第1节 运输问题的数学模型

已知有mmm个生产地点Ai,i=1,2,…,mA_i, i=1,2,…,mAi​,i=1,2,…,m。可供应某种物资，其供应量(产量)分别为ai,i=1,2,…,ma_i, i=1,2,…,mai​,i=1,2,…,m，有nnn个销地Bj,j=1,2,…,nB_j, j=1,2,…,nBj​,j=1,2,…,n，其需要量分别为bj,j=1,2,…,nb_j, j=1,2,…,nbj​,j=1,2,…,n，从AiA_iAi​到BjB_jBj​运输单位物资的运价(单价)为cijc_{ij}cij​，这些数据可汇总于产销平衡表和单位运价表中，见表如下。有时可把这两表合二为一。

若用xijx_{ij}xij​表示从AiA_iAi​到BjB_jBj​的运量，那么在产销平衡的条件下，要求得总运费最小的调运方案的数学模型为：
min⁡z=∑i=1m∑j=1ncijxij\min z=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} c_{i j} x_{i j}minz=i=1∑m​j=1∑n​cij​xij​
s.t. {∑i=1mxij=bjj=1,2,⋯,n∑j=1nxij=aiji=1,2,⋯,mxij≥0\text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} \sum_{i=1}^{m} x_{i j}=b_{j} j=1,2, \cdots, n \\ \sum_{j=1}^{n} x_{i j}=a_{i j} i=1,2, \cdots, m \\ x_{i j} \geq 0 \end{array}\right. s.t. ⎩⎨⎧​∑i=1m​xij​=bj​j=1,2,⋯,n∑j=1n​xij​=aij​i=1,2,⋯,mxij​≥0​
这就是运输问题的数学模型。它包含m×nm×nm×n个变量，(m+n)(m+n)(m+n)个约束方程，其系数矩阵的结构比较松散，且特殊。

该系数矩阵中对应于变量xijx_{ij}xij​的系数向量PijP_{ij}Pij​，其分量中除第iii个和第m+jm+jm+j个为111以外，其余的都为零。即：
Pij=(0,…,1,0,…,0,1,0,…,0)T=ei+em+jP_{i j}=(0, \ldots, 1,0, \ldots, 0,1,0, \ldots, 0)^{\mathrm{T}}=e_{i}+e_{m+j}Pij​=(0,…,1,0,…,0,1,0,…,0)T=ei​+em+j​
对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：
∑j=1nbj=∑i=1m(∑j=1nxij)=∑j=1n(∑i=1mxij)=∑i=1mai\sum_{j=1}^{n} b_{j}=\sum_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n} x_{i j}\right)=\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{m} x_{i j}\right)=\sum_{i=1}^{m} a_{i}j=1∑n​bj​=i=1∑m​(j=1∑n​xij​)=j=1∑n​(i=1∑m​xij​)=i=1∑m​ai​

第2节 表上作业法

表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法，其实质是单纯形法。但具体计算和术语有所不同。可归纳为：
(1) 找出初始基可行解。即在(m×n)(m×n)(m×n)产销平衡表上用西北角法或最小元素法，Vogel法给出m+n−1m+n-1m+n−1个数字，称为数字格。它们就是初始基变量的取值。 。
(2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格的检验数，判别是否达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否则转到下一步。
(3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解。在表上用闭回路法调整。
(4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。

例1 某公司经销甲产品。它下设三个加工厂。每日的产量分别是：A1为7吨，A2为4吨，A3为9吨。该公司把这些产品分别运往四个销售点。各销售点每日销量为：B1为3吨，B2为6吨，B3为5吨，B4为6吨。已知从各工厂到各销售点的单位产品的运价为表3-3所示。问该公司应如何调运产品，在满足各销点的需要量的前提下，使总运费为最少。

解：先作出这问题的产销平衡表和单位运价表

2.1 确定初始基可行解

与一般线性规划问题不同，产销平衡的运输问题总是存在可行解。因有
∑i=1mai=∑j=1nbj=d\sum_{i=1}^{m} a_{i}=\sum_{j=1}^{n} \mathcal{b}_{j}=di=1∑m​ai​=j=1∑n​bj​=d
必存在xij≥0，i=1，…，m，j=1，…，nx_{ij}≥0，i=1，…，m，j=1，…，nxij​≥0，i=1，…，m，j=1，…，n，这就是可行解。又因0≤xij≤min(aj，bj)0≤x_{ij}≤min(aj，bj)0≤xij​≤min(aj，bj)，故运输问题必存在最优解。
确定初始基可行解的方法很多，有西北角法，最小元素法和伏格尔(Vogel)法。一般希望的方法是既简便，又尽可能接近最优解。下面介绍两种方法：

1. 最小元素法
   基本思想是就近供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定供销关系，然后次小。一直到给出初始基可行解为止。以例1进行讨论。
   第一步：从表3-3中找出最小运价为1，这表示先将A2的产品供应给B1。因a2＞b1，A2除满足B1的全部需要外，还可多余1吨产品。在表3-4的(A2，B1)的交叉格处填上3。得表3-5。并将表3-3的B1列运价划去。得表3-6。

第二步：在表3-6未划去的元素中再找出最小运价2，确定A2多余的1吨供应B3，并给出表3-7，表3-8。


第三步：在表3-8未划去的元素中再找出最小运价3；这样一步步地进行下去，直到单位运价表上的所有元素划去为止，最后在产销平衡表上得到一个调运方案，见表。这方案的总运费为86元。

用最小元素法给出的初始解是运输问题的基可行解，其理由为：
(1) 用最小元素法给出的初始解，是从单位运价表中逐次地挑选最小元素，并比较产量和销量。当产大于销，划去该元素所在列。当产小于销，划去该元素所在行。然后在未划去的元素中再找最小元素，再确定供应关系。这样在产销平衡表上每填入一个数字，在运价表上就划去一行或一列。表中共有m行n列，总共可划(n+m)条直线。但当表中只剩一个元素时，这时当在产销平衡表上填这个数字时，而在运价表上同时划去一行和一列。此时把单价表上所有元素都划去了，相应地在产销平衡表上填了(m+n-1)个数字。即给出了(m+n-1)个基变量的值。
(2) 这(m+n-1)个基变量对应的系数列向量是线性独立的。证若表中确定的第一个基变量为它对应的系数列向量为:
Pi1j1=ei1+em+j1P_{i_{1} j_{1}}=e_{i_{1}}+e_{m+j_{1}}Pi1​j1​​=ei1​​+em+j1​​
因当给定xi1j1x_{i_{1} j_{1}}xi1​j1​​的值后，将划去第i1i_1i1​行或第j1j_1j1​列，
即其后的系数列向量中再不出现ei1e_{i_1}ei1​​或e_{m+j 1}，
因而Pi1j1P_{i_{1} j_{1}}Pi1​j1​​不可能用解中的其他向量的线性组合表示。
类似地给出第二个，…，第(m+n-1)个。
这(m+n-1)个向量都不可能用解中的其他向量的线性组合表示。故这(m+n-1)个向量是线性独立的。
用最小元素法给出初始解时，有可能在产销平衡表上填入一个数字后，在单位运价表上同时划去一行和一列。这时就出现退化。关于退化时的处理将在2.4节中讲述。
2. 伏格尔法
最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有时造成在其他处要多花几倍的运费。伏格尔法考虑到，一产地的产品假如不能按最小运费就近供应，就考虑次小运费，这就有一个差额。差额越大，说明不能按最小运费调运时，运费增加越多。因而对差额最大处，就应当采用最小运费调运。
伏格尔法的步骤是：
第一步：在表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行，见表。

第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列中的最小元素。在表3-10中B2列是最大差额所在列。B2列中最小元素为4，可确定A3的产品先供应B2的需要。得表

同时将运价表中的B2列数字划去。如表所示

第三步：对表3-12中未划去的元素再分别计算出各行、各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行。重复第一、二步。直到给出初始解为止。用此法给出例1的初始解列于表如下。

由以上可见：伏格尔法同最小元素法除在确定供求关系的原则上不同外，其余步骤相同。伏格尔法给出的初始解比用最小元素法给出的初始解更接近最优解。

本例用伏格尔法给出的初始解就是最优解。

2.2 最优解的判别

判别的方法是计算空格(非基变量)的检验数cij−CBB−1Pij，i,j∈Nc_{ij}−C_BB^{-1}P_{ij}，i,j∈Ncij​−CB​B−1Pij​，i,j∈N。因运输问题的目标函数是要求实现最小化，故当所有的cij−CBB−1Pij≥0c_{ij}−C_BB^{-1}P_{ij}≥0cij​−CB​B−1Pij​≥0时，为最优解。下面介绍两种求空格检验数的方法。
1.闭回路法
在给出调运方案的计算表上，如下表，从每一空格出发找一条闭回路。它是以某空格为起点。用水平或垂直线向前划，当碰到一数字格时可以转90°后，继续前进，直到回到起始空格为止。闭回路如图的(a),(b),©等所示。


从每一空格出发一定存在和可以找到唯一的闭回路。因(m+n−1)(m+n-1)(m+n−1)个数字格(基变量)对应的系数向量是一个基。任一空格(非基变量)对应的系数向量是这个基的线性组合。如Pij,i,j∈NP_{ij}, i,j∈NPij​,i,j∈N可表示为
Pij=ei+em+j=ei+em+k−em+k+el−el+em+s−em+s+eu−eu+em+j=(ei+em+k)−(el+em+k)+(el+em+s)−(eu+em+s)+(eu+em+j)=Pik−Plk+Pls−Pus+Puj\begin{aligned} P_{i j} &=e_{i}+e_{m+j} \\ &=e_{i}+e_{m+k}-e_{m+k}+e_{l}-e_{l}+e_{m+s}-e_{m+s}+e_{u}-e_{u}+e_{m+j} \\ &=\left(e_{i}+e_{m+k}\right)-\left(e_{l}+e_{m+k}\right)+\left(e_{l}+e_{m+s}\right)-\left(e_{u}+e_{m+s}\right) \\ &+\left(e_{u}+e_{m+j}\right) \\ &=P_{i k}-P_{l k}+P_{l s}-P_{u s}+P_{u j} \end{aligned}Pij​​=ei​+em+j​=ei​+em+k​−em+k​+el​−el​+em+s​−em+s​+eu​−eu​+em+j​=(ei​+em+k​)−(el​+em+k​)+(el​+em+s​)−(eu​+em+s​)+(eu​+em+j​)=Pik​−Plk​+Pls​−Pus​+Puj​​
其中Pik,Plk,Pls,Pus,Puj∈BP_{ik},P_{lk},P_{ls},P_{us},P_{uj}∈BPik​,Plk​,Pls​,Pus​,Puj​∈B。而这些向量构成了闭回路。

闭回路法计算检验数的经济解释为：在已给出初始解的表3-9中，可从任一空格出发，如(A1，B1)。若让A1的产品调运1吨给B1。为了保持产销平衡，就要依次作调整：
在(A1，B3)处减少1吨，(A2，B3)处增加1吨，(A2，B1)处 减少1吨，即构成了以(A1，B1)空格为起点，其他为数字格的闭回路。如表3-14中的虚线所示。在这表中闭回路各顶点所在格的右上角数字是单位运价。

可见这调整的方案使运费增加
(+1)×3+(−1)×3+(+1)×2+(−1)×1=1(元)(+1)×3+(−1)×3+(+1)×2+(−1)×1=1(元)(+1)×3+(−1)×3+(+1)×2+(−1)×1=1(元)
这表明若这样调整运量将增加运费。将“1”这个数填入(A1，B1)格，这就是检验数。按以上所述，可找出所有空格的检验数，见上表。

当检验数还存在负数时，说明原方案不是最优解，要继续改进，改进方法见2.3小节。
2. 位势法
用闭回路法求检验数时，需给每一空格找一条闭回路。当产销点很多时，这种计算很繁。下面介绍较为简便的方法——位势法。
设u1，u2，…，um;v1，v2，…，vnu_1，u_2，…，u_m; v_1，v_2，…，v_nu1​，u2​，…，um​;v1​，v2​，…，vn​是对应运输问题的m+n个约束条件的对偶变量。B是含有一个人工变量x_a的(m+n)×(m+n)初始基矩阵。人工变量x_a在目标函数中的系数c_a=0，从线性规划的对偶理论可知：
CBB−1=(u1,u2,⋯,um;v1,v2,⋯,vn)C_{B} B^{-1}=\left(u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{m} ; v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right)CB​B−1=(u1​,u2​,⋯,um​;v1​,v2​,⋯,vn​)
而每个决策变量xijx_{ij}xij​的系数向量Pij=ei+em+jP_{ij}=e_i+e_{m+j}Pij​=ei​+em+j​，所以CBB−1Pij=ui+vjC_BB^{-1}P_{ij}=u_i+v_jCB​B−1Pij​=ui​+vj​。于是检验数
σij=cij−CBB−1Pij=cij−(ui+vj)\sigma_{i j}=c_{i j}-C_{B} B^{-1} P_{i j}=c_{i j}-\left(u_{i}+v_{j}\right)σij​=cij​−CB​B−1Pij​=cij​−(ui​+vj​)
由单纯形法得知所有基变量的检验数等于0。即
cij−(ui+vj)=0.i,j∈Bc_{i j}-\left(u_{i}+v_{j}\right)=0 . \quad i, j \in Bcij​−(ui​+vj​)=0.i,j∈B
例如，在例1的由最小元素法得到的初始解中x23，x34，x21，x32，x13，x14x_{23}，x_{34}，x_{21}，x_{32}，x_{13}，x_{14}x23​，x34​，x21​，x32​，x13​，x14​是基变量。xax_axa​为人工变量，对应的检验数是
xaca−u1=0∵ca=0∴u1=0即 2−(u2+v3)=0x23c23−(u2+v3)=0x34c34−(u3+v4)=05−(u3+v4)=0x21c21−(u2+v1)=01−(u2+v1)=0x32c32−(u3+v2)=04−(u3+v2)=0x13c13−(u1+v3)=03−(u1+v3)=0x14c14−(u1+v4)=010−(u1+v4)=0\begin{aligned} &x_{a} \quad c_{a}-u_{1}=0 \quad \because c_{a}=0 \quad \therefore u_{1}=0\\ &\text { 即 } 2-\left(\mathrm{u}_{2}+\mathrm{v}_{3}\right)=0\\ &x_{23} \quad c_{23}-\left(u_{2}+v_{3}\right)=0\\ &x_{34} \quad c_{34}-\left(u_{3}+v_{4}\right)=0 \quad 5-\left(u_{3}+v_{4}\right)=0\\ &x_{21} \quad c_{21}-\left(u_{2}+v_{1}\right)=0 \quad 1-\left(u_{2}+v_{1}\right)=0\\ &x_{32} \quad c_{32}-\left(u_{3}+v_{2}\right)=0 \quad 4-\left(u_{3}+v_{2}\right)=0\\ &x_{13} \quad c_{13}-\left(u_{1}+v_{3}\right)=0 \quad 3-\left(u_{1}+v_{3}\right)=0\\ &x_{14} \quad c_{14}-\left(u_{1}+v_{4}\right)=0 \quad 10-\left(u_{1}+v_{4}\right)=0 \end{aligned}​xa​ca​−u1​=0∵ca​=0∴u1​=0 即 2−(u2​+v3​)=0x23​c23​−(u2​+v3​)=0x34​c34​−(u3​+v4​)=05−(u3​+v4​)=0x21​c21​−(u2​+v1​)=01−(u2​+v1​)=0x32​c32​−(u3​+v2​)=04−(u3​+v2​)=0x13​c13​−(u1​+v3​)=03−(u1​+v3​)=0x14​c14​−(u1​+v4​)=010−(u1​+v4​)=0​

从以上7个方程中,由u1=0u_1=0u1​=0可求得
u2=−1,u3=−5,v1=2,v2=9,v3=3,v4=10u_2= −1,u_3= −5,v_1=2,v_2=9,v_3=3,v_4=10u2​=−1,u3​=−5,v1​=2,v2​=9,v3​=3,v4​=10

因非基变量的检验数为
σij=cij−(ui+vj).i,j∈N\sigma_{i j}=c_{i j}-\left(u_{i}+v_{j}\right) . \quad i, j \in Nσij​=cij​−(ui​+vj​).i,j∈N
这就可以从已知的ui，vju_i，v_jui​，vj​值中求得。这些计算可在表格中进行。
以例1说明。
第一步：按最小元素法给出表3-9的初始解，然后做表3-16；即在对应表3-9的数字格处填入单位运价，见表3-16。

第二步：在上表上增加一行一列，在列中填入uiu_iui​，在行中填入vjv_jvj​，得下表。

先令u1=0u_1=0u1​=0，然后按ui+vj=ciju_i+v_j=c_{ij}ui​+vj​=cij​， i，j∈Bi，j∈Bi，j∈B相继地确定uiu_iui​，vjv_jvj​。由表3-17可见，当u1=0u_1=0u1​=0时，由u1+v3=3u_1+v_3=3u1​+v3​=3可得v3=3v_3=3v3​=3，由u1+v4=10u_1+v_4=10u1​+v4​=10可得v4=10v_4=10v4​=10；在v4=10v_4=10v4​=10时，由u3+v4=5u_3+v_4=5u3​+v4​=5可得u3=−5u_3= −5u3​=−5，以此类推可确定所有的uiu_iui​，vjv_jvj​的数值。

第三步：按σij=cij−(ui+vj),i,j∈Nσ_{ij}=c_{ij} −(u_i+v_j), i,j∈Nσij​=cij​−(ui​+vj​),i,j∈N计算所有空格的检验数。如
σ11=c11−(u1+v1)=3−(0+2)=1σ_{11}=c_{11} − (u_1+v_1)=3 − (0+2)=1σ11​=c11​−(u1​+v1​)=3−(0+2)=1
σ12=c12−(u1+v2)=11−(0+9)=2σ_{12}=c_{12} − (u_1+v_2)=11 − (0+9)=2σ12​=c12​−(u1​+v2​)=11−(0+9)=2
这些计算可直接在表3-17上进行。为方便，特设计计算表3-18如下：

表3-18 中还有负检验数。说明未得最优解，还可以改进。

2.3 改进的方法——闭回路调整法

当在表中空格处出现负检验数时，表明未得最优解。若有两个和两个以上的负检验数时，一般选其中最小的负检验数，以它对应的空格为调入格。即以它对应的非基变量为换入变量。由表得(2，4)为调入格。以此格为出发点，作一闭回路，如下表所示。

(2，4)格的调入量θ是选择闭回路上具有(-1)的数字格中的最小者。即θ=min(1,3)=1(其原理与单纯形法中按θ规划来确定换出变量相同)。然后按闭回路上的正、负号，加入和减去此值，得到调整方案，如表3-20所示。

对给出的解，再用闭回路法或位势法求各空格的检验数，见下表。表中的所有检验数都非负，故解为最优解。这时得到的总运费最小是85元。

2.4 表上作业法计算中的问题

1. 无穷多最优解
   在本章2.1节中提到，产销平衡的运输问题必定存在最优解。那么有唯一最优解还是无穷多最优解? 判别依据与第1章3.3节讲述的相同。即某个非基变量(空格)的检验数为0时，该问题有无穷多最优解。空格(1，1)的检验数是0，表明例1有无穷多最优解。可在表3-20中以(1，1)为调入格，作闭回路
   (1,1)+−(1,4)−−(2,4)+−(2,1)−−(1,1)+(1,1)_{+}-(1,4)_{-}-(2,4)_{+}-(2,1)_{-}-(1,1)_{+}(1,1)+​−(1,4)−​−(2,4)+​−(2,1)−​−(1,1)+​
   确定θ=min(2,3)=2。经调整后得到另一最优解，见表。
   
2. 退化
   用表上作业法求解运输问题当出现退化时，在相应的格中一定要填一个0，以表示此格为数字格。有以下两种情况：
   (1) 当确定初始解的各供需关系时，若在(i,j)格填入某数字后，出现Ai处的余量等于BjB_jBj​处的需量。这时在产销平衡表上填一个数，而在单位运价表上相应地要划去一行和一列。为了使在产销平衡表上有(m+n-1)个数字格。这时需要添一个“0”。它的位置可在对应同时划去的那行或那列的任一空格处。如表3-23，表3-24所示。因第一次划去第一列，剩下最小元素为2，其对应的销地B2，需要量为6，而对应的产地A3未分配量也是6。这时在产销表(3，2)交叉格中填入6，这时在单位运价表中需同时划去B2列和A3行。在表3-23的空格(1，2)，(2，2)，(3，3)，(3，4)中任选一格添加一个0
   
   
   (2) 在用闭回路法调整时，在闭回路上出现两个和两个以上的具有(-1)标记的相等的最小值。这时只能选择其中一个作为调入格。而经调整后，得到退化解。这时另一个数字格必须填入一个0，表明它是基变量。当出现退化解后，并作改进调整时，可能在某闭回路上有标记为(-1)的取值为0的数字格，这时应取调整量θ=0。

第3节 产销不平衡的运输问题及其求解方法

前面所讲表上作业法，都是以产销平衡为前提条件的；但是实际问题中产销往往是不平衡的。就需要把产销不平衡的问题化成产销平衡的问题。
当产大于销时
∑i=1mai>∑j=1nbj\sum_{i=1}^{m} a_{i}>\sum_{j=1}^{n} b_{j}i=1∑m​ai​>j=1∑n​bj​
运输问题的数学模型可写成
min⁡z=∑i=1m∑j=1ncijxij\min z=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} c_{i j} x_{i j}minz=i=1∑m​j=1∑n​cij​xij​
{∑j=1nxij≤ai,(i=1,2,⋯,m)∑i=1mxij≤bj,(j=1,2,⋯,n)xij≥0\left\{\begin{array}{l} \sum_{j=1}^{n} x_{i j} \leq a_{i}, \quad(i=1,2, \cdots, m) \\ \sum_{i=1}^{m} x_{i j} \leq b_{j}, \quad(j=1,2, \cdots, n) \\ x_{i j} \geq 0 \end{array}\right.⎩⎨⎧​∑j=1n​xij​≤ai​,(i=1,2,⋯,m)∑i=1m​xij​≤bj​,(j=1,2,⋯,n)xij​≥0​
由于总的产量大于销量，就要考虑多余的物资在哪一个产地就地储存的问题。设xi,n+1x_{i, n+1}xi,n+1​是产地AiA_iAi​的储存量，于是有：
∑j=1nxij+xi,n+1=∑j=1n+1xij=ai,(i=1,2,⋯,m)∑i=1mxij=bj(j=1,2,⋯,n)∑i=1mxi,n+1=∑i=1mai−∑j=1nbj=bn+1\begin{array}{l} \sum_{j=1}^{n} x_{i j}+x_{i, n+1}=\sum_{j=1}^{n+1} x_{i j}=a_{i}, \quad(i=1,2, \cdots, m) \\ \sum_{i=1}^{m} x_{i j}=b_{j} \quad(j=1,2, \cdots, n) \\ \sum_{i=1}^{m} x_{i, n+1}=\sum_{i=1}^{m} a_{i}-\sum_{j=1}^{n} b_{j}=b_{n+1} \end{array}∑j=1n​xij​+xi,n+1​=∑j=1n+1​xij​=ai​,(i=1,2,⋯,m)∑i=1m​xij​=bj​(j=1,2,⋯,n)∑i=1m​xi,n+1​=∑i=1m​ai​−∑j=1n​bj​=bn+1​​
令cij′=cijc_{i j}^{\prime}=c_{i j}cij′​=cij​,当 i=1,…，m，j=1,…，n时
cij′=0c_{i j}^{\prime}=0cij′​=0,当 i=1,…，m，j=n+1时
将其分别代入，得到
min⁡z=∑i=1m∑j=1n+1cij′xij=∑i=1m∑j=1ncij′xij+∑i=1mci,n+1=∑i=1m∑j=1ncijxij\begin{aligned} \min z &=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n+1} c_{i j}^{\prime} x_{i j}=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} c_{i j}^{\prime} x_{i j}+\sum_{i=1}^{m} c_{i, n+1} \\ &=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} c_{i j} x_{i j} \end{aligned}minz​=i=1∑m​j=1∑n+1​cij′​xij​=i=1∑m​j=1∑n​cij′​xij​+i=1∑m​ci,n+1​=i=1∑m​j=1∑n​cij​xij​​
{∑j=1n+1xij=ai∑i=1mxij=bjxij≥0\left\{\begin{array}{l} \sum_{j=1}^{n+1} x_{i j}=a_{i} \\ \sum_{i=1}^{m} x_{i j}=b_{j} \\ x_{i j} \geq 0 \end{array}\right.⎩⎨⎧​∑j=1n+1​xij​=ai​∑i=1m​xij​=bj​xij​≥0​
由于该模型中有
∑i=1mai=∑j=1nbj+bn+1=∑j=1n+1bj\sum_{i=1}^{m} a_{i}=\sum_{j=1}^{n} b_{j}+b_{n+1}=\sum_{j=1}^{n+1} b_{j}i=1∑m​ai​=j=1∑n​bj​+bn+1​=j=1∑n+1​bj​
所以这是一个产销平衡的运输问题。
当产大于销时，只要增加一个假想的销地j=n+1(实际上是储存)，该销地总需要量为
∑i=1mai−∑j=1nbj\sum_{i=1}^{m} a_{i}-\sum_{j=1}^{n} b_{j}i=1∑m​ai​−j=1∑n​bj​
而在单位运价表中从各产地到假想销地的单位运价为，
ci,n+1=0c_{i, n+1}=0ci,n+1​=0 就转化成一个产销平衡的运输问题。
当销大于产时，可以在产销平衡表中增加一个假想的产地i=m+1，该地产量为

∑j=1nbj−∑i=1maj\sum_{j=1}^{n} b_{j}-\sum_{i=1}^{m} a_{j}j=1∑n​bj​−i=1∑m​aj​
在单位运价表上令从该假想产地到各销地的运价，
ci,n+1=0c_{i, n+1}=0ci,n+1​=0同样可以转化为一个产销平衡的运输问题。
例2 设有三个化肥厂(A，B，C)供应四个地区(Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ)(Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ)(Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ)的农用化肥。假定等量的化肥在这些地区使用效果相同。各化肥厂年产量，各地区年需要量及从各化肥厂到各地区运送单位化肥的运价如表3-25所示。试求出总的运费最节省的化肥调拨方案。

解：这是一个产销不平衡的运输问题，总产量为160万吨，四个地区的最低需求为110万吨，最高需求为无限。根据现有产量，第Ⅳ个地区每年最多能分配到60万吨，这样最高需求为210万吨，大于产量。为了求得平衡，在产销平衡表中增加一个假想的化肥厂D，其年产量为50万吨。由于各地区的需要量包含两部分，如地区Ⅰ，其中30万吨是最低需求，故不能由假想化肥厂D供给，令相应运价为M(任意大正数)，而另一部分20万吨满足或不满足均可以，因此可以由假想化肥厂D供给，按前面讲的，令相应运价为0。对凡是需求分两种情况的地区，实际上可按照两个地区看待。这样可以写出这个问题的产销平衡表和单位运价表。

产销平衡表(上表),单位运价表(下表)


根据表上作业法计算，可以求得这个问题的最优方案如表

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