UA OPTI544 量子光学1 Maxwell方程与Lorentz Oscillator回顾

Maxwell方程基础
Lorentz Oscillator

Maxwell方程基础

Maxwell方程（no free charges and currents，即考虑dielectric media）
∇ ⋅ D = 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × H = ∂ D ∂ t \nabla \cdot \textbf{D}=0 \\ \nabla \cdot \textbf B=0 \\ \nabla \times \textbf E=-\frac{\partial \textbf B}{\partial t} \\ \nabla \times \textbf H = \frac{\partial \textbf D}{\partial t} ∇⋅D=0∇⋅B=0∇×E=−∂t∂B∇×H=∂t∂D

Material Response (non-magnetic)
B = μ 0 H D = ϵ 0 E + P \textbf B = \mu_0 \textbf H \\ \textbf D = \epsilon_0 \textbf E + \textbf P B=μ0HD=ϵ0E+P

对Maxwell 3求旋度，结合Maxwell 1与4推导：
∇ × ( ∇ × E ) = − ∇ × ∂ B ∂ t ∇ ( ∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E = − ∂ ∂ t ( ∇ × B ) = − μ 0 ∂ 2 ∂ t 2 D \begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \textbf E) &=-\nabla \times \frac{\partial \textbf B}{\partial t} \\ \nabla(\nabla \cdot \textbf E)-\nabla ^2 \textbf E &= -\frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \textbf B) = -\mu_0\frac{\partial^2 }{\partial t^2} \textbf D \end{aligned} ∇×(∇×E)∇(∇⋅E)−∇2E=−∇×∂t∂B=−∂t∂(∇×B)=−μ0∂t2∂2D

考虑transverse field： ∇ ⋅ E = 0 \nabla \cdot \textbf E=0 ∇⋅E=0，上式可以简化为
∇ 2 E = μ 0 ∂ 2 ∂ t 2 D = μ 0 ∂ 2 ∂ t 2 ( ϵ 0 E + P ) ∇ 2 E − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 E ⏟ wave = 1 ϵ 0 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 P ⏟ source \begin{aligned}\nabla ^2 \textbf E =\mu_0\frac{\partial^2 }{\partial t^2} \textbf D&=\mu_0\frac{\partial^2 }{\partial t^2}(\epsilon_0 \textbf E + \textbf P) \\ \underbrace{\nabla^2 \textbf E-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \textbf E}_{\text{wave}} &= \underbrace{\frac{1}{\epsilon_0c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \textbf P}_{\text {source}}\end{aligned} ∇2E=μ0∂t2∂2Dwave ∇2E−c21∂t2∂2E=μ0∂t2∂2(ϵ0E+P)=source ϵ0c21∂t2∂2P

其中 μ 0 ϵ 0 = 1 / c 2 \mu_0\epsilon_0=1/c^2 μ0ϵ0=1/c2， c c c为真空中的光速。

Linear Isotropic Dielectric Media
在Isotropic Media中，引致的电极化与外部电场一定是平行的；用最一般的linear system对电极化建模（因为linear media，所以电极化与电场之间是线性关系），可以把它写成 E \textbf E E与一个响应函数 R R R的卷积：
D = ϵ 0 E + P = ϵ 0 ( E + R ∗ E ) \textbf D=\epsilon_0 \textbf E+\textbf P=\epsilon_0 (\textbf E+R*\textbf E) D=ϵ0E+P=ϵ0(E+R∗E)

这个响应函数 R R R代表介质存储的外部电场的所有历史信息， R ( τ ) = 0 , ∀ τ < 0 R(\tau)=0,\forall \tau<0 R(τ)=0,∀τ<0，并且对于各向同性介质而言， R R R是一个一维的函数。对上述方程两端取散度，
∇ ⋅ D = ϵ 0 ( ∇ ⋅ E + R ∗ ∇ ⋅ E ) \nabla \cdot \textbf D=\epsilon_0(\nabla \cdot \textbf E+R*\nabla \cdot \textbf E) ∇⋅D=ϵ0(∇⋅E+R∗∇⋅E)

根据Maxwell 1， ∇ ⋅ D = 0 \nabla \cdot \textbf D=0 ∇⋅D=0，于是
ϵ 0 ( ∇ ⋅ E + R ∗ ∇ ⋅ E ) = 0 ⇒ ∇ ⋅ E = 0 or R ( t ) = − 2 δ ( t ) \epsilon_0(\nabla \cdot \textbf E+R*\nabla \cdot \textbf E)=0 \Rightarrow \nabla \cdot \textbf E=0\ \text{or}\ R(t)=-2\delta(t) ϵ0(∇⋅E+R∗∇⋅E)=0⇒∇⋅E=0 or R(t)=−2δ(t)

∇ ⋅ E = 0 \nabla \cdot \textbf E=0 ∇⋅E=0说明这个EM field为transverse field；
R ( t ) ∝ δ ( t ) R(t) \propto \delta(t) R(t)∝δ(t)表示instantaneous response，此时 ϵ 0 R ∗ E = ϵ 0 χ E \epsilon_0 R*\textbf E=\epsilon_0 \chi \textbf E ϵ0R∗E=ϵ0χE，其中 χ \chi χ是electric susceptibility， R ( t ) = − 2 δ ( t ) R(t)=-2\delta(t) R(t)=−2δ(t)意味着材料的electric susceptibility为负，只有在特定工程场景中会出现，不具有一般性

因此，在linear isotropic dielectric media中，电场一定是transverse的！

Wave Equation in Free Space
在free space中不存在电极化，所以
∇ 2 E − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 E = 0 \nabla^2 \textbf E-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \textbf E=0 ∇2E−c21∂t2∂2E=0

考虑monochromatic field： E ( r , t ) = E 0 ( r ) e − i w t \textbf E(\textbf r,t)=\textbf E_0(\textbf r)e^{-iwt} E(r,t)=E0(r)e−iwt，则
∇ 2 E 0 e − i w t + w 2 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 E 0 e − i w t = 0 \nabla^2 \textbf E_0e^{-iwt}+\frac{w^2}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \textbf E_0e^{-iwt}=0 ∇2E0e−iwt+c2w2∂t2∂2E0e−iwt=0

波数为 k = w / c k=w/c k=w/c，所以
∇ 2 E 0 + k 2 E 0 = 0 \nabla^2\textbf E_0+k^2 \textbf E_0=0 ∇2E0+k2E0=0

这个方程的plane wave solution为
E 0 ( r ) = E 0 e i k ⋅ r E ^ 0 , ∣ k ∣ = k \textbf E_0(\textbf r)=E_0e^{i \textbf k \cdot \textbf r}\hat E_0,|\textbf k|=k E0(r)=E0eik⋅rE^0,∣k∣=k

所以
E = E 0 e i ( k ⋅ r − w t ) E ^ 0 \textbf E=E_0e^{i( \textbf k \cdot \textbf r-wt)}\hat E_0 E=E0ei(k⋅r−wt)E^0

Wave Equation in Fourier Domain
引入 E \textbf E E与 P \textbf P P的4-D Fourier变换（这里的 w w w是Fourier Domain中的变量，不再表示上文monochromatic field的频率）：
E ( r , t ) = ∫ R e i w t d w ∫ R 3 E ( k , w ) e i k ⋅ r d 3 k P ( r , t ) = ∫ R e i w t d w ∫ R 3 P ( k , w ) e i k ⋅ r d 3 k \textbf E(\textbf r,t)=\int_{\mathbb R} e^{iwt}dw \int_{\mathbb R^3} \textbf E(\textbf k ,w)e^{i \textbf k \cdot \textbf r}d^3 \textbf k \\ \textbf P(\textbf r,t)=\int_{\mathbb R} e^{iwt}dw \int_{\mathbb R^3} \textbf P(\textbf k ,w)e^{i \textbf k \cdot \textbf r}d^3 \textbf k E(r,t)=∫Reiwtdw∫R3E(k,w)eik⋅rd3kP(r,t)=∫Reiwtdw∫R3P(k,w)eik⋅rd3k

代入到波动方程中可得
k 2 E ( k , w ) − w 2 c 2 E ( k , w ) = w 2 ϵ 0 c 2 P ( k , w ) E ( k , w ) = w 2 ϵ 0 c 2 P ( k , w ) k 2 − w 2 c 2 k^2\textbf E(\textbf k,w)-\frac{w^2}{c^2}\textbf E(\textbf k,w)=\frac{w^2}{\epsilon_0c^2}\textbf P(\textbf k,w) \\ \textbf E(\textbf k ,w)=\frac{\frac{w^2}{\epsilon_0c^2}\textbf P(\textbf k,w) }{k^2-\frac{w^2}{c^2}} k2E(k,w)−c2w2E(k,w)=ϵ0c2w2P(k,w)E(k,w)=k2−c2w2ϵ0c2w2P(k,w)

Lorentz Oscillator

简单Mass-and-spring模型的思想是假设一个原子核（质量为 M M M，带电量为 + q +q +q）与一个电子（质量为 m m m，带电量为 − q -q −q）之间通过弹簧相连，弹簧的劲度系数为 α \alpha α，这个物理系统的动摩擦系数为 β \beta β，存在振荡变化的电场 E ( t ) = E x 0 cos ⁡ ( w t ) x ^ \textbf E(t)=E_{x0}\cos(wt)\hat x E(t)=Ex0cos(wt)x^。

用牛顿第二定律可以列出系统中电子的振动方程，
m x ¨ = − q E − α x − β x ˙ m\ddot{x}=-qE-\alpha x-\beta \dot{x} mx¨=−qE−αx−βx˙

引入两个常数，
w 0 = α m , γ = β m w_0=\sqrt{\frac{\alpha}{m}},\gamma = \frac{\beta}{m} w0=mα ,γ=mβ

劲度系数的单位是 n e w t o n / m e t e r newton/meter newton/meter，质量 m m m的单位是 k g kg kg，所以 w 0 w_0 w0的单位为 n e w t o n k g ∗ m e t e r = k g ∗ m e t e r ∗ s − 2 k g ∗ m e t e r = s − 1 \sqrt{\frac{newton}{kg*meter}}=\sqrt{\frac{kg*meter*s^{-2}}{kg*meter}}=s^{-1} kg∗meternewton =kg∗meterkg∗meter∗s−2 =s−1

这是角频率的单位，因此通常称 w 0 w_0 w0为resonant frequency，即这个系统的共振频率； β \beta β的单位满足
[ β ] ∗ ( m e t e r / s ) = n e w t o n = k g ∗ m e t e r / s 2 [ β ] = k g / s [\beta]*(meter/s)=newton=kg*meter/s^2 \\ [\beta]=kg/s [β]∗(meter/s)=newton=kg∗meter/s2[β]=kg/s

于是 γ \gamma γ的单位为 k g ∗ s − 1 / k g = s − 1 kg*s^{-1}/kg=s^{-1} kg∗s−1/kg=s−1，也与角频率相同，称 γ \gamma γ为系统的damping coefficient，阻尼系数。用这两个常数简化振动方程：
x ¨ + γ x ˙ + w 0 2 x = − q m E ( t ) \ddot{x}+\gamma \dot{x}+w_0^2 x=-\frac{q}{m}E(t) x¨+γx˙+w02x=−mqE(t)

假这是一个非齐次常系数2阶ODE，假设它的解为
x ( t ) = R e [ x 0 e − i w t ] , x 0 = ∣ x 0 ∣ e i ϕ 0 x(t)=Re[x_0 e^{-iwt}],x_0=|x_0|e^{i\phi_0} x(t)=Re[x0e−iwt],x0=∣x0∣eiϕ0

代入振动方程，
− w 2 x 0 − i w γ x 0 + w 0 2 x 0 = − q m E x 0 x 0 = − q m E x 0 w 0 2 − w 2 − i γ w -w^2 x_0-iw\gamma x_0+w_0^2x_0=-\frac{q}{m}E_{x0} \\ x_0 = \frac{-\frac{q}{m}E_{x0}}{w_0^2-w^2-i\gamma w} −w2x0−iwγx0+w02x0=−mqEx0x0=w02−w2−iγw−mqEx0

由此可以得到系统的电偶极矩为
p = − q x ( t ) x ^ = R e [ − q x 0 e − i w t x ^ ] = R e [ p 0 e − i w t x ^ ] p 0 = q 2 m E x 0 w 0 2 − w 2 − i γ w \textbf p=-qx(t) \hat x=Re[-qx_0e^{-iwt}\hat x]=Re[p_0e^{-iwt}\hat x] \\ p_0 = \frac{\frac{q^2}{m}E_{x0}}{w_0^2-w^2-i\gamma w} p=−qx(t)x^=Re[−qx0e−iwtx^]=Re[p0e−iwtx^]p0=w02−w2−iγwmq2Ex0

假设在一个小区域内有 N N N个这样的电偶极矩，则这个小区域内的电极化矢量为
P = N p = R e [ N p 0 e − i w t x ^ ] = R e [ ϵ 0 E x 0 C ( w ) e − i w t x ^ ] \textbf P = N\textbf p = Re[Np_0e^{-iwt}\hat x]=Re[\epsilon_0 E_{x0}C(w)e^{-iwt}\hat x] P=Np=Re[Np0e−iwtx^]=Re[ϵ0Ex0C(w)e−iwtx^]

其中 ϵ 0 E x 0 \epsilon_0E_{x0} ϵ0Ex0的量纲与电位移相同，所以 C ( w ) C(w) C(w)是一个无量纲的量，
C ( w ) = N q 2 m ϵ 0 w 0 2 − w 2 − i γ w C(w)=\frac{\frac{Nq^2}{m\epsilon_0}}{w_0^2-w^2-i\gamma w} C(w)=w02−w2−iγwmϵ0Nq2

它被称为polarizability coefficient，引入 w q = N q 2 m ϵ 0 w_q=\sqrt{\frac{Nq^2}{m\epsilon_0}} wq=mϵ0Nq2 ，可以根据SI单位制与电磁学常用单位自行验证它的单位也是 s − 1 s^{-1} s−1，与角频率相同，称 w p w_p wp为plasma frequency，电浆频率，
C ( w ) = w p 2 w 0 2 − w 2 − i γ w C(w)=\frac{w_p^2}{w_0^2-w^2-i\gamma w} C(w)=w02−w2−iγwwp2

考虑更一般的monochromatic solution，
E = R e [ E ( r ) e − i w t ] \textbf E=Re[\textbf E(\textbf r )e^{-iwt}] E=Re[E(r)e−iwt]

由此导出的介质的电极化矢量为
P ( r , t ) = R e [ ϵ 0 E ( r ) C ( w ) e − i w t ] \textbf P(\textbf r,t)=Re[\epsilon_0 \textbf E(\textbf r)C(w)e^{-iwt}] P(r,t)=Re[ϵ0E(r)C(w)e−iwt]

评注上述推导讨论的是一个原子核配一个电子的情况，将其简单推广就可以得到一个原子核配 K K K的电子的结果，
C K ( w ) = ∑ k = 1 K f k w p 2 w 0 k 2 − w 2 − i γ k w C_K(w) = \sum_{k=1}^K \frac{f_k w_p^2}{w_{0k}^2-w^2-i\gamma_k w} CK(w)=k=1∑Kw0k2−w2−iγkwfkwp2

其中 f k f_k fk是第 k k k个电子的oscillator strength，用 C K ( w ) C_K(w) CK(w)替换上述模型中的 C ( w ) C(w) C(w)即可，即
P = R e [ ϵ 0 E ( r ) C K ( w ) e − i w t x ^ ] \textbf P =Re[\epsilon_0 \textbf E(\textbf r)C_K(w)e^{-iwt}\hat x] P=Re[ϵ0E(r)CK(w)e−iwtx^]

金属与半导体中的电子并不是被固定的，在一定条件下可以自由移动，要让Lorentz模型适用于这些电子，需要令 α = 0 \alpha=0 α=0， w 0 k = 0 w_{0k}=0 w0k=0，即不存在使电子回到原位的弹性力，在这种情况下， C K ( w ) C_K(w) CK(w)的表达式所决定的系数不再被称为polarizability coefficient，我们给它换个名字，称为electric susceptibility，记为 χ e ( w ) \chi_e(w) χe(w)，
χ e ( w ) = − w p 2 w 2 + i γ w \chi_e(w)=\frac{-w_p^2}{w^2+i\gamma w} χe(w)=w2+iγw−wp2

虽然这只是Lorentz模型的特例，但因为这是Drude提出的关于conduction electron的模型，所以称之为Drude模型，此时的电极化矢量为
P = R e [ ϵ 0 E ( r ) χ e ( w ) e − i w t x ^ ] \textbf P =Re[\epsilon_0 \textbf E(\textbf r)\chi_e(w)e^{-iwt}\hat x] P=Re[ϵ0E(r)χe(w)e−iwtx^]

当外加电场高频振荡时，即 w > > γ w>>\gamma w>>γ时， χ e ( w ) ≈ − w p 2 w 2 \chi_e(w) \approx -\frac{w_p^2}{w^2} χe(w)≈−w2wp2，这个系数被称为plasma susceptibility，由此可以导出plasma relative electric permittivity为
ϵ r ( w ) = 1 + χ e ( w ) = 1 − w p 2 w 2 \epsilon_r(w)=1+\chi_e(w)=1-\frac{w_p^2}{w^2} ϵr(w)=1+χe(w)=1−w2wp2

在Maxwell方程中，代入Lorentz模型导出的电极化与电场之间的关系，并消去 B , D \textbf B,\textbf D B,D得到的方程被称为Maxwell-Lorentz方程；在量子光学中，我们将用量子力学代替Lorentz模型对介质粒子的讨论，得到semiclassic Maxwell-Bloch模型。