UA OPTI544 量子光学12 半古典激光原理基础

UA OPTI544 量子光学12 半古典激光原理

Semiclassical Laser的基本方程
- 基本方程的推导
- Laser的光强
- 基本方程的稳态解

激光就是通过刺激原子导致电子跃迁而产生的具有同调性的光子束，从这个含义来看，要获得激光，我们需要激发源、增益介质（gain medium）、共振结构这三个要素。简单起见，考虑如下的1-D cavity形式的谐振器(resonator)，内部为增益介质，两侧为平行放置的mirror（与1-D cavity一起提供共振结构），用外源电场作为激发来源，则电场经过增益介质时发生电极化，谐振器中的电场实际上为外源电场与电极化矢量的叠加，而叠加后的电场可以用Maxwell方程计算。

（不知道为什么水印超级大，有没有什么改水印格式的方法。。。。）

波动方程在cavity内的基解为驻波，第mmm个驻波的波数满足
km=mπLk_m=\frac{m\pi}{L}km=Lmπ

mmm为非负整数，第mmm个驻波的表达式可以写成
E⃗m(z,t)=Em(t)sin⁡(kmz)e−iwtE^m\vec E_m(z,t)=\mathcal E_m(t)\sin(k_mz)e^{-iwt}\hat E_mEm(z,t)=Em(t)sin(kmz)e−iwtE^m

Em\mathcal E_mEm表示slowly varying envelope
sin⁡(kmz)\sin(k_mz)sin(kmz)与e−iwte^{-iwt}e−iwt分别表示场在空间、时间坐标中的振动，其中www是场随时间振荡的固有频率，wm=kmcw_m=k_mcwm=kmc代表在真空状态下，第mmm个驻波在空间中的振动频率，通常二者不相等
E^m\hat E_mE^m表示场的偏振方向

在gain medium中，由这个驻波引致的电极化为（这是上一讲推导Maxwell-Bloch方程的中间结论）
P⃗m=2Nμ∗ρ21(m)(t)sin⁡(kmz)e−iwtE^m\vec P_m=2N\mu^*\rho_{21}^{(m)}(t)\sin(k_mz)e^{-iwt}\hat E_mPm=2Nμ∗ρ21(m)(t)sin(kmz)e−iwtE^m

NNN表示粒子的number density
μ∗=p⃗12⋅E^m∗\mu^*=\vec p_{12} \cdot \hat E_{m}^*μ∗=p12⋅E^m∗，也就是电偶极矩在偏振方向上的投影
ρ21(m)(t)\rho_{21}^{(m)}(t)ρ21(m)(t)是第mmm个驻波的density operator矩阵表示的coherence

所以总的电极化矢量为
P⃗=∑P⃗m\vec P = \sum \vec P_mP=∑Pm

Semiclassical Laser的基本方程

在上述模型中，我们唯一需要求解的未知量是slowly varying envelope Em\mathcal E_mEm，而基本方程就提供了Em\mathcal E_mEm的ODE，下面我们从波动方程出发，推导半古典激光的基本方程。

基本方程的推导

引入广义欧姆定律J⃗=σE⃗\vec J=\sigma \vec EJ=σE，其中σ\sigmaσ表示conductivity，将其代入Magnetic Field的旋度中并推导波动方程，得
(∂2∂z2−κc2∂∂t−1c2∂2∂t2)E⃗=1ϵ0c2∂2∂t2P⃗\left( \frac{\partial^2}{\partial z^2}-\frac{\kappa}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right)\vec E=\frac{1}{\epsilon_0c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\vec P(∂z2∂2−c2κ∂t∂−c21∂t2∂2)E=ϵ0c21∂t2∂2P

其中κ=σ/ϵ0\kappa=\sigma/\epsilon_0κ=σ/ϵ0，被称为phenomenological loss constant，单位是1/s1/s1/s；考虑第mmm个驻波，
(∂2∂z2−κc2∂∂t−1c2∂2∂t2)Em(t)sin⁡(kmz)e−iwt=1ϵ0c2∂2∂t22Nμ∗ρ21(m)(t)sin⁡(kmz)e−iwt\left( \frac{\partial^2}{\partial z^2}-\frac{\kappa}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right)\mathcal E_m(t)\sin(k_mz)e^{-iwt} \\ =\frac{1}{\epsilon_0c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}2N\mu^*\rho_{21}^{(m)}(t)\sin(k_mz)e^{-iwt}(∂z2∂2−c2κ∂t∂−c21∂t2∂2)Em(t)sin(kmz)e−iwt=ϵ0c21∂t2∂22Nμ∗ρ21(m)(t)sin(kmz)e−iwt

考虑SEVA与resonant approximation，
(−i(w−wm)+κ2+∂∂t)Em(t)=iwϵ0Nμ∗ρ21(m)(t)\left( -i(w-w_m)+\frac{\kappa}{2}+\frac{\partial}{\partial t}\right)\mathcal E_m(t)=\frac{iw}{\epsilon_0}N\mu^*\rho_{21}^{(m)}(t)(−i(w−wm)+2κ+∂t∂)Em(t)=ϵ0iwNμ∗ρ21(m)(t)

为了处理掉ρ21(m)(t)\rho_{21}^{(m)}(t)ρ21(m)(t)，我们可以考虑quasi-steady state solution，即用density operator的matrix component的薛定谔方程的steady state solution替换ρ21(m)(t)\rho_{21}^{(m)}(t)ρ21(m)(t)：
ρ21(m)(t)=−iμEm(t)2ℏβ−iΔβ2+Δ2(ρ22(m)−ρ11(m))\rho_{21}^{(m)}(t)=-\frac{i \mu \mathcal E_m(t)}{2 \hbar}\frac{\beta-i\Delta}{\beta^2+\Delta^2}(\rho_{22}^{(m)}-\rho_{11}^{(m)})ρ21(m)(t)=−2ℏiμEm(t)β2+Δ2β−iΔ(ρ22(m)−ρ11(m))

代换后可得
(−i(w−wm)+κ2+∂∂t)Em(t)=N∣μ∣2w2ϵ0ℏβ−iΔβ2+Δ2(ρ22(m)−ρ11(m))Em(t)\left( -i(w-w_m)+\frac{\kappa}{2}+\frac{\partial}{\partial t}\right)\mathcal E_m(t) \\=\frac{N|\mu|^2 w}{2 \epsilon_0 \hbar}\frac{\beta-i\Delta}{\beta^2+\Delta^2}(\rho_{22}^{(m)}-\rho_{11}^{(m)})\mathcal E_m(t)(−i(w−wm)+2κ+∂t∂)Em(t)=2ϵ0ℏN∣μ∣2wβ2+Δ2β−iΔ(ρ22(m)−ρ11(m))Em(t)

定义
N1=Nρ11,N2=Nρ22g=∣μ∣2w2ϵ0ℏββ2+Δ2(N2−N1)=σ(Δ)(N2−N1)δ=ΔβgN_1=N\rho_{11},N_2=N\rho_{22} \\ g =\frac{|\mu|^2w}{2 \epsilon_0 \hbar}\frac{\beta}{\beta^2+\Delta^2}(N_2-N1)=\sigma(\Delta)(N_2-N_1) \\ \delta = \frac{\Delta}{\beta}gN1=Nρ11,N2=Nρ22g=2ϵ0ℏ∣μ∣2wβ2+Δ2β(N2−N1)=σ(Δ)(N2−N1)δ=βΔg

其中N2N_2N2表示受激粒子的number density，N1N_1N1表示基态粒子的number density，ggg代表cross-section受激粒子增量，δ\deltaδ表示dispersion；由此可得基本方程：
∂∂tEm(t)=12[−κ+2i(w−wm)+c(g−iδ)]Em(t)\frac{\partial}{\partial t}\mathcal E_m(t)=\frac{1}{2}[-\kappa+2i(w-w_m)+c(g-i\delta)]\mathcal E_m(t)∂t∂Em(t)=21[−κ+2i(w−wm)+c(g−iδ)]Em(t)

Laser的光强

因为I∝E∗EI \propto \mathcal E^*\mathcal EI∝E∗E, 所以
dImdt∝Em∗(t)∂∂tEm(t)=12[−κ+2i(w−wm)+c(g−iδ)]∣Em(t)∣2∝(cg−κ)Im\frac{dI_m}{dt} \propto \mathcal E^*_m(t) \frac{\partial}{\partial t}\mathcal E_m(t) \\= \frac{1}{2}[-\kappa+2i(w-w_m)+c(g-i\delta)]|\mathcal E_m(t)|^2 \propto (cg-\kappa)I_mdtdIm∝Em∗(t)∂t∂Em(t)=21[−κ+2i(w−wm)+c(g−iδ)]∣Em(t)∣2∝(cg−κ)Im

定义gt=κ/cg_t=\kappa/cgt=κ/c为threshold gain，ΔNt=κcσ(Δ)\Delta N_t=\frac{\kappa}{c\sigma(\Delta)}ΔNt=cσ(Δ)κ为threshold inversion，则gt=σ(Δ)ΔNtg_t=\sigma(\Delta)\Delta N_tgt=σ(Δ)ΔNt，不同光源的threshold behavior有所不同，比如Laser在受激粒子增量超过threshold gain后，输出光强增量大幅上升。

基本方程的稳态解

假设∂∂tEm(t)=0\frac{\partial}{\partial t}\mathcal E_m(t)=0∂t∂Em(t)=0，可求得基本方程的稳态Laser frequency为
w=wm+gc2βw211+gc2βw=\frac{w_m+\frac{gc}{2\beta}w_{21}}{1+\frac{gc}{2\beta}}w=1+2βgcwm+2βgcw21

w21w_{21}w21为transition frequency，稳态解的本质是wmw_mwm与w21w_{21}w21的加权平均，所以Laser frequency本质上是被“拉”向共振频率：