数据结构-二叉树、完全二叉树、森林等(基础讲解)

1、基本术语：

度:有两种度“结点的度”与“树的度”。结点的度指的是一个结点子树的个数；树的度是指树中结点度的最大值。

叶子结点：指的是没有子树的结点。

层：树是有层次的，一般根结点为第0层。规定根结点到某结点的路径长度为该结点的层数。

深度：树中结点的最大层数

兄弟：同一双亲的结点，互为兄弟

堂兄弟：双亲在同一层次的结点，互为堂兄弟

祖先：从根结点到该结点的路径上的所有结点都是该结点的祖先。

子孙：以某一结点为根的子树上的所有结点都是该结点的子孙

森林：n棵互不相交的树

2、二叉树：

不同于树，结点的度<=2，而且子树有左右之分，如下图：

编号规则为从左到右、从上到下，如下图：

性质1：位于第i层的结点个数不大于2的i次方。

性质2：二叉树的深度为n，二叉树总的结点个数不大于2的n+1次方减去1。

性质3：叶子节点个数 = 度为2的结点个数 + 1

满二叉树：除了最底层的结点外，其余结点的度均为2，如下图

完全二叉树：
官方定义:若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树

(1)所有的叶结点都出现在第k层或k-l层（层次最大的两层）
(2)对任一结点，如果其右子树的最大层次为L，则其左子树的最大层次为L或L+l。

一棵二叉树至多只有最下面的两层上的结点的度数可以小于2，并且最下层上的结点都集中在该层最左边的若干位置上，则此二叉树成为完全二叉树，并且最下层上的结点都集中在该层最左边的若干位置上，而在最后一层上，右边的若干结点缺失的二叉树，则此二叉树成为完全二叉树。

性质1：编号为i的结点的双亲编号为i/2，结果取整

性质2：编号为i的结点的左孩子编号为2i，右孩子编号为2i+1

性质3:完全二叉树的结点总数为n，则该完全二叉树的高为log以2为底求n的对数，结果取整

二叉树的实现：

顺序存储：

对于完全二叉树和满二叉树可以利用完全二叉树的性质2来定位双亲和孩子的位置。如下图：

对于一般的二叉树，采取补值的方法将二叉树补成完全二叉树，再利用完全二叉树的顺序存储方式。

链式存储：

结点包含3个值：数据域、指向左子树的指针、指向右子树的指针

二叉树的遍历：

先根遍历：DLR 首先访问根结点然后遍历左子树，最后遍历右子树。在遍历左、右子树时，仍然先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。

中根遍历：LDR 首先遍历左子树然后访问根结点，最后遍历右子树。在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树。

后根遍历：LRD 首先遍历左子树然后遍历右子树，最后访问根结点。在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点。

树如何转换成二叉树？

步骤1：仅保留最左边孩子与根节点的连线，并连接兄弟结点。如下图,B是A最左边的孩子，所以保留A与B的连线，断开A与C，A与D的连线。B、C、D是兄弟，所以将BCD连接起来。对于以B、C、D为根的子树仍然按照这样的规则转换。

步骤2：左子树顺时针旋转45度，便得到了转换后的二叉树

二叉树如何转换成树？

步骤1：与树转换成二叉树的步骤相反，左子树逆时针旋转45度

步骤2：断开兄弟之间的连线，连接双亲。

森林如何转换成二叉树？

步骤1：每棵树都先转换为二叉树

步骤2：以第一棵树的根结点为根结点，将根结点依次连接起来

步骤3：按照根结点顺时针旋转45度

二叉树如何转换成森林？

步骤1：断开根结点与右子树的连线，对于右子树仍然按照规定断开与右子树的连线。这样得到多个二叉树

步骤2：将每棵二叉树转换为树

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