Chapter4.3：根轨迹法

此系列属于胡寿松《自动控制原理题海与考研指导》(第三版)习题精选，仅包含部分经典习题，需要完整版习题答案请自行查找，本系列属于知识点巩固部分，搭配如下几个系列进行学习，可用于期末考试和考研复习。
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第四章：根轨迹法

Example 4.21

设系统结构图如下图所示，概略绘制 K K K从 0 → + ∞ 0\to+\infty 0→+∞时系统的闭环根轨迹图，并确定系统稳定时 K K K值的范围.

解：

系统开环传递函数为：
G ( s ) H ( s ) = K ( s + 1 ) ( − s + 1 ) ( s 2 + 6 s + 1 ) G(s)H(s)=\frac{K(s+1)}{(-s+1)(s^2+6s+1)} G(s)H(s)=(−s+1)(s2+6s+1)K(s+1)
由于系统的反馈极性为正，概略绘制 K K K从 0 → + ∞ 0\to+\infty 0→+∞时系统的闭环根轨迹图，相当于绘制下列系统的常规根轨迹图：
G ( s ) H ( s ) = K ( s + 1 ) ( s − 1 ) ( s 2 + 6 s + 1 ) = K ∗ ( s + 1 ) ( s − 1 ) ( s + 0.17 ) ( s + 5.83 ) ， K ∗ = K G(s)H(s)=\frac{K(s+1)}{(s-1)(s^2+6s+1)}=\frac{K^*(s+1)}{(s-1)(s+0.17)(s+5.83)}，K^*=K G(s)H(s)=(s−1)(s2+6s+1)K(s+1)=(s−1)(s+0.17)(s+5.83)K∗(s+1)，K∗=K

实轴上的根轨迹： [ − 5.83 ， − 1 ] ， [ − 0.17 ， 1 ] [-5.83，-1]，[-0.17，1] [−5.83，−1]，[−0.17，1]；
根轨迹的渐近线
σ a = − 5.83 − 0.17 + 1 + 1 2 = − 2 ， φ a = ± π 2 \sigma_a=\frac{-5.83-0.17+1+1}{2}=-2，\varphi_a=±\frac{\pi}{2} σa=2−5.83−0.17+1+1=−2，φa=±2π
根轨迹的分离点坐标满足
1 d + 5.83 + 1 d + 0.17 + 1 d − 1 = 1 d + 1 \frac{1}{d+5.83}+\frac{1}{d+0.17}+\frac{1}{d-1}=\frac{1}{d+1} d+5.831+d+0.171+d−11=d+11
解得： d = 0.315 d=0.315 d=0.315；
根轨迹与虚轴的交点

由系统的开环传递函数可知，系统的闭环特征方程为：
D ( s ) = ( s − 1 ) ( s 2 + 6 s + 1 ) + K ( s + 1 s ) = s 3 + 5 s 2 + ( K − 5 ) s + K − 1 = 0 D(s)=(s-1)(s^2+6s+1)+K(s+1s)=s^3+5s^2+(K-5)s+K-1=0 D(s)=(s−1)(s2+6s+1)+K(s+1s)=s3+5s2+(K−5)s+K−1=0
令 s = j ω s={\rm j}\omega s=jω代入特征方程：
( j ω ) 3 + 5 ( j ω ) 2 + ( K − 5 ) ( j ω ) + K − 1 = 0 ({\rm j}\omega)^3+5({\rm j}\omega)^2+(K-5)({\rm j}\omega)+K-1=0 (jω)3+5(jω)2+(K−5)(jω)+K−1=0
即
{ − 5 ω 2 + K − 1 = 0 − ω 3 + ( K − 5 ) ω = 0 ⇒ ω = ± 1 ， K = 6 \begin{cases} &-5\omega^2+K-1=0\\\\ &-\omega^3+(K-5)\omega=0 \end{cases}\Rightarrow{\omega=±1，K=6} ⎩ ⎨ ⎧−5ω2+K−1=0−ω3+(K−5)ω=0⇒ω=±1，K=6
概略根轨迹
由根轨迹图可知，当 K > 6 K>6 K>6时，系统稳定.

Example 4.22

设系统如下图所示，根据根轨迹确定闭环系统稳定时增益 K 1 K_1 K1和 K 2 K_2 K2的区域 ( K 1 ≥ 0 ， K 2 ≥ 0 ) (K_1≥0，K_2≥0) (K1≥0，K2≥0).

解：

开环传递函数为：
G ( s ) H ( s ) = K 2 s + K 1 + K 2 s ( s + 1 ) ( s + 3 ) = K ∗ ( s + ( K 1 + K 2 ) / K 2 ) s ( s + 1 ) ( s + 3 ) G(s)H(s)=\frac{K_2s+K_1+K_2}{s(s+1)(s+3)}=\frac{K^*(s+(K_1+K_2)/K_2)}{s(s+1)(s+3)} G(s)H(s)=s(s+1)(s+3)K2s+K1+K2=s(s+1)(s+3)K∗(s+(K1+K2)/K2)
其中： K ∗ = K 2 K^*=K_2 K∗=K2.

实轴上的根轨迹： [ 0 , − 1 ] ， [ − 3 ， − ( K 1 + K 2 ) / K 2 ] [0,-1]，[-3，-(K_1+K_2)/K_2] [0,−1]，[−3，−(K1+K2)/K2]；

因为 K 1 ≥ 0 ， K 2 ≥ 0 K_1≥0，K_2≥0 K1≥0，K2≥0，故 − ( K 1 + K 2 ) / K 2 < − 1 -(K_1+K_2)/K_2<-1 −(K1+K2)/K2<−1，分两种情况讨论：

− 3 < − ( K 1 + K 2 ) / K 2 < − 1 -3<-(K_1+K_2)/K_2<-1 −3<−(K1+K2)/K2<−1时取 K 1 = K 2 K_1=K_2 K1=K2，即 − ( K 1 + K 2 ) / K 2 = − 2 -(K_1+K_2)/K_2=-2 −(K1+K2)/K2=−2.
1. 根轨迹的渐近线
  σ a = 0 − 1 − 3 + 2 2 = − 1 ， φ a = ± π 2 \sigma_a=\frac{0-1-3+2}{2}=-1，\varphi_a=±\frac{\pi}{2} σa=20−1−3+2=−1，φa=±2π
2. 根轨迹的分离点
  1 d + 1 d + 1 + 1 d + 3 = 1 d + 2 \frac{1}{d}+\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+3}=\frac{1}{d+2} d1+d+11+d+31=d+21
  解得：
  d 1 = − 0.53 ， d 2 , 3 = − 2.23 ± j 0.79 ( 舍去 ) d_1=-0.53，d_{2,3}=-2.23±{\rm j}0.79(舍去) d1=−0.53，d2,3=−2.23±j0.79(舍去)
  故分离点坐标为： d = − 0.53 d=-0.53 d=−0.53；
3. 根轨迹如下图1所示
− ( K 1 + K 2 ) / K 2 ≤ − 3 -(K_1+K_2)/K_2≤-3 −(K1+K2)/K2≤−3时取 K 1 = 3 K 2 K_1=3K_2 K1=3K2，即 − ( K 1 + K 2 ) / K 2 = − 4 -(K_1+K_2)/K_2=-4 −(K1+K2)/K2=−4.
1. 根轨迹的渐近线
  σ a = 0 − 1 − 3 + 4 2 = 0 ， φ a = ± π 2 \sigma_a=\frac{0-1-3+4}{2}=0，\varphi_a=±\frac{\pi}{2} σa=20−1−3+4=0，φa=±2π
2. 根轨迹的分离点
  1 d + 1 d + 1 + 1 d + 3 = 1 d + 4 \frac{1}{d}+\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+3}=\frac{1}{d+4} d1+d+11+d+31=d+41
  解得：
  d 1 = − 0.49 ， d 2 = − 2.43 ( 舍去 ) ， d 3 = − 5.09 ( 舍去 ) d_1=-0.49，d_2=-2.43(舍去)，d_3=-5.09(舍去) d1=−0.49，d2=−2.43(舍去)，d3=−5.09(舍去)
  故分离点坐标为： d = − 0.49 d=-0.49 d=−0.49；
3. 根轨迹如下图2所示
【根轨迹】

由根轨迹图可知， K 1 ≥ 0 ， K 2 ≥ 0 K_1≥0，K_2≥0 K1≥0，K2≥0时，系统稳定.

Example 4.23

设系统开环传递函数为： G ( s ) = 100 s ( s + 10 + 100 b ) G(s)=\displaystyle\frac{100}{s(s+10+100b)} G(s)=s(s+10+100b)100，绘制参数 b b b从零变化到无穷时的根轨迹.

解：

系统的闭环特征方程为：
D ( s ) = s ( s + 10 + 100 b ) + 100 = s 2 + 10 s + 100 + 100 b s = 0 D(s)=s(s+10+100b)+100=s^2+10s+100+100bs=0 D(s)=s(s+10+100b)+100=s2+10s+100+100bs=0
等价表示为：
1 + G 1 ( s ) = 1 + 100 b s s 2 + 10 s + 100 = 1 + 100 b s ( s + 5 − j 8.66 ) ( s + 5 + j 8.66 ) 1+G_1(s)=1+\frac{100bs}{s^2+10s+100}=1+\frac{100bs}{(s+5-{\rm j}8.66)(s+5+{\rm j}8.66)} 1+G1(s)=1+s2+10s+100100bs=1+(s+5−j8.66)(s+5+j8.66)100bs
即等效开环传递函数为：
G 1 ( s ) = 100 b s ( s + 5 − j 8.66 ) ( s + 5 + j 8.66 ) G_1(s)=\frac{100bs}{(s+5-{\rm j}8.66)(s+5+{\rm j}8.66)} G1(s)=(s+5−j8.66)(s+5+j8.66)100bs

实轴上的根轨迹： ( − ∞ ， 0 ] (-\infty，0] (−∞，0]；
根轨迹分离点：根轨迹分离点满足
1 d + 5 + j 8.66 + 1 d + 5 − j 8.66 = 1 d \frac{1}{d+5+{\rm j}8.66}+\frac{1}{d+5-{\rm j}8.66}=\frac{1}{d} d+5+j8.661+d+5−j8.661=d1
解得：
d 1 = − 10 ， d 2 = 10 ( 舍去 ) d_1=-10，d_2=10(舍去) d1=−10，d2=10(舍去)
故分离点坐标为： d 1 = − 10 d_1=-10 d1=−10.
根轨迹起始角
θ p 1 = 180 ° + φ z 1 p 1 − θ p 2 p 1 = 180 ° + arctan ⁡ ( 8.66 / 5 ) − 90 ° = 150 ° θ p 2 = − 150 ° \begin{aligned} &\theta_{p_1}=180°+\varphi_{z_1p_1}-\theta_{p_2p_1}=180°+\arctan(8.66/5)-90°=150°\\\\ &\theta_{p_2}=-150° \end{aligned} θp1=180°+φz1p1−θp2p1=180°+arctan(8.66/5)−90°=150°θp2=−150°
根轨迹

其复数根轨迹部分是以 ( 0 ， 0 ) (0，0) (0，0)为圆心，半径为 10 10 10的圆的一部分.

分离点 d = − 10 d=-10 d=−10处的 b b b值可由模值条件求出：
100 b = ∏ i = 1 2 ∣ d − p i ∣ ∣ d − z i ∣ = 100 10 = 10 ⇒ b = 0.1 100b=\frac{\displaystyle\prod_{i=1}^2|d-p_i|}{|d-z_i|}=\frac{100}{10}=10\Rightarrow{b=0.1} 100b=∣d−zi∣i=1∏2∣d−pi∣=10100=10⇒b=0.1

Example 4.24

已知多项式方程为：
s 3 + 2.1 s 2 + 6.2 s + 4.4 = 0 s^3+2.1s^2+6.2s+4.4=0 s3+2.1s2+6.2s+4.4=0
用根轨迹法确定多项式方程的根.

解：

多项式的等效开环传递函数为：
G ( s ) = K s 3 + 2.1 s 2 + 6.2 s = K s ( s + 1.05 − j 2.26 ) ( s + 1.05 + j 2.26 ) G(s)=\frac{K}{s^3+2.1s^2+6.2s}=\frac{K}{s(s+1.05-{\rm j}2.26)(s+1.05+{\rm j}2.26)} G(s)=s3+2.1s2+6.2sK=s(s+1.05−j2.26)(s+1.05+j2.26)K
其中： K = 4.4 K=4.4 K=4.4。

系统开环极点为：
p 1 = 0 ， p 2 = − 1.05 + j 2.26 ， p 3 = − 1.05 − j 2.26 p_1=0，p_2=-1.05+{\rm j}2.26，p_3=-1.05-{\rm j}2.26 p1=0，p2=−1.05+j2.26，p3=−1.05−j2.26
设闭环根为 s s s，根据根轨迹的幅值条件：
K = 4.4 = ∣ s − p 1 ∣ ⋅ ∣ s − p 2 ∣ ⋅ ∣ s − p 3 ∣ K=4.4=|s-p_1|·|s-p_2|·|s-p_3| K=4.4=∣s−p1∣⋅∣s−p2∣⋅∣s−p3∣
解得：
s 1 = − 0.857 ， s 2 = − 0.622 + j 2.18 ， s 3 = − 0.622 − j 2.18 s_1=-0.857，s_2=-0.622+{\rm j}2.18，s_3=-0.622-{\rm j}2.18 s1=−0.857，s2=−0.622+j2.18，s3=−0.622−j2.18

Example 4.25

设系统的特征方程为： s 3 + a s 2 + K s + K = 0 s^3+as^2+Ks+K=0 s3+as2+Ks+K=0， K K K从 0 → + ∞ 0\to+\infty 0→+∞，当 a a a取不同值时，系统的根轨迹不同.分别确定使根轨迹具有一个、两个和没有实数分离点的 a a a值范围，并做出根轨迹图.

解：

由题可得：
D ( s ) = s 3 + a s 2 + K s + K = 0 D(s)=s^3+as^2+Ks+K=0 D(s)=s3+as2+Ks+K=0
则系统的开环传递函数为：
G ( s ) = K ( s + 1 ) s 2 ( s + a ) G(s)=\frac{K(s+1)}{s^2(s+a)} G(s)=s2(s+a)K(s+1)

根轨迹的分支、起点和终点：由于 n = 3 ， m = 1 ， n − m = 2 n=3，m=1，n-m=2 n=3，m=1，n−m=2，故根轨迹有三条分支，其起点分别为： p 1 = 0 ， p 2 = 0 ， p 3 = − a p_1=0，p_2=0，p_3=-a p1=0，p2=0，p3=−a，其终点分别为： z 1 = − 1 z_1=-1 z1=−1和无穷远处.
实轴上的根轨迹： [ − a ， − 1 ] [-a，-1] [−a，−1]；
根轨迹的渐近线
σ a = − a + 1 3 − 1 = 1 − a 2 ， φ a = ± π 2 \sigma_a=\frac{-a+1}{3-1}=\frac{1-a}{2}，\varphi_a=±\frac{\pi}{2} σa=3−1−a+1=21−a，φa=±2π
根轨迹分离点：根轨迹分离点坐标满足
1 d + 1 d + 1 d + a = 1 d + 1 \frac{1}{d}+\frac{1}{d}+\frac{1}{d+a}=\frac{1}{d+1} d1+d1+d+a1=d+11
即
2 d 2 + ( a + 3 ) d + 2 a = 0 2d^2+(a+3)d+2a=0 2d2+(a+3)d+2a=0
解得：
d 1 , 2 = − ( a + 3 ) ± ( a − 1 ) ( a − 9 ) 4 d_{1,2}=\frac{-(a+3)±\sqrt{(a-1)(a-9)}}{4} d1,2=4−(a+3)±(a−1)(a−9)
要使根轨迹具有实数分离点，有：
( a − 1 ) ( a − 9 ) ≥ 0 ⇒ a ≥ 9 或 a ≤ 1 (a-1)(a-9)≥0\Rightarrow{a≥9}或a≤1 (a−1)(a−9)≥0⇒a≥9或a≤1
且
d 1 , 2 = − ( a + 3 ) ± ( a − 1 ) ( a − 9 ) 4 ∈ [ − a , − 1 ] d_{1,2}=\frac{-(a+3)±\sqrt{(a-1)(a-9)}}{4}\in[-a,-1] d1,2=4−(a+3)±(a−1)(a−9) ∈[−a,−1]
分情况讨论：
1. 当 a > 9 a>9 a>9时，计算可得：
  d 1 = − ( a + 3 ) + ( a − 1 ) ( a − 9 ) 4 < − 1 d 2 = − ( a + 3 ) − ( a − 1 ) ( a − 9 ) 4 > − a \begin{aligned} &d_1=\displaystyle\frac{-(a+3)+\sqrt{(a-1)(a-9)}}{4}<-1\\\\ &d_2=\displaystyle\frac{-(a+3)-\sqrt{(a-1)(a-9)}}{4}>-a \end{aligned} d1=4−(a+3)+(a−1)(a−9) <−1d2=4−(a+3)−(a−1)(a−9) >−a
  即 a > 9 a>9 a>9时，系统根轨迹具有两个分离点.
2. 当 a = 9 a=9 a=9时，计算可得：
  d = − 3 d=-3 d=−3
  即 a = 9 a=9 a=9时，系统根轨迹具有一个分离点.
3. 当 1 < a < 9 1<a<9 1<a<9时，系统根轨迹没有实数分离点.
4. 当 a = 1 a=1 a=1时，系统根轨迹没有实数分离点.
5. 当 0 ≤ a < 1 0≤a<1 0≤a<1时，计算可得：
  d 1 , 2 = − ( a + 3 ) ± ( a − 1 ) ( a − 9 ) 4 ∉ [ − 1 , − a ] d_{1,2}=\displaystyle\frac{-(a+3)±\sqrt{(a-1)(a-9)}}{4}\notin[-1,-a] d1,2=4−(a+3)±(a−1)(a−9) ∈/[−1,−a]
  此时系统根轨迹没有实数分离点.
6. 当 a < 0 a<0 a<0时，计算可得：
  d 1 = − ( a + 3 ) + ( a − 1 ) ( a − 9 ) 4 < − 1 ∈ [ − 1 , − a ] d 2 = − ( a + 3 ) − ( a − 1 ) ( a − 9 ) 4 > − a ∉ [ − 1 , − a ] \begin{aligned} &d_1=\displaystyle\frac{-(a+3)+\sqrt{(a-1)(a-9)}}{4}<-1\in[-1,-a]\\\\ &d_2=\displaystyle\frac{-(a+3)-\sqrt{(a-1)(a-9)}}{4}>-a\not\in[-1,-a] \end{aligned} d1=4−(a+3)+(a−1)(a−9) <−1∈[−1,−a]d2=4−(a+3)−(a−1)(a−9) >−a∈[−1,−a]
  此时系统根轨迹有一个实数分离点.
综上情况

当 a > 9 a>9 a>9时，系统根轨迹具有两个实数分离点；当 a = 9 a=9 a=9和 a < 0 a<0 a<0时，系统根轨迹具有一个实数分离点；当 0 ≤ a < 9 0≤a<9 0≤a<9时，系统根轨迹没有实数分离点；
根轨迹图

Example 4.26

某单位反馈系统的开环传递函数为： G ( s ) = K ( s + a ) s 2 ( s + 1 ) G(s)=\displaystyle\frac{K(s+a)}{s^2(s+1)} G(s)=s2(s+1)K(s+a)， K K K从 0 → + ∞ 0\to+\infty 0→+∞，当 a a a取不同值时，系统的根轨迹不同.分别确定使根轨迹具有一个、两个和没有实数分离点的 a a a值范围，并做根轨迹图.

解：

系统开环传递函数为：
G ( s ) = K ( s + a ) s 2 ( s + 1 ) G(s)=\displaystyle\frac{K(s+a)}{s^2(s+1)} G(s)=s2(s+1)K(s+a)

根轨迹的分支、起点和终点：由于 n = 3 ， m = 1 ， n − m = 2 n=3，m=1，n-m=2 n=3，m=1，n−m=2，故根轨迹有三条分支，其起点分别为： p 1 = 0 ， p 2 = 0 ， p 3 = − 1 p_1=0，p_2=0，p_3=-1 p1=0，p2=0，p3=−1，其终点分别为： z 1 = − a z_1=-a z1=−a和无穷远处.
实轴上的根轨迹： [ − a ， − 1 ] [-a，-1] [−a，−1].
根轨迹渐近线
σ a = a − 1 2 ， φ a = ± π 2 \sigma_a=\frac{a-1}{2}，\varphi_a=±\frac{\pi}{2} σa=2a−1，φa=±2π
根轨迹的分离点：根轨迹分离点坐标满足
1 d + 1 d + 1 d + 1 = 1 d + a \frac{1}{d}+\frac{1}{d}+\frac{1}{d+1}=\frac{1}{d+a} d1+d1+d+11=d+a1
即
2 d 2 + ( 3 a + 1 ) d + 2 a = 0 2d^2+(3a+1)d+2a=0 2d2+(3a+1)d+2a=0
解得：
d 1 , 2 = − ( 3 a + 1 ) ± ( a − 1 ) ( 9 a − 1 ) 4 d_{1,2}=\frac{-(3a+1)±\sqrt{(a-1)(9a-1)}}{4} d1,2=4−(3a+1)±(a−1)(9a−1)
要使根轨迹具有实数分离点，有：
( a − 1 ) ( 9 a − 1 ) ≥ 0 ⇒ a ≥ 1 或 a ≤ 1 / 9 (a-1)(9a-1)≥0\Rightarrow{a≥1}或a≤1/9 (a−1)(9a−1)≥0⇒a≥1或a≤1/9
且有：
d 1 , 2 = − ( 3 a + 1 ) ± ( a − 1 ) ( 9 a − 1 ) 4 ∈ [ − a ， − 1 ] d_{1,2}=\frac{-(3a+1)±\sqrt{(a-1)(9a-1)}}{4}\in[-a，-1] d1,2=4−(3a+1)±(a−1)(9a−1) ∈[−a，−1]
分情况讨论：
1. 当 a > 1 a>1 a>1时，经计算可得：
  d 1 , 2 = − ( 3 a + 1 ) ± ( a − 1 ) ( 9 a − 1 ) 4 ∉ [ − a ， − 1 ] d_{1,2}=\frac{-(3a+1)±\sqrt{(a-1)(9a-1)}}{4}\notin[-a，-1] d1,2=4−(3a+1)±(a−1)(9a−1) ∈/[−a，−1]
  即 a > 1 a>1 a>1时，系统根轨迹没有实数分离点.
2. 当 a = 1 a=1 a=1时，系统根轨迹没有实数分离点.
3. 当 1 / 9 < a < 1 1/9<a<1 1/9<a<1时，系统根轨迹没有实数分离点.
4. 当 a = 1 / 9 a=1/9 a=1/9时，经计算可得：
  d = − 1 3 d=-\frac{1}{3} d=−31
  即 a = 1 / 9 a=1/9 a=1/9时，系统根轨迹具有一个分离点.
5. 当 0 < a < 1 / 9 0<a<1/9 0<a<1/9时，经计算可得：
  d 1 , 2 = − ( 3 a + 1 ) ± ( a − 1 ) ( 9 a − 1 ) 4 ∈ [ − a ， − 1 ] d_{1,2}=\frac{-(3a+1)±\sqrt{(a-1)(9a-1)}}{4}\in[-a，-1] d1,2=4−(3a+1)±(a−1)(9a−1) ∈[−a，−1]
  此时系统根轨迹有两个实数分离点.
6. 当 a ≤ 0 a≤0 a≤0时，经计算可得：
  d 1 = − ( 3 a + 1 ) + ( a − 1 ) ( 9 a − 1 ) 4 ∉ [ − 1 ， − a ] d 2 = − ( 3 a + 1 ) − ( a − 1 ) ( 9 a − 1 ) 4 ∈ [ − 1 ， − a ] \begin{aligned} &d_{1}=\frac{-(3a+1)+\sqrt{(a-1)(9a-1)}}{4}\notin[-1，-a]\\\\ &d_{2}=\frac{-(3a+1)-\sqrt{(a-1)(9a-1)}}{4}\in[-1，-a] \end{aligned} d1=4−(3a+1)+(a−1)(9a−1) ∈/[−1，−a]d2=4−(3a+1)−(a−1)(9a−1) ∈[−1，−a]
  此时系统根轨迹具有一个实数分离点.
综上

当 0 < a < 1 / 9 0<a<1/9 0<a<1/9时，系统根轨迹具有两个实数分离点；当 a = 1 / 9 a=1/9 a=1/9和 a ≤ 0 a≤0 a≤0时，系统根轨迹具有一个实数分离点；当 a > 1 / 9 a>1/9 a>1/9时，系统根轨迹没有实数分离点.
概略根轨迹

Example 4.27

设系统如下图所示，概略绘制 K K K从 − ∞ → + ∞ -\infty\to+\infty −∞→+∞时系统的根轨迹.

解：

由图可得，系统开环传递函数为：
G ( s ) = K ( s + 1 ) s 2 ( s + 2 ) + K 2 ( s + 1 ) G(s)=\frac{K(s+1)}{s^2(s+2)+K^2(s+1)} G(s)=s2(s+2)+K2(s+1)K(s+1)
则系统的特征方程为：
D ( s ) = s 2 ( s + 2 ) + K 2 ( s + 1 ) + K ( s + 1 ) = 0 D(s)=s^2(s+2)+K^2(s+1)+K(s+1)=0 D(s)=s2(s+2)+K2(s+1)+K(s+1)=0
等效开环传递函数：
G 1 ( s ) = K ∗ ( s + 1 ) s 2 ( s + 2 ) G_1(s)=\frac{K^*(s+1)}{s^2(s+2)} G1(s)=s2(s+2)K∗(s+1)
其中： K ∗ = K + K 2 K^*=K+K^2 K∗=K+K2.

当 K K K从 0 → + ∞ 0\to+\infty 0→+∞或 − ∞ → − 1 -\infty\to-1 −∞→−1时， K ∗ K^* K∗从 0 → + ∞ 0\to+\infty 0→+∞；

当 K K K从 0 → − 1 / 2 0\to-1/2 0→−1/2或 − 1 → − 1 / 2 -1\to-1/2 −1→−1/2时， K ∗ K^* K∗从 0 → − 1 / 4 0\to-1/4 0→−1/4；

故要概略绘制 K K K从 − ∞ → + ∞ -\infty\to+\infty −∞→+∞时系统的根轨迹图，即概略绘制 K ∗ K^* K∗从 − 1 / 4 → + ∞ -1/4\to+\infty −1/4→+∞时等效系统的根轨迹图.

【 K ∗ K^* K∗从 0 → + ∞ 0\to+\infty 0→+∞】

根轨迹分支、起点和终点：由于 n = 3 ， m = 1 ， n − m = 2 n=3，m=1，n-m=2 n=3，m=1，n−m=2，故根轨迹有三条分支，其起点分别为： p 1 = 0 ， p 2 = 0 ， p 3 = − 2 p_1=0，p_2=0，p_3=-2 p1=0，p2=0，p3=−2，其终点分别为： z 1 = − 1 z_1=-1 z1=−1和无穷远处.
实轴上的根轨迹： [ − 2 ， − 1 ] [-2，-1] [−2，−1]；
根轨迹的渐近线
σ a = − 2 + 1 2 = − 0.5 ， φ a = ± π 2 \sigma_a=\frac{-2+1}{2}=-0.5，\varphi_a=±\frac{\pi}{2} σa=2−2+1=−0.5，φa=±2π

【 K ∗ K^* K∗从 − 1 / 4 → 0 -1/4\to0 −1/4→0】

先考虑 K ∗ K^* K∗从 − ∞ → 0 -\infty\to0 −∞→0时等效系统概略零度根轨迹，然后通过计算，可得 K ∗ K^* K∗从 − 1 / 4 → 0 -1/4\to0 −1/4→0时等效系统概略零度根轨迹.

根轨迹的分支、起点和终点：由于 n = 3 ， m = 1 ， n − m = 2 n=3，m=1，n-m=2 n=3，m=1，n−m=2，故根轨迹有三条分支，其起点分别为： p 1 = 0 ， p 2 = 0 ， p 3 = − 2 p_1=0，p_2=0，p_3=-2 p1=0，p2=0，p3=−2，其终点分别为： z 1 = − 1 z_1=-1 z1=−1和无穷远处.
实轴上的根轨迹： [ − 2 ， − ∞ ) ， [ 0 ， − 1 ] ， [ 0 ， + ∞ ) [-2，-\infty)，[0，-1]，[0，+\infty) [−2，−∞)，[0，−1]，[0，+∞)；

当 K ∗ = − 1 / 4 K^*=-1/4 K∗=−1/4时，根据模值条件：
∣ K ∗ ∣ = ∣ s − p 1 ∣ ∣ s − p 2 ∣ ∣ s − p 3 ∣ ∣ s − z 1 ∣ |K^*|=\frac{|s-p_1||s-p_2||s-p_3|}{|s-z_1|} ∣K∗∣=∣s−z1∣∣s−p1∣∣s−p2∣∣s−p3∣
即
1 4 = ∣ s 2 ∣ ∣ s + 2 ∣ ∣ s + 1 ∣ ⇒ s 1 = − 2.02 ， s 2 = − 0.168 ， s 3 = 0.184 \frac{1}{4}=\frac{|s^2||s+2|}{|s+1|}\Rightarrow{s_1=-2.02，s_2=-0.168，s_3=0.184} 41=∣s+1∣∣s2∣∣s+2∣⇒s1=−2.02，s2=−0.168，s3=0.184

【 K ∗ K^* K∗从 1 − / 4 → + ∞ 1-/4\to+\infty 1−/4→+∞系统概略根轨迹】

Example 4.28

设控制系统如下图所示，分析 T > τ > 0 T>\tau>0 T>τ>0或 0 < T < τ 0<T<\tau 0<T<τ对系统根轨迹的影响，并绘制相应的根轨迹；

解：

由结构图可知，系统开环传递函数为：
G ( s ) = K ∗ ( s + 1 / τ ) s ( s + 1 / T ) ( s − j 4 ) ( s + j 4 ) G(s)=\frac{K^*(s+1/\tau)}{s(s+1/T)(s-{\rm j}4)(s+{\rm j}4)} G(s)=s(s+1/T)(s−j4)(s+j4)K∗(s+1/τ)
其中： K ∗ = K τ / T K^*=K\tau/T K∗=Kτ/T.

根轨迹的分支、起点和终点：由于 n = 4 ， m = 1 ， n − m = 3 n=4，m=1，n-m=3 n=4，m=1，n−m=3，故根轨迹有四条分支，其起点分别为： p 1 = 0 ， p 2 = − 1 ， p 3 = 4 j ， p 4 = − 4 j p_1=0，p_2=-1，p_3=4{\rm j}，p_4=-4{\rm j} p1=0，p2=−1，p3=4j，p4=−4j，其终点分别为： z 1 = 1 / τ z_1=1/\tau z1=1/τ和无穷远处.
根轨迹的渐近线
σ a = 1 3 ( − 1 T + 1 τ ) ， φ a = ± π 3 ， π \sigma_a=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{T}+\frac{1}{\tau}\right)，\varphi_a=±\frac{\pi}{3}，\pi σa=31(−T1+τ1)，φa=±3π，π
实轴上的根轨迹：
- T > τ > 0 T>\tau>0 T>τ>0，即 1 τ > 1 T > 0 \displaystyle\frac{1}{\tau}>\displaystyle\frac{1}{T}>0 τ1>T1>0时，实轴上的根轨迹为： ( − ∞ ， − 1 τ ] ， [ 0 ， − 1 T ] \left(\right.-\infty，-\left.\displaystyle\frac{1}{\tau}\right]，\left[0，-\displaystyle\frac{1}{T}\right] (−∞，−τ1]，[0，−T1]；
- τ > T > 0 \tau>T>0 τ>T>0，即 1 T > 1 τ > 0 \displaystyle\frac{1}{T}>\displaystyle\frac{1}{\tau}>0 T1>τ1>0时，实轴上的根轨迹为： [ − 1 T ， − ∞ ) ， [ 0 ， − 1 τ ] \left[-\displaystyle\frac{1}{T}\right.，-\infty\left.\right)，\left[0，-\displaystyle\frac{1}{\tau}\right] [−T1，−∞)，[0，−τ1]；
根轨迹
结论

当 T > τ > 0 T>\tau>0 T>τ>0时，系统可能具有负实部闭环复极点；

当 τ > T > 0 \tau>T>0 τ>T>0时，系统没有负实部闭环复极点；

Example 4.29

已知系统开环传递函数为： G ( s ) H ( s ) = K ∗ s ( s + 1 ) ( s + 10 ) G(s)H(s)=\displaystyle\frac{K^*}{s(s+1)(s+10)} G(s)H(s)=s(s+1)(s+10)K∗，若已知主导极点的实部为： − 0.2 -0.2 −0.2，确定对应的 K ∗ K^* K∗值.

解：

系统的开环极点为：
p 1 = 0 ， p 2 = − 1 ， p 3 = − 10 p_1=0，p_2=-1，p_3=-10 p1=0，p2=−1，p3=−10
设主导极点为： s = − 0.2 + j ω s=-0.2+{\rm j}\omega s=−0.2+jω，则 s s s到开环极点的角度由下计算：
θ s p 1 = 180 ° − arctan ⁡ ( ω / 0.2 ) ， θ s p 2 = arctan ⁡ ( ω / 0.8 ) ， θ s p 3 = arctan ⁡ ( ω / 9.8 ) \theta_{sp_1}=180°-\arctan(\omega/0.2)，\theta_{sp_2}=\arctan(\omega/0.8)，\theta_{sp_3}=\arctan(\omega/9.8) θsp1=180°−arctan(ω/0.2)，θsp2=arctan(ω/0.8)，θsp3=arctan(ω/9.8)
由闭环根轨迹的相角条件可得：
arctan ⁡ ( ω / 0.2 ) = arctan ⁡ ( ω / 0.8 ) + arctan ⁡ ( ω / 9.8 ) \arctan(\omega/0.2)=\arctan(\omega/0.8)+\arctan(\omega/9.8) arctan(ω/0.2)=arctan(ω/0.8)+arctan(ω/9.8)
因
tan ⁡ ( α + β ) = tan ⁡ α + tan ⁡ β 1 − tan ⁡ α ⋅ tan ⁡ β \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha·\tan\beta} tan(α+β)=1−tanα⋅tanβtanα+tanβ
解得：
ω = ± 2.4 \omega=±2.4 ω=±2.4
对应的 K ∗ K^* K∗由根轨迹的幅值条件可得：
K ∗ = 61.52 K^*=61.52 K∗=61.52
【根轨迹】

Example 4.30

设系统开环传递函数为： G ( s ) H ( s ) = K ∗ s ( s + 25 ) ( s 2 + 1000 s + 2600 ) G(s)H(s)=\displaystyle\frac{K^*}{s(s+25)(s^2+1000s+2600)} G(s)H(s)=s(s+25)(s2+1000s+2600)K∗，由根轨迹法确定 ζ = 0.5 \zeta=0.5 ζ=0.5时的闭环主导极点和对应的 K ∗ K^* K∗值.

解：

系统开环传递函数为：
G ( s ) H ( s ) = K ∗ s ( s + 25 ) ( s 2 + 1000 s + 2600 ) = K ∗ s ( s + 25 ) ( s + 2.61 ) ( s + 997.39 ) G(s)H(s)=\displaystyle\frac{K^*}{s(s+25)(s^2+1000s+2600)}=\frac{K^*}{s(s+25)(s+2.61)(s+997.39)} G(s)H(s)=s(s+25)(s2+1000s+2600)K∗=s(s+25)(s+2.61)(s+997.39)K∗

根轨迹的分支、起点和终点：由于 n = 4 ， m = 0 ， n − m = 4 n=4，m=0，n-m=4 n=4，m=0，n−m=4，故根轨迹有四条分支，其起点分别为： p 1 = 0 ， p 2 = − 2.61 ， p 3 = − 25 ， p 4 = − 997.39 p_1=0，p_2=-2.61，p_3=-25，p_4=-997.39 p1=0，p2=−2.61，p3=−25，p4=−997.39，其终点为无穷远处.
实轴上的根轨迹： [ − 2.61 ， 0 ] ， [ − 25 ， − 997.39 ] [-2.61，0]，[-25，-997.39] [−2.61，0]，[−25，−997.39]；
根轨迹的渐近线
σ a = − 2.61 − 25 − 997.39 4 = − 256.25 ， φ a = ± π 4 ， ± 3 π 4 \sigma_a=\frac{-2.61-25-997.39}{4}=-256.25，\varphi_a=±\frac{\pi}{4}，±\frac{3\pi}{4} σa=4−2.61−25−997.39=−256.25，φa=±4π，±43π
根轨迹的分离点：根轨迹的分离点满足
1 d + 1 d + 2.61 + 1 d + 25 + 1 d + 997.39 = 0 \frac{1}{d}+\frac{1}{d+2.61}+\frac{1}{d+25}+\frac{1}{d+997.39}=0 d1+d+2.611+d+251+d+997.391=0
解得：
d 1 = − 750 ， d 2 = − 1.27 d_1=-750，d_2=-1.27 d1=−750，d2=−1.27
由于闭环主导极点的阻尼比为： ζ = 0.5 \zeta=0.5 ζ=0.5，则可设闭环主导极点为： s = − σ + j ( 1.732 σ ) s=-\sigma+{\rm j}(1.732\sigma) s=−σ+j(1.732σ).

由闭环根轨迹的相角条件可得：
θ s p 1 + θ s p 2 + θ s p 3 + θ s p 4 = 180 ° \theta_{sp_1}+\theta_{sp_2}+\theta_{sp_3}+\theta_{sp_4}=180° θsp1+θsp2+θsp3+θsp4=180°
又
θ s p 1 = 120 ° ， θ s p 2 = arctan ⁡ [ ( 2.61 − σ ) / 1.732 σ ] ， θ s p 3 = arctan ⁡ [ ( 25 − σ ) / 1.732 σ ] ， θ s p 4 ≈ 0 \theta_{sp_1}=120°，\theta_{sp_2}=\arctan[(2.61-\sigma)/1.732\sigma]，\theta_{sp_3}=\arctan[(25-\sigma)/1.732\sigma]，\theta_{sp_4}≈0 θsp1=120°，θsp2=arctan[(2.61−σ)/1.732σ]，θsp3=arctan[(25−σ)/1.732σ]，θsp4≈0
解得：
σ = 1.13 \sigma=1.13 σ=1.13
即闭环主导极点为：
s = − 1.13 + j 1.96 s=-1.13+{\rm j}1.96 s=−1.13+j1.96
对应的 K ∗ K^* K∗值由根轨迹的幅值条件求解：
K ∗ = ∣ s − p 1 ∣ ⋅ ∣ s − p 2 ∣ ⋅ ∣ s − p 3 ∣ ⋅ ∣ s − p 4 ∣ = 1.33 × 1 0 5 K^*=|s-p_1|·|s-p_2|·|s-p_3|·|s-p_4|=1.33\times10^5 K∗=∣s−p1∣⋅∣s−p2∣⋅∣s−p3∣⋅∣s−p4∣=1.33×105
概略根轨迹