Chapter4.4：综合实例

该系列博客主要讲述Matlab软件在自动控制方面的应用，如无自动控制理论基础，请先学习自动控制系列博文，该系列博客不再详细讲解自动控制理论知识。
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博客参考书籍：《MATLAB/Simulink与控制系统仿真》。

4.综合实例

4.1 综合实例1

实验要求：给定 R L C {\rm RLC} RLC网络，如下图所示，其中， u i ( t ) u_i(t) ui(t)为输入量， u o ( t ) u_o(t) uo(t)为输出量。求解此系统的传递函数模型、零极点增益模型、状态空间模型(假设 R 1 = 1 Ω ， R 2 = 1 Ω ， C = 1 F ， L = 1 H {\rm R_1=1\Omega，R_2=1\Omega，C=1F，L=1H} R1=1Ω，R2=1Ω，C=1F，L=1H)。

解：

【STEP1】：求解系统的传递函数。

根据电路的基本定理，结合 R L C {\rm RLC} RLC网络示意图，列出该电路的微分方程，如下：
R 1 i 1 + L d i 3 d t + u o = u i i 1 = i 2 + i 3 ， u o = i 3 R 2 ， i 2 = C d d t ( L d i 3 d t + u o ) \begin{aligned} &R_1i_1+L\displaystyle\frac{{\rm d}i_3}{{\rm d}t}+u_o=u_i\\\\ &i_1=i_2+i_3，u_o=i_3R_2，i_2=C\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left(L\displaystyle\frac{{\rm d}i_3}{{\rm d}t}+u_o\right) \end{aligned} R1i1+Ldtdi3+uo=uii1=i2+i3，uo=i3R2，i2=Cdtd(Ldtdi3+uo)
整理并化简上述方程，可得：
R 1 C L R 2 d 2 u o d t 2 + ( L R 2 + R 1 C ) d u o d t + ( 1 + R 1 R 2 ) u o = u i \frac{R_1CL}{R_2}\frac{{\rm d^2}u_o}{{\rm d}t^2}+\left(\displaystyle\frac{L}{R_2}+R_1C\right)\displaystyle\frac{{\rm d}u_o}{{\rm d}t}+\left(1+\displaystyle\frac{R_1}{R_2}\right)u_o=u_i R2R1CLdt2d2uo+(R2L+R1C)dtduo+(1+R2R1)uo=ui
在零初始条件下，对上式取拉普拉斯变换，整理可得：
G ( s ) = U o ( s ) U i ( s ) = 1 ( R 1 C s + 1 ) ( L R 2 s + 1 ) + R 1 R 2 G(s)=\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=\frac{1}{(R_1Cs+1)\left(\displaystyle\frac{L}{R_2}s+1\right)+\displaystyle\frac{R_1}{R_2}} G(s)=Ui(s)Uo(s)=(R1Cs+1)(R2Ls+1)+R2R11
代入具体数值 R 1 = 1 Ω ， R 2 = 1 Ω ， C = 1 F ， L = 1 H R_1=1\Omega，R_2=1\Omega，C=1{\rm F}，L=1{\rm H} R1=1Ω，R2=1Ω，C=1F，L=1H，可得系统传递函数模型，有：
G ( s ) = 1 s 2 + 2 s + 2 G(s)=\frac{1}{s^2+2s+2} G(s)=s2+2s+21
【STEP2】：使用 M A T L A B {\rm MATLAB} MATLAB建立系统模型。

% 实例Chapter4.4 综合实例
clc;clear;% 传递函数分子、分母多项式系数行向量
num=[0,1];den=[1,2,2];% 建立传递函数模型
sys_tf=tf(num,den);% 从传递函数模型获取系统的零极点增益
[z,p,k]=tf2zp(num,den);% 建立系统的零极点增益模型
sys_zpk=zpk(z,p,k);% 从零极点增益模型获取系统的状态空间模型
[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k);% 建立系统的状态空间模型
sys_ss=ss(A,B,C,D);% 显示模型
sys_tf,sys_zpk,sys_ss

% 结果显示：
% 传递函数模型
sys_tf = 1-------------s^2 + 2 s + 2
Continuous-time transfer function.% 零极点模型
sys_zpk = 1--------------(s^2 + 2s + 2)
Continuous-time zero/pole/gain model.% 状态空间模型
sys_ss = A = x1      x2x1      -2  -1.414x2   1.414       0B = u1x1   1x2   0C = x1      x2y1       0  0.7071D = u1y1   0
Continuous-time state-space model.

【STEP3】：求阶跃响应。

% 求阶跃响应
step(sys_tf);
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);% 添加栅格
grid on;

4.2 综合实例2

实验要求：已知某双环调速的电流环系统的结构如下图所示，采用 S I M U L I N K {\rm SIMULINK} SIMULINK动态结构图求该系统线性模型。

解：

【STEP1】：建立 S I M U L I N K {\rm SIMULINK} SIMULINK动态结构图。

# 1.把所需模块拖曳到模型窗口；
# 2.线连接起来，保存为"Experiment4_4_2.mdl"文件；

【STEP2】：求取系统的线性状态空间模型。

% matlab命令行窗口下运行如下命令，得到一个线性状态空间模型
[A,B,C,D]=linmod('Experiment4_4_2')

% 结果显示：
A =1.0e+03 *-0.0781         0         0    1.7964         00   -0.5000         0         0         00.0141         0   -0.5000         0         00    0.1600   -0.1600   -0.0599    0.02500    0.5000   -0.5000         0         0B =01000C =195.3125         0         0         0         0D =0

【STEP3】：求系统的传递函数模型。

% 命令行窗口下
>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);
>> printsys(num,den,'s');% 结果显示：
num/den =  56137724.5509 s^2 + 32454622005.988 s + 2192879865269.461-----------------------------------------------------------------------------s^5 + 1138.0052 s^4 + 392683.3832 s^3 + 43221369.7605 s^2 + 3506268712.5748 s+ 157887350299.401