Chapter4.4：根轨迹法

此系列属于胡寿松《自动控制原理题海与考研指导》(第三版)习题精选，仅包含部分经典习题，需要完整版习题答案请自行查找，本系列属于知识点巩固部分，搭配如下几个系列进行学习，可用于期末考试和考研复习。
自动控制原理(第七版)知识提炼
自动控制原理(第七版)课后习题精选
自动控制原理(第七版)附录MATLAB基础

第四章：根轨迹法

Example 4.31

已知系统开环传递函数为： G ( s ) = K ∗ ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 ) ( s + 4 ) G(s)=\displaystyle\frac{K^*}{(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)} G(s)=(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)K∗，若 s = 0 s=0 s=0为系统闭环根轨迹上的一点，绘制系统闭环根轨迹图.

解：

系统开环传递函数为：
G ( s ) = K ∗ ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 ) ( s + 4 ) G(s)=\displaystyle\frac{K^*}{(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)} G(s)=(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)K∗
由于 s = 0 s=0 s=0为系统闭环根轨迹上的一点，故该系统的闭环根轨迹必为零度根轨迹.

根轨迹的分支、起点和终点：由于 n = 4 ， m = 0 ， n − m = 4 n=4，m=0，n-m=4 n=4，m=0，n−m=4，故根轨迹有两条分支，其起点分别为： p 1 = − 1 ， p 2 = − 2 ， p 3 = − 3 ， p 4 = − 4 p_1=-1，p_2=-2，p_3=-3，p_4=-4 p1=−1，p2=−2，p3=−3，p4=−4，其终点分别为无穷远处.
实轴上的根轨迹为： [ − 4 ， − ∞ ) ， [ − 2 ， − 3 ] ， [ − 1 ， + ∞ ) [-4，-\infty)，[-2，-3]，[-1，+\infty) [−4，−∞)，[−2，−3]，[−1，+∞)；
根轨迹的渐近线
σ a = − 1 − 2 − 3 − 4 4 = − 2.5 ， φ a = ± π 2 \sigma_a=\frac{-1-2-3-4}{4}=-2.5，\varphi_a=±\frac{\pi}{2} σa=4−1−2−3−4=−2.5，φa=±2π
根轨迹

Example 4.32

证明对于多项式方程： s 3 + 6 s 2 + 8 s + K = 0 s^3+6s^2+8s+K=0 s3+6s2+8s+K=0，其根轨迹的复数部分为双曲线，并确定双曲线的顶点.

解：

将多项式方程作等效变化，等效开环传递函数为：
G ( s ) = K s 3 + 6 s 2 + 8 s G(s)=\frac{K}{s^3+6s^2+8s} G(s)=s3+6s2+8sK
设特征根为： s = σ + j ω s=\sigma+{\rm j}\omega s=σ+jω，则
G ( σ + j ω ) = K ( σ + j ω ) 3 + 6 ( σ + j ω ) 2 + 8 ( σ + j ω ) = K ( σ 3 − 3 σ ω 2 + 6 σ 2 − 6 ω 2 + 8 σ ) − j ( ω 3 − 3 σ 2 ω − 12 σ ω − 8 ω ) = K [ ( σ 3 − 3 σ ω 2 + 6 σ 2 − 6 ω 2 + 8 σ ) + j ( ω 3 − 3 σ 2 ω − 12 σ ω − 8 ω ) ] ( σ 3 − 3 σ ω 2 + 6 σ 2 − 6 ω 2 + 8 σ ) 2 + ( ω 3 − 3 σ 2 ω − 12 σ ω − 8 ω ) 2 \begin{aligned} G(\sigma+{\rm j}\omega)&=\frac{K}{(\sigma+{\rm j}\omega)^3+6(\sigma+{\rm j}\omega)^2+8(\sigma+{\rm j}\omega)}\\\\ &=\frac{K}{(\sigma^3-3\sigma\omega^2+6\sigma^2-6\omega^2+8\sigma)-{\rm j}(\omega^3-3\sigma^2\omega-12\sigma\omega-8\omega)}\\\\ &=\frac{K[(\sigma^3-3\sigma\omega^2+6\sigma^2-6\omega^2+8\sigma)+{\rm j}(\omega^3-3\sigma^2\omega-12\sigma\omega-8\omega)]}{(\sigma^3-3\sigma\omega^2+6\sigma^2-6\omega^2+8\sigma)^2+(\omega^3-3\sigma^2\omega-12\sigma\omega-8\omega)^2} \end{aligned} G(σ+jω)=(σ+jω)3+6(σ+jω)2+8(σ+jω)K=(σ3−3σω2+6σ2−6ω2+8σ)−j(ω3−3σ2ω−12σω−8ω)K=(σ3−3σω2+6σ2−6ω2+8σ)2+(ω3−3σ2ω−12σω−8ω)2K[(σ3−3σω2+6σ2−6ω2+8σ)+j(ω3−3σ2ω−12σω−8ω)]
由根轨迹方程由
I m [ G ( σ + j ω ) ] = 0 ⇒ ω 3 − 3 σ 2 ω − 12 σ ω − 8 ω = 0 ⇒ 3 ( σ + 2 ) 2 − ω 2 = 4 {\rm Im}[G(\sigma+{\rm j}\omega)]=0\Rightarrow\omega^3-3\sigma^2\omega-12\sigma\omega-8\omega=0\Rightarrow3(\sigma+2)^2-\omega^2=4 Im[G(σ+jω)]=0⇒ω3−3σ2ω−12σω−8ω=0⇒3(σ+2)2−ω2=4
证得根轨迹的复数部分为双曲线.

当 ω = 0 \omega=0 ω=0时，
σ = ± 4 / 3 − 2 = − 0.845 或 − 3.155 ( 舍去 ) \sigma=±\sqrt{4/3}-2=-0.845或-3.155(舍去) σ=±4/3 −2=−0.845或−3.155(舍去)
由等效开环传递函数可得，系统开环极点：
p 1 = 0 ， p 2 = − 2 ， p 3 = − 4 p_1=0，p_2=-2，p_3=-4 p1=0，p2=−2，p3=−4
故实轴上的根轨迹为： ( − ∞ ， − 4 ] ， [ − 2 ， 0 ] (-\infty，-4]，[-2，0] (−∞，−4]，[−2，0]；

则双曲线的顶点坐标为： ( − 0.845 ， j 0 ) (-0.845，{\rm j}0) (−0.845，j0).

【根轨迹】

Example 4.33

已知控制系统： G ( s ) = K ( s − 1 ) s 2 + 4 s + 4 ， H ( s ) = 5 s + 5 G(s)=\displaystyle\frac{K(s-1)}{s^2+4s+4}，H(s)=\displaystyle\frac{5}{s+5} G(s)=s2+4s+4K(s−1)，H(s)=s+55.

要求：

绘制 K K K从 0 → + ∞ 0\to+\infty 0→+∞时系统的根轨迹图，并确定使系统闭环稳定的 K K K值范围；
若已知系统闭环极点 s 1 = − 1 s_1=-1 s1=−1，确定系统的闭环传递函数；

解：

绘制 K K K从 0 → + ∞ 0\to+\infty 0→+∞时系统的根轨迹图，并确定使系统闭环稳定的 K K K值范围；

由题意可得，系统开环传递函数为：
G ( s ) H ( s ) = K ( s − 1 ) s 2 + 4 s + 4 ⋅ 5 s + 5 = K ∗ ( s − 1 ) ( s + 2 ) 2 ( s + 5 ) G(s)H(s)=\frac{K(s-1)}{s^2+4s+4}·\frac{5}{s+5}=\frac{K^*(s-1)}{(s+2)^2(s+5)} G(s)H(s)=s2+4s+4K(s−1)⋅s+55=(s+2)2(s+5)K∗(s−1)
其中： K ∗ = 5 K K^*=5K K∗=5K；
1. 实轴上的根轨迹： [ − 5 ， − 2 ] ， [ − 2 ， 1 ] [-5，-2]，[-2，1] [−5，−2]，[−2，1]；
2. 根轨迹的渐近线
  σ a = − 2 − 2 − 5 − 1 2 = − 5 ， φ a = ± π 2 \sigma_a=\frac{-2-2-5-1}{2}=-5，\varphi_a=±\frac{\pi}{2} σa=2−2−2−5−1=−5，φa=±2π
3. 根轨迹的分离点：根轨迹分离点坐标满足
  2 d + 2 + 1 d + 5 = 1 d − 1 \frac{2}{d+2}+\frac{1}{d+5}=\frac{1}{d-1} d+22+d+51=d−11
  解得：
  d 1 = − 3.85 ， d 2 = 2.85 ( 舍去 ) d_1=-3.85，d_2=2.85(舍去) d1=−3.85，d2=2.85(舍去)
  故分离点坐标为： d = − 3.85 d=-3.85 d=−3.85；
4. 概略根轨迹
5. K K K值范围
  
  由系统开环传递函数可知系统的闭环特征方程：
  D ( s ) = ( s + 5 ) ( s 2 + 4 s + 4 ) + K ∗ ( s − 1 ) = s 3 + 9 s 2 + ( 24 + K ∗ ) s + ( 20 − K ∗ ) = 0 D(s)=(s+5)(s^2+4s+4)+K^*(s-1)=s^3+9s^2+(24+K^*)s+(20-K^*)=0 D(s)=(s+5)(s2+4s+4)+K∗(s−1)=s3+9s2+(24+K∗)s+(20−K∗)=0
  根轨迹与原点的交点：
  
  令 s = 0 s=0 s=0代入特征方程：
  K ∗ = 5 K = 20 K^*=5K=20 K∗=5K=20
  故当 0 < K < 4 0<K<4 0<K<4时，系统闭环稳定.
若已知系统闭环极点 s 1 = − 1 s_1=-1 s1=−1，确定系统的闭环传递函数；

已知系统闭环极点： s 1 = − 1 s_1=-1 s1=−1，根据根轨迹幅值条件可得 s 1 s_1 s1处幅值为：
K ∗ = ∣ s 1 − p 1 ∣ ∣ s 1 − p 2 ∣ ∣ s 1 − p 3 ∣ ∣ s 1 − z 1 ∣ = 2 K^*=\frac{|s_1-p_1||s_1-p_2||s_1-p_3|}{|s_1-z_1|}=2 K∗=∣s1−z1∣∣s1−p1∣∣s1−p2∣∣s1−p3∣=2
此时 K = 0.4 K=0.4 K=0.4，则系统的闭环传递函数为：
Φ ( s ) = G ( s ) 1 + G ( s ) H ( s ) = 0.4 ( s − 1 ) ( s + 5 ) ( s + 2 ) 2 ( s + 5 ) + 2 ( s − 1 ) \Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}=\frac{0.4(s-1)(s+5)}{(s+2)^2(s+5)+2(s-1)} Φ(s)=1+G(s)H(s)G(s)=(s+2)2(s+5)+2(s−1)0.4(s−1)(s+5)

Example 4.34

已知单位反馈系统的开环传递函数为： G ( s ) = K ( 0.5 s − 1 ) 2 ( 0.5 s + 1 ) ( 2 s − 1 ) G(s)=\displaystyle\frac{K(0.5s-1)^2}{(0.5s+1)(2s-1)} G(s)=(0.5s+1)(2s−1)K(0.5s−1)2.

要求：

K K K从 0 → + ∞ 0\to+\infty 0→+∞时，概略绘制系统的闭环根轨迹图；
确定保证系统稳定的 K K K值范围；
求取系统在单位阶跃输入作用下稳态误差可能达到的最小绝对值 ∣ e s s ( ∞ ) ∣ min ⁡ |e_{ss}(\infty)|_{\min} ∣ess(∞)∣min.

解：

K K K从 0 → + ∞ 0\to+\infty 0→+∞时，概略绘制系统的闭环根轨迹图；

由题可知，系统开环传递函数为：
G ( s ) = K ( 0.5 s − 1 ) 2 ( 0.5 s + 1 ) ( 2 s − 1 ) = K ∗ ( s − 2 ) 2 ( s + 2 ) ( s − 0.5 ) G(s)=\displaystyle\frac{K(0.5s-1)^2}{(0.5s+1)(2s-1)}=\frac{K^*(s-2)^2}{(s+2)(s-0.5)} G(s)=(0.5s+1)(2s−1)K(0.5s−1)2=(s+2)(s−0.5)K∗(s−2)2
1. 实轴上的根轨迹： [ − 2 ， 0.5 ] [-2，0.5] [−2，0.5]；
2. 根轨迹分离点：根轨迹分离点满足
  1 d + 2 + 1 d − 0.5 = 2 d − 2 \frac{1}{d+2}+\frac{1}{d-0.5}=\frac{2}{d-2} d+21+d−0.51=d−22
  解得分离点坐标为： d = − 0.182 d=-0.182 d=−0.182；
3. 根轨迹与虚轴交点
  
  由系统开环传递函数可得系统闭环特征方程：
  D ( s ) = ( s + 2 ) ( s − 0.5 ) + K ∗ ( s − 2 ) 2 = ( 1 + K ∗ ) s 2 + ( 1.5 − 4 K ∗ ) s + ( 4 K ∗ − 1 ) = 0 \begin{aligned} D(s)&=(s+2)(s-0.5)+K^*(s-2)^2=(1+K^*)s^2+(1.5-4K^*)s+(4K^*-1)=0 \end{aligned} D(s)=(s+2)(s−0.5)+K∗(s−2)2=(1+K∗)s2+(1.5−4K∗)s+(4K∗−1)=0
  令 s = j ω s={\rm j}\omega s=jω，将其代入特征方程，可得：
  ( 1 + K ∗ ) ( j ω ) 2 + ( 1.5 − 4 K ∗ ) ( j ω ) + ( 4 K ∗ − 1 ) = 0 (1+K^*)({\rm j}\omega)^2+(1.5-4K^*)({\rm j}\omega)+(4K^*-1)=0 (1+K∗)(jω)2+(1.5−4K∗)(jω)+(4K∗−1)=0
  即
  { − ( 1 + K ∗ ) ω 2 + ( 4 K ∗ − 1 ) = 0 ( 1.5 − 4 K ∗ ) ω = 0 ⇒ { ω = ± 0.603 ， K ∗ = 0.375 ω = 0 ， K ∗ = 0.25 \begin{cases} &-(1+K^*)\omega^2+(4K^*-1)=0\\\\ &(1.5-4K^*)\omega=0 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} &\omega=±0.603，K^*=0.375\\\\ &\omega=0，K^*=0.25 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧−(1+K∗)ω2+(4K∗−1)=0(1.5−4K∗)ω=0⇒⎩ ⎨ ⎧ω=±0.603，K∗=0.375ω=0，K∗=0.25
4. 根轨迹
确定保证系统稳定的 K K K值范围；

由根轨迹与虚轴的交点可知：当 0.25 < K ∗ < 0.375 0.25<K^*<0.375 0.25<K∗<0.375时系统稳定，因 K ∗ = 0.25 K K^*=0.25K K∗=0.25K.

故当 1 < K < 1.5 1<K<1.5 1<K<1.5时，系统稳定.
求取系统在单位阶跃输入作用下稳态误差可能达到的最小绝对值 ∣ e s s ( ∞ ) ∣ min ⁡ |e_{ss}(\infty)|_{\min} ∣ess(∞)∣min.

根据系统的开环传递函数可知，该系统为 0 0 0型系统.

在单位阶跃输入下， K p = − K K_p=-K Kp=−K，此时：
∣ e s s ( ∞ ) ∣ = 1 1 + K p = ∣ 1 1 − K ∣ ⇒ ∣ e s s ( ∞ ) ∣ min ⁡ = 2 ， K = 1.5 |e_{ss}(\infty)|=\frac{1}{1+K_p}=\left|\frac{1}{1-K}\right|\Rightarrow|e_{ss}(\infty)|_{\min}=2，K=1.5 ∣ess(∞)∣=1+Kp1=∣ ∣1−K1∣ ∣⇒∣ess(∞)∣min=2，K=1.5
故系统在单位阶跃输入作用下，稳态误差可能达到的最小绝对值 ∣ e s s ( ∞ ) ∣ min ⁡ = 2 |e_{ss}(\infty)|_{\min}=2 ∣ess(∞)∣min=2.

Example 4.35

已知系统开环传递函数： G ( s ) H ( s ) = K ∗ ( s + 1 ) ( s + 4 ) ( s + 5 ) ( s − 0.1 ) G(s)H(s)=\displaystyle\frac{K^*}{(s+1)(s+4)(s+5)(s-0.1)} G(s)H(s)=(s+1)(s+4)(s+5)(s−0.1)K∗，若要求系统的闭环极点都为负实数，确定 K ∗ K^* K∗的范围.

解：

系统的开环传递函数为：
G ( s ) H ( s ) = K ∗ ( s + 1 ) ( s + 4 ) ( s + 5 ) ( s − 0.1 ) G(s)H(s)=\displaystyle\frac{K^*}{(s+1)(s+4)(s+5)(s-0.1)} G(s)H(s)=(s+1)(s+4)(s+5)(s−0.1)K∗

根轨迹的分支、起点和终点：由于 n = 4 ， m = 0 ， n − m = 4 n=4，m=0，n-m=4 n=4，m=0，n−m=4，故根轨迹有四条分支，其起点分别为： p 1 = − 1 ， p 2 = − 4 ， p 3 = − 5 ， p 4 = 0.1 p_1=-1，p_2=-4，p_3=-5，p_4=0.1 p1=−1，p2=−4，p3=−5，p4=0.1，其终点为无穷远处.
实轴上的根轨迹： [ − 5 ， − 4 ] ， [ − 1 ， 0.1 ] [-5，-4]，[-1，0.1] [−5，−4]，[−1，0.1]；
根轨迹的渐近线
σ a = − 1 − 4 − 5 + 0.1 4 = − 2.475 ， φ a = ± π 4 ， ± 3 π 4 \sigma_a=\frac{-1-4-5+0.1}{4}=-2.475，\varphi_a=±\frac{\pi}{4}，±\frac{3\pi}{4} σa=4−1−4−5+0.1=−2.475，φa=±4π，±43π
根轨迹的分离点：根轨迹分离点坐标满足
1 d + 1 + 1 d + 4 + 1 d + 5 + 1 d − 0.1 = 0 \frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+4}+\frac{1}{d+5}+\frac{1}{d-0.1}=0 d+11+d+41+d+51+d−0.11=0
解得：
d 1 = − 4.56 ， d 2 = − 2.49 ( 舍去 ) ， d 3 = − 0.377 d_1=-4.56，d_2=-2.49(舍去)，d_3=-0.377 d1=−4.56，d2=−2.49(舍去)，d3=−0.377
故分离点坐标为： d 1 = − 4.56 ， d 2 = − 0.377 d_1=-4.56，d_2=-0.377 d1=−4.56，d2=−0.377；
概略根轨迹
分离点处 K ∗ K^* K∗的值

由根轨迹幅值条件可得：

当闭环根位于分离点 d = − 4.56 d=-4.56 d=−4.56处， K ∗ = 4.09 K^*=4.09 K∗=4.09；

当闭环根位于分离点 d = − 0.377 d=-0.377 d=−0.377处， K ∗ = 4.98 K^*=4.98 K∗=4.98；

当闭环根位于原点处， K ∗ = 2 K^*=2 K∗=2；

若要求系统的闭环极点都为负实数， K ∗ K^* K∗的范围为： 2 < K ∗ ≤ 4.09 2<K^*≤4.09 2<K∗≤4.09；