UA OPTI544 量子光学8 2-level system approximation的population rate equation模型

Density Matrix的稳态（假设无非弹性碰撞）
- Elastic Collision Broadening
光子通量
- Rate Equation的解（假设无非弹性碰撞）
- Power Broadening
- σ(Δ)\sigma(\Delta)σ(Δ)的表达式（假设无碰撞）

在上一讲的结尾，我们得到了光与粒子交互系统的2-level system approximation的density matrix的演化方程：

{ρ˙11=−Γ1ρ11+A21ρ22−i2(χρ12−χ∗ρ21)ρ˙22=−Γ2ρ22−A21ρ22+i2(χρ12−χ∗ρ21)ρ˙12=(iΔ−β)ρ12+iχ∗2(ρ22−ρ11)=ρ˙21∗β=1τ+Γ1+Γ22+A212\begin{cases} \dot \rho_{11} =-\Gamma_1\rho_{11}+A_{21}\rho_{22} -\frac{i}{2}(\chi \rho_{12}-\chi^* \rho_{21}) \\ \dot \rho_{22}=-\Gamma_2\rho_{22}-A_{21}\rho_{22}+\frac{i}{2}(\chi \rho_{12}-\chi^* \rho_{21}) \\ \dot \rho_{12} = (i \Delta-\beta) \rho_{12}+\frac{i\chi^*}{2}(\rho_{22}-\rho_{11}) = \dot \rho_{21}^* \\ \beta = \frac{1}{\tau}+\frac{\Gamma_1+\Gamma_2}{2}+\frac{A_{21}}{2}\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ρ˙11=−Γ1ρ11+A21ρ22−2i(χρ12−χ∗ρ21)ρ˙22=−Γ2ρ22−A21ρ22+2i(χρ12−χ∗ρ21)ρ˙12=(iΔ−β)ρ12+2iχ∗(ρ22−ρ11)=ρ˙21∗β=τ1+2Γ1+Γ2+2A21

ρ11,ρ22\rho_{11},\rho_{22}ρ11,ρ22代表population，ρ12,ρ21\rho_{12},\rho_{21}ρ12,ρ21代表coherence，这个方程虽然具有一般性，但要解这个方程十分困难。因此这一讲我们在不解演化方程的情况下，用它来推导光与粒子交互系统的2-level system approximation的一些性质。

Density Matrix的稳态（假设无非弹性碰撞）

假设Γ1=Γ2=0\Gamma_1=\Gamma_2=0Γ1=Γ2=0，稳态说明population与coherence都没有变化，即其导数为0，所以
ρ˙12=0⇒{ρ12=iχ∗/2β−iΔ(ρ22−ρ11)ρ21=−iχ/2β+iΔ(ρ22−ρ11)\dot \rho_{12} =0 \Rightarrow \begin{cases} \rho_{12}=\frac{i\chi^*/2}{\beta-i\Delta}(\rho_{22}-\rho_{11}) \\ \rho_{21}=\frac{-i\chi/2}{\beta+i\Delta}(\rho_{22}-\rho_{11}) \end{cases}ρ˙12=0⇒{ρ12=β−iΔiχ∗/2(ρ22−ρ11)ρ21=β+iΔ−iχ/2(ρ22−ρ11)

代入到population中，
{ρ˙11=A21ρ22−i2(χρ12−χ∗ρ21)=A21ρ22+∣χ∣2β/2Δ2+β2(ρ22−ρ11)ρ˙22=−A21ρ22+i2(χρ12−χ∗ρ21)=−A21ρ22−∣χ∣2β/2Δ2+β2(ρ22−ρ11)\begin{cases} \dot \rho_{11} =A_{21}\rho_{22} -\frac{i}{2}(\chi \rho_{12}-\chi^* \rho_{21})=A_{21}\rho_{22}+\frac{|\chi|^2\beta/2}{\Delta^2+\beta^2}(\rho_{22}-\rho_{11}) \\ \dot \rho_{22}=-A_{21}\rho_{22}+\frac{i}{2}(\chi \rho_{12}-\chi^* \rho_{21})= -A_{21}\rho_{22}-\frac{|\chi|^2\beta/2}{\Delta^2+\beta^2}(\rho_{22}-\rho_{11})\end{cases}{ρ˙11=A21ρ22−2i(χρ12−χ∗ρ21)=A21ρ22+Δ2+β2∣χ∣2β/2(ρ22−ρ11)ρ˙22=−A21ρ22+2i(χρ12−χ∗ρ21)=−A21ρ22−Δ2+β2∣χ∣2β/2(ρ22−ρ11)

这两个方程被称为population rate equation，就物理意义而言，这个方程组描述的是激发过程，
∣2⟩|2 \rangle∣2⟩代表高能态，∣1⟩|1 \rangle∣1⟩代表低能态，A21ρ22A_{21}\rho_{22}A21ρ22代表从高能态向低能态的自发衰变，Γ1ρ11,Γ2ρ22\Gamma_1 \rho_{11},\Gamma_2 \rho_{22}Γ1ρ11,Γ2ρ22代表两个量子态的population的非弹性碰撞衰变，R12ρ11R_{12}\rho_{11}R12ρ11代表由低能态向高能态的激发，R12ρ22R_{12}\rho_{22}R12ρ22代表由高能态向低能态的释放，R12R_{12}R12代表两个能态之间的激发率（absorption rate或者stimulated emission rate），
R12=∣χ∣2β/2Δ2+β2R_{12}=\frac{|\chi|^2\beta/2}{\Delta^2+\beta^2}R12=Δ2+β2∣χ∣2β/2

Elastic Collision Broadening

在高温且稠密的气体介质中，弹性碰撞在粒子的非哈密顿行为（弹性碰撞、非弹性碰撞、自发衰变）中占主体，即β>>A21,Γ1,Γ2\beta>>A_{21},\Gamma_1,\Gamma_2β>>A21,Γ1,Γ2，在这种情况下，coherence会比population更先到达稳态，这种情况被称为Elastic Collision Broadening，此时population ρ11,ρ22\rho_{11},\rho_{22}ρ11,ρ22的行为可以用Rabi Oscillation类比。

在这种情况下，如果碰撞次数足够多，且dipole moment方向相对driving field随机分布时，⟨∣p⃗12⋅ϵ^E0/h∣2⟩angle=13∣p⃗12∣2E02=13∣χ∣2\langle |\vec p_{12} \cdot \hat \epsilon E_0/h|^2 \rangle_{\text{angle}}=\frac{1}{3}|\vec p_{12}|^2E_0^2=\frac{1}{3}|\chi|^2⟨∣p12⋅ϵ^E0/h∣2⟩angle=31∣p12∣2E02=31∣χ∣2，
R12=13∣χ∣2β/2Δ2+β2R_{12}=\frac{1}{3}\frac{|\chi|^2\beta/2}{\Delta^2+\beta^2}R12=31Δ2+β2∣χ∣2β/2

光子通量

记R12=σ(Δ)ϕR_{12}=\sigma(\Delta)\phiR12=σ(Δ)ϕ，其中ϕ\phiϕ是光子通量(photon flux)，满足
ℏwϕ=12cϵ0∣E0∣2⏟光强intensity\hbar w \phi =\underbrace{ \frac{1}{2}c\epsilon_0|E_0|^2}_{光强\text{intensity}}ℏwϕ=光强intensity21cϵ0∣E0∣2

由此可以将population rate equation用光子通量表示，
{ρ˙11=−Γ1ρ11+A21ρ22+σ(Δ)ϕ(ρ22−ρ11)ρ˙22=−Γ2ρ22−A21ρ22−σ(Δ)ϕ(ρ22−ρ11)\begin{cases} \dot \rho_{11} =-\Gamma_1 \rho_{11}+A_{21}\rho_{22}+\sigma(\Delta)\phi(\rho_{22}-\rho_{11}) \\ \dot \rho_{22}=-\Gamma_2 \rho_{22} -A_{21}\rho_{22}-\sigma(\Delta)\phi(\rho_{22}-\rho_{11})\end{cases}{ρ˙11=−Γ1ρ11+A21ρ22+σ(Δ)ϕ(ρ22−ρ11)ρ˙22=−Γ2ρ22−A21ρ22−σ(Δ)ϕ(ρ22−ρ11)

如果有NNN个粒子，则

Number of Absorption Events为Nσ(Δ)ϕρ11N\sigma(\Delta)\phi \rho_{11}Nσ(Δ)ϕρ11
Number of Stimulated Emission Events为Nσ(Δ)ϕρ22N\sigma(\Delta)\phi \rho_{22}Nσ(Δ)ϕρ22

Rate Equation的解（假设无非弹性碰撞）

假设Γ1=Γ2=0\Gamma_1=\Gamma_2=0Γ1=Γ2=0，并且根据ρ11+ρ22=1\rho_{11}+\rho_{22}=1ρ11+ρ22=1，
ρ˙22=−A21ρ22−σ(Δ)ϕ(2ρ22−1)=σ(Δ)ϕ−(A21+2σ(Δ))ρ22⏟damping effect\begin{aligned}\dot \rho_{22} & = -A_{21}\rho_{22}-\sigma(\Delta)\phi(2 \rho_{22}-1) \\ & =\sigma(\Delta)\phi\underbrace{-(A_{21}+2\sigma(\Delta))\rho_{22} }_{\text{damping\ effect}}\end{aligned}ρ˙22=−A21ρ22−σ(Δ)ϕ(2ρ22−1)=σ(Δ)ϕdamping effect−(A21+2σ(Δ))ρ22

记γ=A21+2σ(Δ)\gamma=A_{21}+2\sigma(\Delta)γ=A21+2σ(Δ)为damping coefficient，这个方程的解为
ρ22(t)=[ρ22(0)−ρ22(∞)]e−γt+ρ22(∞)ρ22(∞)=σ(Δ)ϕγ\rho_{22}(t)=[\rho_{22}(0)-\rho_{22}(\infty)]e^{-\gamma t}+\rho_{22}(\infty) \\ \rho_{22}(\infty)=\frac{\sigma(\Delta)\phi}{\gamma}ρ22(t)=[ρ22(0)−ρ22(∞)]e−γt+ρ22(∞)ρ22(∞)=γσ(Δ)ϕ

其中ρ22(0)\rho_{22}(0)ρ22(0)为初始值，ρ22(∞)\rho_{22}(\infty)ρ22(∞)为稳态值，

Power Broadening

代入受激发射率的表达式，
ρ22(∞)=σ(Δ)ϕγ=∣χ∣2β2A21Δ2+β2+∣χ∣2βA21\rho_{22}(\infty)=\frac{\sigma(\Delta)\phi}{\gamma}=\frac{\frac{|\chi|^2\beta }{2A_{21}}}{\Delta^2+\beta^2+\frac{|\chi|^2\beta }{A_{21}}}ρ22(∞)=γσ(Δ)ϕ=Δ2+β2+A21∣χ∣2β2A21∣χ∣2β

当σ(Δ)ϕ>>A21\sigma(\Delta)\phi>>A_{21}σ(Δ)ϕ>>A21时，ρ22(∞)→12\rho_{22}(\infty) \to \frac{1}{2}ρ22(∞)→21，这种情况被称为Power Broadening，此时粒子处于高能态与低能态的概率相等，系统处于饱和（saturation）状态，此时光子通量和光强为
ϕsat=A212σ(0),Isat=ℏwϕsat\phi_{\text{sat}}=\frac{A_{21}}{2\sigma(0)},I_{\text{sat}}=\hbar w\phi_{\text{sat}}ϕsat=2σ(0)A21,Isat=ℏwϕsat

σ(Δ)\sigma(\Delta)σ(Δ)的表达式（假设无碰撞）

因为
R12=∣χ∣2β/2Δ2+β2R12=σ(Δ)ϕ=σ(Δ)12cϵ0∣E0∣2ℏwR_{12}=\frac{|\chi|^2\beta/2}{\Delta^2+\beta^2} \\ R_{12} = \sigma(\Delta) \phi = \sigma(\Delta) \frac{\frac{1}{2}c\epsilon_0 |E_0|^2}{\hbar w}R12=Δ2+β2∣χ∣2β/2R12=σ(Δ)ϕ=σ(Δ)ℏw21cϵ0∣E0∣2

其中
∣χ∣2=f∣p⃗12∣2∣E0∣2ℏ2,13≤f≤1|\chi|^2=f \frac{|\vec p_{12}|^2|E_0|^2}{\hbar^2},\frac{1}{3} \le f \le 1∣χ∣2=fℏ2∣p12∣2∣E0∣2,31≤f≤1

1/31/31/3对应elastic collision broadening，111对应elastic collision free，由此
σ(Δ)=fw∣p⃗12∣2ℏcϵ0ββ2Δ2+β2=σ(0)β2Δ2+β2\sigma(\Delta) = f \frac{w|\vec p_{12}|^2}{\hbar c \epsilon_0 \beta} \frac{\beta^2}{\Delta^2+\beta^2}=\sigma(0)\frac{\beta^2}{\Delta^2+\beta^2}σ(Δ)=fℏcϵ0βw∣p12∣2Δ2+β2β2=σ(0)Δ2+β2β2

假设collision free（无弹性碰撞与非弹性碰撞），则
σ(0)=f2w∣p⃗12∣2ℏcϵ0A21=f4πℏϵ0λ∣p⃗12∣2A21\sigma(0)= f \frac{2w|\vec p_{12}|^2}{\hbar c \epsilon_0A_{21}}=f \frac{4 \pi}{\hbar \epsilon_0 \lambda}\frac{|\vec p_{12}|^2}{A_{21}} σ(0)=fℏcϵ0A212w∣p12∣2=fℏϵ0λ4πA21∣p12∣2

A21A_{21}A21与∣p⃗12∣2|\vec p_{12}|^2∣p12∣2的关系推导需要用到量子电动力学，所以这里先直接给结论，
A21=∣p⃗12∣2w33πϵℏc3A_{21}=\frac{|\vec p_{12}|^2 w^3}{3 \pi \epsilon \hbar c^3}A21=3πϵℏc3∣p12∣2w3

代入σ(0)\sigma(0)σ(0)的表达式可得，
σ(0)=f3λ22π\sigma(0)=f \frac{3 \lambda^2}{2 \pi}σ(0)=f2π3λ2

综上，
σ(Δ)=f3λ22πβ2Δ2+β2\sigma(\Delta) =f \frac{3 \lambda^2}{2 \pi} \frac{\beta^2}{\Delta^2+\beta^2} σ(Δ)=f2π3λ2Δ2+β2β2