高等数学（第七版）同济大学习题7-3 个人解答

高等数学（第七版）同济大学习题7-3

1.求下列齐次方程的通解：\begin{aligned}&1. \ 求下列齐次方程的通解：&\end{aligned}1. 求下列齐次方程的通解：

(1)xy′−y−y2−x2=0； (2)xdydx=ylnyx；(3)(x2+y2)dx−xydy=0； (4)(x3+y3)dx−3xy2dy=0；(5)(2xsinyx+3ycosyx)dx−3xcosyxdy=0；(6)(1+2exy)dx+2exy(1−xy)dy=0.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ xy'-y-\sqrt{y^2-x^2}=0；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ x\frac{dy}{dx}=yln\ \frac{y}{x}；\\\\ &\ \ (3)\ \ (x^2+y^2)dx-xydy=0；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ (x^3+y^3)dx-3xy^2dy=0；\\\\ &\ \ (5)\ \ \left(2xsin\frac{y}{x}+3ycos\frac{y}{x}\right)dx-3xcos\frac{y}{x}dy=0；\\\\ &\ \ (6)\ \ (1+2e^{\frac{x}{y}})dx+2e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right)dy=0. & \end{aligned} (1) xy′−y−y2−x2=0； (2) xdxdy=yln xy； (3) (x2+y2)dx−xydy=0； (4) (x3+y3)dx−3xy2dy=0； (5) (2xsinxy+3ycosxy)dx−3xcosxydy=0； (6) (1+2eyx)dx+2eyx(1−yx)dy=0.

解：

(1)当x>0时，原方程为y′=yx+(yx)2−1，令u=yx，即y=xu，有y′=u+xu′，得原方程为u+xu′=u+u2−1，分离变量得，duu2−1=dxx，两端积分，得ln∣u+u2−1∣=ln∣x∣+lnC1，即u+u2−1=Cx(C=±C1)，将u=yx代入上式，得方程在(0,+∞)内的通解为y+y2−x2=Cx2.当x<0时，原方程为y′=yx−(yx)2−1，令u=yx，得原方程为duu2−1=−dxx，两端积分，得ln∣u+u2−1∣=lnC1−ln∣x∣，即u+u2−1=Cx(C=±C1)，将u=yx代入上式，得方程在(−∞,0)内的通解y−y2−x2=C.(2)原方程为dydx=yxlnyx，令u=yx，即y=xu，有dydx=u+xdudx，原方程为u+xdudx=ulnu，分离变量得duu(lnu−1)=dxx，两端积分，得ln∣lnu−1∣=ln∣x∣+lnC1，即lnu−1=±C1x，将u=yx代入上式，得lnyx=±C1x+1，所以方程通解为lnyx=Cx+1.(3)原方程为(xy+yx)dx−dy=0.令u=yx，即y=xu，有dy=udx+xdu，得原方程为(1u+u)dx−(udx+xdu)=0，即ddu=dxx，两端积分，得12u2=ln∣x∣+C1，将u=yx代入上式，得通解为y2=x2(2ln∣x∣+C).(4)原方程为13(x2y2+yx)dx−dy=0，令u=yx，即y=xu，有dy=udx+xdu，得原方程为13(1u2+u)dx−(udx+xdu)=0，分离变量得3u21−2u3du=1xdx，两端积分，得−12ln∣1−2u3∣=ln∣x∣+lnC1，即1−2u3=±1C12x2，将u=yx代入上式，得通解为x3−2y3=Cx.(5)原方程为23tanyx+yx−dydx=0，令u=yx，即y=xu，有dydx=u+xdudx，得原方程为23tnau+u−(u+xdudx)=0，分离变量得32dutanu=dxx，两端积分，得32ln∣sinu∣=ln∣x∣+lnC1，即sin3u=±C1x2，将u=yx代入上式，得通解为sin3yx=Cx2.(6)原方程为dxdy(1+2exy)+2exy(1−xy)=0，令u=xy，即x=yu，有dxdy=u+ydudy，得原方程为(u+ydudy)(1+2eu)+2eu(1−u)=0，整理并分离变量得1+2euu+2eudu+dyy=0，即d(u+2eu)u+2eu+dyy=0，两端积分，得ln∣u+2eu∣+ln∣y∣=lnC1，即y(u+2eu)=±C1，将u=xy代入上式，得通解为x+2yexy=C.\begin{aligned} &\ \ (1)\ 当x \gt 0 时，原方程为y'=\frac{y}{x}+\sqrt{\left(\frac{y}{x}\right)^2-1}，令u=\frac{y}{x}，即y=xu，有y'=u+xu'，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得原方程为u+xu'=u+\sqrt{u^2-1}，分离变量得，\frac{du}{\sqrt{u^2-1}}=\frac{dx}{x}，两端积分，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得ln\ |u+\sqrt{u^2-1}|=ln\ |x|+ln\ C_1，即u+\sqrt{u^2-1}=Cx\ (C=\pm C_1)，将u=\frac{y}{x}代入上式，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得方程在(0, \ +\infty)内的通解为y+\sqrt{y^2-x^2}=Cx^2.\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当x \lt 0时，原方程为y'=\frac{y}{x}-\sqrt{\left(\frac{y}{x}\right)^2-1}，令u=\frac{y}{x}，得原方程为\frac{du}{\sqrt{u^2-1}}=-\frac{dx}{x}，两端积分，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得ln\ |u+\sqrt{u^2-1}|=ln\ C_1-ln\ |x|，即u+\sqrt{u^2-1}=\frac{C}{x}\ (C=\pm C_1)，将u=\frac{y}{x}代入上式，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得方程在(-\infty, \ 0)内的通解y-\sqrt{y^2-x^2}=C.\\\\ &\ \ (2)\ 原方程为\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}ln\ \frac{y}{x}，令u=\frac{y}{x}，即y=xu，有\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}，原方程为u+x\frac{du}{dx}=uln\ u，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 分离变量得\frac{du}{u(ln\ u-1)}=\frac{dx}{x}，两端积分，得ln\ |ln\ u-1|=ln\ |x|+ln\ C_1，即ln\ u -1=\pm C_1x，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 将u=\frac{y}{x}代入上式，得ln\ \frac{y}{x}=\pm C_1x+1，所以方程通解为ln\ \frac{y}{x}=Cx+1.\\\\ &\ \ (3)\ 原方程为\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)dx-dy=0.令u=\frac{y}{x}，即y=xu，有dy=udx+xdu，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得原方程为\left(\frac{1}{u}+u\right)dx-(udx+xdu)=0，即ddu=\frac{dx}{x}，两端积分，得\frac{1}{2}u^2=ln\ |x|+C_1，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 将u=\frac{y}{x}代入上式，得通解为y^2=x^2(2ln\ |x|+C).\\\\ &\ \ (4)\ 原方程为\frac{1}{3}\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y}{x}\right)dx-dy=0，令u=\frac{y}{x}，即y=xu，有dy=udx+xdu，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得原方程为\frac{1}{3}\left(\frac{1}{u^2}+u\right)dx-(udx+xdu)=0，分离变量得\frac{3u^2}{1-2u^3}du=\frac{1}{x}dx，两端积分，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得-\frac{1}{2}ln\ |1-2u^3|=ln\ |x|+ln\ C_1，即1-2u^3=\pm \frac{1}{C_1^2x^2}，将u=\frac{y}{x}代入上式，得通解为x^3-2y^3=Cx.\\\\ &\ \ (5)\ 原方程为\frac{2}{3}tan\ \frac{y}{x}+\frac{y}{x}-\frac{dy}{dx}=0，令u=\frac{y}{x}，即y=xu，有\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得原方程为\frac{2}{3}tna\ u+u-\left(u+x\frac{du}{dx}\right)=0，分离变量得\frac{3}{2}\frac{du}{tan\ u}=\frac{dx}{x}，两端积分，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得\frac{3}{2}ln\ |sin\ u|=ln\ |x|+ln\ C_1，即sin^3\ u=\pm C_1x^2，将u=\frac{y}{x}代入上式，得通解为sin^3\frac{y}{x}=Cx^2.\\\\ &\ \ (6)\ 原方程为\frac{dx}{dy}(1+2e^{\frac{x}{y}})+2e^{\frac{x}{y}}(1-\frac{x}{y})=0，令u=\frac{x}{y}，即x=yu，有\frac{dx}{dy}=u+y\frac{du}{dy}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得原方程为\left(u+y\frac{du}{dy}\right)(1+2e^u)+2e^u(1-u)=0，整理并分离变量得\frac{1+2e^u}{u+2e^u}du+\frac{dy}{y}=0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 即\frac{d(u+2e^u)}{u+2e^u}+\frac{dy}{y}=0，两端积分，得ln\ |u+2e^u|+ln\ |y|=ln\ C_1，即y(u+2e^u)=\pm C_1，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 将u=\frac{x}{y}代入上式，得通解为x+2ye^{\frac{x}{y}}=C. & \end{aligned} (1) 当x>0时，原方程为y′=xy+(xy)2−1，令u=xy，即y=xu，有y′=u+xu′，得原方程为u+xu′=u+u2−1，分离变量得，u2−1du=xdx，两端积分，得ln ∣u+u2−1∣=ln ∣x∣+ln C1，即u+u2−1=Cx (C=±C1)，将u=xy代入上式，得方程在(0, +∞)内的通解为y+y2−x2=Cx2. 当x<0时，原方程为y′=xy−(xy)2−1，令u=xy，得原方程为u2−1du=−xdx，两端积分，得ln ∣u+u2−1∣=ln C1−ln ∣x∣，即u+u2−1=xC (C=±C1)，将u=xy代入上式，得方程在(−∞, 0)内的通解y−y2−x2=C. (2) 原方程为dxdy=xyln xy，令u=xy，即y=xu，有dxdy=u+xdxdu，原方程为u+xdxdu=uln u，分离变量得u(ln u−1)du=xdx，两端积分，得ln ∣ln u−1∣=ln ∣x∣+ln C1，即ln u−1=±C1x，将u=xy代入上式，得ln xy=±C1x+1，所以方程通解为ln xy=Cx+1. (3) 原方程为(yx+xy)dx−dy=0.令u=xy，即y=xu，有dy=udx+xdu，得原方程为(u1+u)dx−(udx+xdu)=0，即ddu=xdx，两端积分，得21u2=ln ∣x∣+C1，将u=xy代入上式，得通解为y2=x2(2ln ∣x∣+C). (4) 原方程为31(y2x2+xy)dx−dy=0，令u=xy，即y=xu，有dy=udx+xdu，得原方程为31(u21+u)dx−(udx+xdu)=0，分离变量得1−2u33u2du=x1dx，两端积分，得−21ln ∣1−2u3∣=ln ∣x∣+ln C1，即1−2u3=±C12x21，将u=xy代入上式，得通解为x3−2y3=Cx. (5) 原方程为32tan xy+xy−dxdy=0，令u=xy，即y=xu，有dxdy=u+xdxdu，得原方程为32tna u+u−(u+xdxdu)=0，分离变量得23tan udu=xdx，两端积分，得23ln ∣sin u∣=ln ∣x∣+ln C1，即sin3 u=±C1x2，将u=xy代入上式，得通解为sin3xy=Cx2. (6) 原方程为dydx(1+2eyx)+2eyx(1−yx)=0，令u=yx，即x=yu，有dydx=u+ydydu，得原方程为(u+ydydu)(1+2eu)+2eu(1−u)=0，整理并分离变量得u+2eu1+2eudu+ydy=0，即u+2eud(u+2eu)+ydy=0，两端积分，得ln ∣u+2eu∣+ln ∣y∣=ln C1，即y(u+2eu)=±C1，将u=yx代入上式，得通解为x+2yeyx=C.

2.求下列齐次方程满足所给初值条件的特解：\begin{aligned}&2. \ 求下列齐次方程满足所给初值条件的特解：&\end{aligned}2. 求下列齐次方程满足所给初值条件的特解：

(1)(y2−3x2)dy+2xydx=0，y∣x=0=1；(2)y′=xy+yx，y∣x=1=2；(3)(x2+2xy−y2)dx+(y2+2xy−x2)dy=0，y∣x=1=1.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ (y^2-3x^2)dy+2xydx=0，y|_{x=0}=1；\\\\ &\ \ (2)\ \ y'=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}，y|_{x=1}=2；\\\\ &\ \ (3)\ \ (x^2+2xy-y^2)dx+(y^2+2xy-x^2)dy=0，y|_{x=1}=1. & \end{aligned} (1) (y2−3x2)dy+2xydx=0，y∣x=0=1； (2) y′=yx+xy，y∣x=1=2； (3) (x2+2xy−y2)dx+(y2+2xy−x2)dy=0，y∣x=1=1.

解：

(1)原方程为1−3x2y2+2xydxdy=0，令u=xy，即x=yu，有dxdy=u+ydudy，得原方程为1−3u2+2u(u+ydudy)=0，分离变量得2uu2−1du=dyy，两端积分，得ln∣u2−1∣=ln∣y∣+lnC1，即u2−1=Cy，将u=xy代入上式，得通解为x2−y2=Cy3，根据初值条件x=0，y=1，得C=−1，特解为y3=y2−x2.(2)令u=yx，有y′=u+xu′，得原方程为u+xu′=1u+u，分离变量得udu=dxx，两端积分，得12u2=ln∣x∣+C，将u=yx代入上式，得通解为y2=2x2(ln∣x∣+C)，根据初值条件x=1，y=2，得C=2，特解为y2=2x2(lnx+2).(3)原方程为dydx+1+2yx−(yx)2(yx)2+2yx−1=0，令u=yx，有dydx=u+xdudx，得原方程为u+xdudx+1+2u−u2u2+2u−1=0，整理并分离变量得1−2u−u2u3+u2+u+1du=dxx，两端积分，得∫1−2u−u2u3+u2+u+1du=∫1−2u−u2(u+1)(u2+1)du=∫(1u+1−2uu2+1)du=ln∣u+1∣u2+1=ln∣x∣+lnC，所以，u+1u2+1=Cx，将u=yx代入上式，得通解为y+xy2+x2=C，根据初值条件x=1，y=1，得C=1，特解为x+yx2+y2=1.\begin{aligned} &\ \ (1)\ 原方程为1-3\frac{x^2}{y^2}+2\frac{x}{y}\frac{dx}{dy}=0，令u=\frac{x}{y}，即x=yu，有\frac{dx}{dy}=u+y\frac{du}{dy}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得原方程为1-3u^2+2u\left(u+y\frac{du}{dy}\right)=0，分离变量得\frac{2u}{u^2-1}du=\frac{dy}{y}，两端积分，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得ln\ |u^2-1|=ln\ |y|+ln\ C_1，即u^2-1=Cy，将u=\frac{x}{y}代入上式，得通解为x^2-y^2=Cy^3，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 根据初值条件x=0，y=1，得C=-1，特解为y^3=y^2-x^2.\\\\ &\ \ (2)\ 令u=\frac{y}{x}，有y'=u+xu'，得原方程为u+xu'=\frac{1}{u}+u，分离变量得udu=\frac{dx}{x}，两端积分，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得\frac{1}{2}u^2=ln\ |x|+C，将u=\frac{y}{x}代入上式，得通解为y^2=2x^2(ln\ |x|+C)，根据初值条件x=1，y=2，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得C=2，特解为y^2=2x^2(ln\ x+2).\\\\ &\ \ (3)\ 原方程为\frac{dy}{dx}+\frac{1+2\frac{y}{x}-\left(\frac{y}{x}\right)^2}{\left(\frac{y}{x}\right)^2+2\frac{y}{x}-1}=0，令u=\frac{y}{x}，有\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}，得原方程为u+x\frac{du}{dx}+\frac{1+2u-u^2}{u^2+2u-1}=0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 整理并分离变量得\frac{1-2u-u^2}{u^3+u^2+u+1}du=\frac{dx}{x}，两端积分，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得\int \frac{1-2u-u^2}{u^3+u^2+u+1}du=\int \frac{1-2u-u^2}{(u+1)(u^2+1)}du=\int \left(\frac{1}{u+1}-\frac{2u}{u^2+1}\right)du=ln\ \frac{|u+1|}{u^2+1}=ln\ |x|+ln\ C，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以，\frac{u+1}{u^2+1}=Cx，将u=\frac{y}{x}代入上式，得通解为\frac{y+x}{y^2+x^2}=C，根据初值条件x=1，y=1，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得C=1，特解为\frac{x+y}{x^2+y^2}=1. & \end{aligned} (1) 原方程为1−3y2x2+2yxdydx=0，令u=yx，即x=yu，有dydx=u+ydydu，得原方程为1−3u2+2u(u+ydydu)=0，分离变量得u2−12udu=ydy，两端积分，得ln ∣u2−1∣=ln ∣y∣+ln C1，即u2−1=Cy，将u=yx代入上式，得通解为x2−y2=Cy3，根据初值条件x=0，y=1，得C=−1，特解为y3=y2−x2. (2) 令u=xy，有y′=u+xu′，得原方程为u+xu′=u1+u，分离变量得udu=xdx，两端积分，得21u2=ln ∣x∣+C，将u=xy代入上式，得通解为y2=2x2(ln ∣x∣+C)，根据初值条件x=1，y=2，得C=2，特解为y2=2x2(ln x+2). (3) 原方程为dxdy+(xy)2+2xy−11+2xy−(xy)2=0，令u=xy，有dxdy=u+xdxdu，得原方程为u+xdxdu+u2+2u−11+2u−u2=0，整理并分离变量得u3+u2+u+11−2u−u2du=xdx，两端积分，得∫u3+u2+u+11−2u−u2du=∫(u+1)(u2+1)1−2u−u2du=∫(u+11−u2+12u)du=ln u2+1∣u+1∣=ln ∣x∣+ln C，所以，u2+1u+1=Cx，将u=xy代入上式，得通解为y2+x2y+x=C，根据初值条件x=1，y=1，得C=1，特解为x2+y2x+y=1.

3.设有联结点O(0,0)和A(1,1)的一段向上凸的曲线弧OA⌢，对于OA⌢上任一点P(x,y)，曲线弧OP⌢与直线段OP‾所围图形的面积为x2，求曲线弧OA⌢的方程.\begin{aligned}&3. \ 设有联结点O(0, \ 0)和A(1, \ 1)的一段向上凸的曲线弧\overset{\LARGE{\frown}}{OA}，对于\overset{\LARGE{\frown}}{OA}上任一点P(x, \ y)，曲线弧\overset{\LARGE{\frown}}{OP}与直线\\\\&\ \ \ \ \ 段\overline{OP}所围图形的面积为x^2，求曲线弧\overset{\LARGE{\frown}}{OA}的方程.&\end{aligned}3. 设有联结点O(0, 0)和A(1, 1)的一段向上凸的曲线弧OA⌢，对于OA⌢上任一点P(x, y)，曲线弧OP⌢与直线段OP所围图形的面积为x2，求曲线弧OA⌢的方程.

解：

设曲线弧方程为y=y(x)，根据题意，有∫0xy(x)dx−12xy(x)=x2，两端对x求导，得y(x)−12y(x)−12xy′(x)=2x，得微分方程y′=yx−4，令u=yx，有dydx=u+xdudx，则微分方程为dudx=−4x，两端积分，得u=−4lnx+C，将u=yx代入上式，得y=x(−4lnx+C)，因为曲线过点A(1,1)，得C=1，从而曲线弧的方程为y=x(1−4lnx).\begin{aligned} &\ \ 设曲线弧方程为y=y(x)，根据题意，有\int_{0}^{x}y(x)dx-\frac{1}{2}xy(x)=x^2，两端对x求导，\\\\ &\ \ 得y(x)-\frac{1}{2}y(x)-\frac{1}{2}xy'(x)=2x，得微分方程y'=\frac{y}{x}-4，令u=\frac{y}{x}，有\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}，则微分方程为\frac{du}{dx}=-\frac{4}{x}，\\\\ &\ \ 两端积分，得u=-4ln\ x+C，将u=\frac{y}{x}代入上式，得y=x(-4ln\ x+C)，因为曲线过点A(1, \ 1)，\\\\ &\ \ 得C=1，从而曲线弧的方程为y=x(1-4ln\ x). & \end{aligned} 设曲线弧方程为y=y(x)，根据题意，有∫0xy(x)dx−21xy(x)=x2，两端对x求导，得y(x)−21y(x)−21xy′(x)=2x，得微分方程y′=xy−4，令u=xy，有dxdy=u+xdxdu，则微分方程为dxdu=−x4，两端积分，得u=−4ln x+C，将u=xy代入上式，得y=x(−4ln x+C)，因为曲线过点A(1, 1)，得C=1，从而曲线弧的方程为y=x(1−4ln x).

4.化下列方程为齐次方程，并求出通解：\begin{aligned}&4. \ 化下列方程为齐次方程，并求出通解：&\end{aligned}4. 化下列方程为齐次方程，并求出通解：

(1)(2x−5y+3)dx−(2x+4y−6)dy=0；(2)(x−y−1)dx+(4y+x−1)dy=0；(3)(3y−7x+7)dx+(7y−3x+3)dy=0；(4)(x+y)dx+(3x+3y−4)dy=0.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ (2x-5y+3)dx-(2x+4y-6)dy=0；\\\\ &\ \ (2)\ \ (x-y-1)dx+(4y+x-1)dy=0；\\\\ &\ \ (3)\ \ (3y-7x+7)dx+(7y-3x+3)dy=0；\\\\ &\ \ (4)\ \ (x+y)dx+(3x+3y-4)dy=0. & \end{aligned} (1) (2x−5y+3)dx−(2x+4y−6)dy=0； (2) (x−y−1)dx+(4y+x−1)dy=0； (3) (3y−7x+7)dx+(7y−3x+3)dy=0； (4) (x+y)dx+(3x+3y−4)dy=0.

解：

(1)令x=X+h，y=Y+k，则dx=dX，dy=dY，原方程为(2X−5Y+2h−5k+3)dX−(2X+4Y+2h+4k−6)dY=0，令{2h−5k+3=0，2h+4k−6=0，解方程组得h=1，k=1，代入原方程得(2X−5Y)dX−(2X+4Y)dY=0，即dYdX=2X−5Y2X+4Y=2−5YX2+4YX，令u=YX，有dYdX=u+XdudX，则原方程为u+XdudX=2−5u2+4u，即4u+24u2+7u−2du=−1XdX，积分，∫4u+24u2+7u−2du=∫(23⋅1u+2+43⋅14u−1)du=23ln∣u+2∣+13ln∣4u−1∣=13ln∣(u+2)2(4u−1)∣=−ln∣X∣+lnC1，得ln∣(u+2)2(4u−1)∣=−ln∣X3∣+lnC2(C2=C13)，即(u+2)2(4u−1)X3=±C2，将u=YX代入上式，得(2X+Y)2(4Y−X)=±C2，将X=x−1，Y=y−1代入，得原方程通解为(2x+y−3)2(4y−x−3)=C.(2)原方程为dydx=−x+y+14y+x−1=y−(x−1)4y+(x−1)，令X=x−1，Y=y，则dx=dX，dy=dY，原方程化为dYdX=Y−X4Y+X=YX−14YX+1，令u=YX，有dYdX=u+XdudX，则原方程为4u+14u2+1du+1XdX=0，积分,∫(4u+14u2+1)du+∫1XdX=∫(4u4u2+1+14u2+1)du+∫dXx=12ln(4u2+1)+12arctan2u+ln∣X∣=C1，即ln[X2(4u2+1)]+arctan2u=C(C=2C1)，将u=YX=yx−1代入上式，得原方程通解为ln[4y2+(x−1)2]+arctan2yx−1=C.(3)令x=X+h，y=Y+k，则dx=dX，dy=dY，原方程为(3Y−7X+3k−7h+7)dX+(7Y−3X+7k−3h+3)dY=0，令{3k−7h+7=0，7k−3h+3=0，解方程组得h=1，k=0，原方程化为(3Y−7X)dX+(7Y−3X)dY=0，即dYdX=7X−3Y7Y−3X=7−3YX7YX−3，令u=YX，有dYdX=u+XdudX，则原方程为u+XdudX=7−3u7u−3，即7u−3u2−1du=−7dXX，两端积分，得∫(2u−1+5u+1)du=−7∫dXX，2ln∣u−1∣+5ln∣u+1∣=−7ln∣X∣+lnC1，即X7(u−1)2(u+1)5=±C1，将u=YX=yx−1代入上式，得原方程的通解为(y−x+1)2(y+x−1)5=C.(4)原方程写为dydx=x+y4−3(x+y)，令u=x+y，则dydx=dudx−1，原方程为dudx−1=u4−3u，即3u−4u−2du=2dx，两端积分，得∫3u−4u−2du=2∫dx，∫(3(u−2)u−2+2u−2)du=2∫dx，3u+2ln∣u−2∣=2x+C，将u=x+y代入上式，得原方程得通解为x+3y+2ln∣x+y−2∣=C.\begin{aligned} &\ \ (1)\ 令x=X+h，y=Y+k，则dx=dX，dy=dY，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 原方程为(2X-5Y+2h-5k+3)dX-(2X+4Y+2h+4k-6)dY=0，令\begin{cases}2h-5k+3=0，\\\\2h+4k-6=0，\end{cases}\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 解方程组得h=1，k=1，代入原方程得(2X-5Y)dX-(2X+4Y)dY=0，即\frac{dY}{dX}=\frac{2X-5Y}{2X+4Y}=\frac{2-5\frac{Y}{X}}{2+4\frac{Y}{X}}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 令u=\frac{Y}{X}，有\frac{dY}{dX}=u+X\frac{du}{dX}，则原方程为u+X\frac{du}{dX}=\frac{2-5u}{2+4u}，即\frac{4u+2}{4u^2+7u-2}du=-\frac{1}{X}dX，积分，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int \frac{4u+2}{4u^2+7u-2}du=\int \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{u+2}+\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{4u-1}\right)du=\frac{2}{3}ln\ |u+2|+\frac{1}{3}ln\ |4u-1|=\frac{1}{3}ln\ |(u+2)^2(4u-1)|=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ -ln\ |X|+ln\ C_1，得ln\ |(u+2)^2(4u-1)|=-ln\ |X^3|+ln\ C_2\ (C_2=C_1^3)，即(u+2)^2(4u-1)X^3=\pm C_2，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 将u=\frac{Y}{X}代入上式，得(2X+Y)^2(4Y-X)=\pm C_2，将X=x-1，Y=y-1代入，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得原方程通解为(2x+y-3)^2(4y-x-3)=C.\\\\ &\ \ (2)\ 原方程为\frac{dy}{dx}=\frac{-x+y+1}{4y+x-1}=\frac{y-(x-1)}{4y+(x-1)}，令X=x-1，Y=y，则dx=dX，dy=dY，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 原方程化为\frac{dY}{dX}=\frac{Y-X}{4Y+X}=\frac{\frac{Y}{X}-1}{\frac{4Y}{X}+1}，令u=\frac{Y}{X}，有\frac{dY}{dX}=u+X\frac{du}{dX}，则原方程为\frac{4u+1}{4u^2+1}du+\frac{1}{X}dX=0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 积分,\int \left(\frac{4u+1}{4u^2+1}\right)du+\int \frac{1}{X}dX=\int \left(\frac{4u}{4u^2+1}+\frac{1}{4u^2+1}\right)du+\int \frac{dX}{x}=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2}ln(4u^2+1)+\frac{1}{2}arctan\ 2u+ln\ |X|=C_1，即ln\ [X^2(4u^2+1)]+arctan\ 2u=C\ (C=2C_1)，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 将u=\frac{Y}{X}=\frac{y}{x-1}代入上式，得原方程通解为ln[4y^2+(x-1)^2]+arctan\frac{2y}{x-1}=C.\\\\ &\ \ (3)\ 令x=X+h，y=Y+k，则dx=dX，dy=dY，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 原方程为(3Y-7X+3k-7h+7)dX+(7Y-3X+7k-3h+3)dY=0，令\begin{cases}3k-7h+7=0，\\\\7k-3h+3=0，\end{cases}\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 解方程组得h=1，k=0，原方程化为(3Y-7X)dX+(7Y-3X)dY=0，即\frac{dY}{dX}=\frac{7X-3Y}{7Y-3X}=\frac{7-3\frac{Y}{X}}{7\frac{Y}{X}-3}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 令u=\frac{Y}{X}，有\frac{dY}{dX}=u+X\frac{du}{dX}，则原方程为u+X\frac{du}{dX}=\frac{7-3u}{7u-3}，即\frac{7u-3}{u^2-1}du=-7\frac{dX}{X}，两端积分，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得\int \left(\frac{2}{u-1}+\frac{5}{u+1}\right)du=-7\int \frac{dX}{X}，2ln\ |u-1|+5ln\ |u+1|=-7ln\ |X|+ln\ C_1，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 即X^7(u-1)^2(u+1)^5=\pm C_1，将u=\frac{Y}{X}=\frac{y}{x-1}代入上式，得原方程的通解为(y-x+1)^2(y+x-1)^5=C.\\\\ &\ \ (4)\ 原方程写为\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{4-3(x+y)}，令u=x+y，则\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}-1，原方程为\frac{du}{dx}-1=\frac{u}{4-3u}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 即\frac{3u-4}{u-2}du=2dx，两端积分，得\int \frac{3u-4}{u-2}du=2\int dx，\int \left(\frac{3(u-2)}{u-2}+\frac{2}{u-2}\right)du=2\int dx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 3u+2ln\ |u-2|=2x+C，将u=x+y代入上式，得原方程得通解为x+3y+2ln\ |x+y-2|=C. & \end{aligned} (1) 令x=X+h，y=Y+k，则dx=dX，dy=dY，原方程为(2X−5Y+2h−5k+3)dX−(2X+4Y+2h+4k−6)dY=0，令⎩⎨⎧2h−5k+3=0，2h+4k−6=0，解方程组得h=1，k=1，代入原方程得(2X−5Y)dX−(2X+4Y)dY=0，即dXdY=2X+4Y2X−5Y=2+4XY2−5XY，令u=XY，有dXdY=u+XdXdu，则原方程为u+XdXdu=2+4u2−5u，即4u2+7u−24u+2du=−X1dX，积分， ∫4u2+7u−24u+2du=∫(32⋅u+21+34⋅4u−11)du=32ln ∣u+2∣+31ln ∣4u−1∣=31ln ∣(u+2)2(4u−1)∣= −ln ∣X∣+ln C1，得ln ∣(u+2)2(4u−1)∣=−ln ∣X3∣+ln C2 (C2=C13)，即(u+2)2(4u−1)X3=±C2，将u=XY代入上式，得(2X+Y)2(4Y−X)=±C2，将X=x−1，Y=y−1代入，得原方程通解为(2x+y−3)2(4y−x−3)=C. (2) 原方程为dxdy=4y+x−1−x+y+1=4y+(x−1)y−(x−1)，令X=x−1，Y=y，则dx=dX，dy=dY，原方程化为dXdY=4Y+XY−X=X4Y+1XY−1，令u=XY，有dXdY=u+XdXdu，则原方程为4u2+14u+1du+X1dX=0，积分,∫(4u2+14u+1)du+∫X1dX=∫(4u2+14u+4u2+11)du+∫xdX= 21ln(4u2+1)+21arctan 2u+ln ∣X∣=C1，即ln [X2(4u2+1)]+arctan 2u=C (C=2C1)，将u=XY=x−1y代入上式，得原方程通解为ln[4y2+(x−1)2]+arctanx−12y=C. (3) 令x=X+h，y=Y+k，则dx=dX，dy=dY，原方程为(3Y−7X+3k−7h+7)dX+(7Y−3X+7k−3h+3)dY=0，令⎩⎨⎧3k−7h+7=0，7k−3h+3=0，解方程组得h=1，k=0，原方程化为(3Y−7X)dX+(7Y−3X)dY=0，即dXdY=7Y−3X7X−3Y=7XY−37−3XY，令u=XY，有dXdY=u+XdXdu，则原方程为u+XdXdu=7u−37−3u，即u2−17u−3du=−7XdX，两端积分，得∫(u−12+u+15)du=−7∫XdX，2ln ∣u−1∣+5ln ∣u+1∣=−7ln ∣X∣+ln C1，即X7(u−1)2(u+1)5=±C1，将u=XY=x−1y代入上式，得原方程的通解为(y−x+1)2(y+x−1)5=C. (4) 原方程写为dxdy=4−3(x+y)x+y，令u=x+y，则dxdy=dxdu−1，原方程为dxdu−1=4−3uu，即u−23u−4du=2dx，两端积分，得∫u−23u−4du=2∫dx，∫(u−23(u−2)+u−22)du=2∫dx， 3u+2ln ∣u−2∣=2x+C，将u=x+y代入上式，得原方程得通解为x+3y+2ln ∣x+y−2∣=C.