x)=x²+ax+b的函数，X0为函数的极值点，则g(x)=|f(x)|在〔X1，X2〕上的最大值的最小值应为

这个更加一般化的结论，请读者自学查找证明过程。

出了这种最经典的题型，我们还时常遇到一下“变式”:

其实，这种问题本质上是换元之后的经典题型，我们只要把第一题中的2∧x令为t，则t＞0，原函数也就等价于f(t)＝4t²＋at＋b，一样可以转化为x²＋ax＋b的标准形式，第二题也一样可以通过换元来转化。

而如果换成下面这种形式呢？

我们不妨再来观察经典例题的图像动态特征。

根据之前的分析，我们直接放出|f(x)|最大值最小时的图像位置。不难看出，|f(x)|的最大值取得最小的关键并不是完全的对称，而是函数在区间两端的取值相等，且都等于中间隆起部分的最大值。

所以，如果我们打歪这个函数图像的脸，变成这样:

我们发现，即使函数的极值点不在中间，但其实并不影响最大值的最小值的取值情况。只要满足上文得出的结论:|f(x)|在区间两端点的函数值相等，且等于中间隆起的最大值，就可以得到我们所要求的这个最大值的最小值。

而这个图像就是我们这道例题所求的满足条件的函数图像。由我们得出的结论，原问题迎刃而解

至此，我们把我们的结论从二次函数推广到了一些与二次函数图像相似的类二次函数。我们已经可以放倒一大片题了。

下面，我们来引出这篇文章的核心内容。

虽然由我们得到的结论，已经避免了讨论，大幅简化了解题的过程，但是我们的方法要通过两个方程分别解出a,b的值，还是不那么简单，我们能否通过更深层次的思考，得到更简单的结论和方法呢？

同样是由基本的y＝x²＋ax＋b的形式开始研究，这一次，我们不令x²＋ax＋b这个整体为f(x)，而把它写成g(x)＝f(x)+ax+b的形式，这个新的f(x)即为原来的x²。为什么要这样写呢？我们以这个角度重新思考一下我们的第一道例题

已知f(x)＝x²＋ax＋b，求|f(x)|在〔0，2〕上最大值的最小值

其实f(x)＋ax＋b，其实还可以写成f(x)－[－(ax＋b)]，我们可以从中更直观地看出|f(x)＋ax＋b|的几何意义:y＝f(x)与y＝－ax－b的差，所以原问题也就是:求出y＝f(x)与y＝－ax－b在[0,2]上差的的最大值的最小值，即两函数图像在[0，2]上铅垂距离最大值的最小值。我们再以图像进行探究。同前文的原理，y＝f(x)和y＝－ax－b铅垂距离最大值的最小值应在此时取得。

所以，在这种角度里，我们也很容易得到所要求的a，b的值，现在我们来操作一遍

可见，只要找到过f(x)在区间上两端点的直线，然后求出与之平行的f(x)下端的切线，再找到平行与两条直线且距离相等的那条直线，就可以求出所要求的值。

中间所找到的这条直线就是所谓的切比雪夫最佳逼近直线。(终于点题了)

而前文所探究的使函数两端相等的情况，其实是与切比雪夫最佳逼近直线原理相同的一种特殊情况－－我们让函数在区间两端的函数值相等，那么我们所找到的切比雪夫最佳逼近直线其实是x轴本身。

得到了更本质的结果，我们重新思考一下前文的两道例题:

很明显，这道题的“f(x)”就是前面的对勾函数，现在，我们的目标已经很明确:确定a,b的值，使y＝ax＋b为对勾函数的切比雪夫最佳逼近直线。

现在，我们给出第二道经典例题－－2019武汉调研

看到这道题之后，可能会有同学一时难以下手，但其实只要成功get到了切比雪夫最佳逼近直线的本质，一样可以轻松解决

问题圆满解决。

下面，我们继续跳出舒适区，来研究一种特殊情况，去探究一些更深层次的问题－－2019年北京卷导数。

首先，我们先凑出我们熟悉的f(x)-ax-b的形式:

这次我们发现，题目竟然已经给定了我们直线的斜率。而且不难发现，这个斜率并不是我们最佳逼近直线的斜率。这是什么情况呢？我们重新回到一开始对这类问题的理解:g(x)max＝g(x。)＝φ(a,b)求φ(a,b)的最小值。我们本质上是把g(x)的最大值看成了一个关于a,b的二元函数φ(a,b)，显然，本题所要做的，其实是当a＝1时，确定b的取值，使得φ(a,b)=φ(1,b)最小。

我们先以之前的方法操作一次。

与之前的几道题不同的是:我们在直线的斜率为1时，虽然我们可以以同样的方法求出一条逼近直线，但最左边的一部分铅垂距离会大出我们两条直线的区域，这怎么办呢？

如果以这个左端的最低点做斜率为1的直线，然后求出它和第一条直线中间的逼近直线，就可以避免这个问题。显然，原问题所求的a＝－3

我们从中可以发现什么呢？

本题的函数f(x)与之前的函数相比，不同点在于:函数在区间内的单调性发生了变化。在函数有两个或多个单调区间时，我们要做的其实是，找到两条直线距离最远的一段，然后求得中间的那条逼近直线。这样，后面即使还有无数个上上下下的拐弯，也都包含在这个区域内，不会对我们所要求的值有所影响，比如我们这个题。

我们在左端找到了距离最远的两条直线(即图中上下两条线)，而后面那个拐弯被完全包含在了这两条直线的区域里，不会影响我们的最值。

收获了这个新的发现之后，我们再用同一道题来演练我们的新发现。

这次，我们把问题改为:设F(x)＝|f(x)－ax－b|，求F(x)在[-2，4]上最大值的最小值。

我们先来确定第一条直线:

再通过简单的求切线，可以分别确定第二，第三条直线:

分析完毕，现在可以通过简单的计算得出结果。

最后，再来看一道经典的题目:2016年天津卷导数。与其他不同的是:这个题目是以证明题的形式出现的，我们可以直接用反证法去说明。

其实，我们还可以从这个题中得到一些启发。

我们所得出的结论显然是不能直接用来写大题的过程的，所以我们需要去寻找一个既能利用这个结论又不会扣分的写大题过程的方法。那么，我们可以先在草稿纸上求出这个最大值的最小值，然后利用反证法说明小于这个值不成立，然后再找到这个最大值的最小值的取等条件，说明可以取等，这样在逻辑上就没有问题了。类似于导数恒成立问题的端点效应与矛盾区间，好像在告诉阅卷人:你别管我这个分界是怎么来的，我只要说明正面成立，反面不成立就完事了。

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这篇文章写完，我个人觉得不算好，也没有多不好。可能有同学会发现，我题目里说了切比雪夫最佳逼近直线，而整篇文章却连切比雪夫最佳逼近直线的定义都没给出。其实我本来连切比雪夫这四个字都不想打出来，这是这条直线的的确确叫做切比雪夫最佳逼近直线。而我们知不知道它的名字，知不知道它本来的定义又有什么关系呢？我们已经给出了从特殊逐步推广到一般的过程，已经足以get到这种方法的原理所在和操作过程，这样比我们把那些死板的定义记得多清楚都更有意义。而且如果把那突兀的高数定义都摆出来，能做到完全理解的高中生能有几个呢？