陈宝林《最优化理论与算法》详细学习笔记（三）————单纯形法

数学模型
最优性检验与解的判别
- 最优解的判别定理
- 无穷多最优解判别定理
- 无界解判别定理
- 其他情形
第三章单纯形法
- 单纯形表
- - 单纯形表
  - 计算步骤
- 人工变量法
- - 大M法
  - 两阶段法
- 退化

一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数，这时有不定的解。于是，我们有选择地选择一个基本可行解，也就是可行域的一个顶点，沿着可行域的边界到下一个相邻的顶点，要求新的顶点目标值函数更优，如此迭代，直至找到最优解，或判定该最优化问题无界。这就是单纯形法的基本求解思路

数学模型

给定标准形式的LP
min⁡cx\min {\mathcal{ cx}}mincx
s.t. Ax=b,A x=b,Ax=b, i=1,2,…,mi=1,2, \dots, mi=1,2,…,m, x≥0x \geq 0x≥0
x=(xB,xN),xBx=\left(x_{B}, x_{N}\right), x_{B}x=(xB,xN),xB 为基变量, xNx_{N}xN 为非基变量
利用分块矩阵
A=[B,N]Ax=b⇒BxB+NxN=b⇒xB+B−1NxN=B−1b⇒xB=B−1b−B−1xN\begin{array}{l} A=[B, N] \\ A x=b \Rightarrow B x_{B}+N x_{N}=b \Rightarrow \\ x_{B}+B^{-1} N x_{N}=B^{-1} b \Rightarrow x_{B}=B^{-1} b-B^{-1} x_{N} \end{array}A=[B,N]Ax=b⇒BxB+NxN=b⇒xB+B−1NxN=B−1b⇒xB=B−1b−B−1xN
于是目标函数
z=cB′xB+cN′xN=cB′(B−1b−B−1NxN)+cN′xN=cB′B−1b+(cN′−cB′B−1N)xN\begin{aligned} z &=c_{B}^{\prime} x_{B}+c_{N}^{\prime} x_{N} \\ &=c_{B}^{\prime}\left(B^{-1} b-B^{-1} N x_{N}\right)+c_{N}^{\prime} x_{N} \\ &=c_{B}^{\prime} B^{-1} b+\left(c_{N}^{\prime}-c_{B}^{\prime} B^{-1} N\right) x_{N} \end{aligned}z=cB′xB+cN′xN=cB′(B−1b−B−1NxN)+cN′xN=cB′B−1b+(cN′−cB′B−1N)xN
上式中(cN′−cB′B−1N)\left(c_{N}^{\prime}-c_{B}^{\prime} B^{-1} N\right)(cN′−cB′B−1N)的分量cˉj=cj−cB′B−1Aj\bar{c}_{j}=c_{j}-c_{B}^{\prime} B^{-1} A_{j}cˉj=cj−cB′B−1Aj为约化（缩减）费用，于是有基本可行解xxx与基BBB相关联；若约化费用cˉ>0\bar{c}>0cˉ>0则可以推出xxx为最优；xxx为最优且非退化可以推出cˉ>0\bar{c}>0cˉ>0。

最优性检验与解的判别

由于线性规划问题的求解可能出现唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解等四种情况，因此，需要建立解的判别准则。
xi=bi′−∑j=m+1naij′xj,(i=1,2,⋯n)x_{i}=b_{i}^{\prime}-\sum_{j=m+1}^{n} a_{i j}^{\prime} x_{j}, \quad(i=1,2, \cdots n)xi=bi′−j=m+1∑naij′xj,(i=1,2,⋯n)
将上式代入目标函数式，整理可得
z=∑j=1ncjxj=∑i=1mcixi+∑j=m+1ncjxj=∑i=1mci(bi−∑j=m+1naijxj)+∑j=m+1ncjxj=∑i=1mcibi−∑i=1mci∑j=m+1naijxj+∑j=m+1ncjxj=∑i=1mcibi−∑j=m+1n∑i=1mciaijxj+∑j=m+1ncjxj=∑i=1mcibi+∑j=m+1n(cj−∑i=1mciaij)xj\begin{aligned} z &=\sum_{j=1}^{n} c_{j} x_{j}=\sum_{i=1}^{m} c_{i} x_{i}+\sum_{j=m+1}^{n} c_{j} x_{j}=\sum_{i=1}^{m} c_{i}\left(b_{i}-\sum_{j=m+1}^{n} a_{i j} x_{j}\right)+\sum_{j=m+1}^{n} c_{j} x_{j} \\ &=\sum_{i=1}^{m} c_{i} b_{i}-\sum_{i=1}^{m} c_{i} \sum_{j=m+1}^{n} a_{i j} x_{j}+\sum_{j=m+1}^{n} c_{j} x_{j} \\ &=\sum_{i=1}^{m} c_{i} b_{i}-\sum_{j=m+1}^{n} \sum_{i=1}^{m} c_{i} a_{i j} x_{j}+\sum_{j=m+1}^{n} c_{j} x_{j} \\ &=\sum_{i=1}^{m} c_{i} b_{i}+\sum_{j=m+1}^{n}\left(c_{j}-\sum_{i=1}^{m} c_{i} a_{i j}\right) x_{j} \end{aligned}z=j=1∑ncjxj=i=1∑mcixi+j=m+1∑ncjxj=i=1∑mci(bi−j=m+1∑naijxj)+j=m+1∑ncjxj=i=1∑mcibi−i=1∑mcij=m+1∑naijxj+j=m+1∑ncjxj=i=1∑mcibi−j=m+1∑ni=1∑mciaijxj+j=m+1∑ncjxj=i=1∑mcibi+j=m+1∑n(cj−i=1∑mciaij)xj

最优解的判别定理

无穷多最优解判别定理

若X(0)=(b1′,b2′,⋯,bm′,0,⋯,0)TX^{(0)}=\left(b_{1}^{\prime}, b_{2}^{\prime}, \cdots, b_{m}^{\prime}, 0, \cdots, 0\right)^{T}X(0)=(b1′,b2′,⋯,bm′,0,⋯,0)T为对应于基BBB的一个基可行解，且对于一切j=m+1,…,nj=m+1, \ldots, nj=m+1,…,n有σj≤0\sigma_{j} \leq 0σj≤0，又存在某个非基变量的检验数σm+k=0\sigma_{m+k}=0σm+k=0，则线性规划问题有无穷多最优解。
简要证明思路如下：只需将非基变量xm+k=0x_{m+k}=0xm+k=0换入基变量中，找到一个新基可行解X(1)X^{(1)}X(1)。因为σm+k=0\sigma_{m+k}=0σm+k=0，所以z=z0z=z_{0}z=z0，故X(1)X^{(1)}X(1)也是最优解，进而X(0)X^{(0)}X(0)和X(1)X^{(1)}X(1)连线上的所有点都是最优解。

无界解判别定理

若X(0)=(b1′,b2′,⋯,bm′,0,⋯,0)TX^{(0)}=\left(b_{1}^{\prime}, b_{2}^{\prime}, \cdots, b_{m}^{\prime}, 0, \cdots, 0\right)^{T}X(0)=(b1′,b2′,⋯,bm′,0,⋯,0)T为一个基可行解，有一个σm+k>0\sigma_{m+k}>0σm+k>0，并且对i=m+1,…,ni=m+1, \ldots, ni=m+1,…,n，有ai，m+k≤0a_{i，m+k} \leq 0ai，m+k≤0，那么该线性规划问题具有无界解(或称无最优解)。
简要证明思路如下：构造一个新的解X(1)X^{(1)}X(1)，其分量为
xi(1)=bi′−λai,m+k′(λ>0)xm+k(1)=λxj(1)=0;j=m+1,⋯,n,并且 j≠m+k\begin{array}{l} x_{i}^{(1)}=b_{i}^{\prime}-\lambda a_{i, m+k}^{\prime}(\lambda>0) \\ x_{m+k}^{(1)}=\lambda \\ x_{j}^{(1)}=0 ; \quad j=m+1, \cdots, n, \text { 并且 } j \neq m+k \end{array}xi(1)=bi′−λai,m+k′(λ>0)xm+k(1)=λxj(1)=0;j=m+1,⋯,n, 并且 j=m+k
因为ai，m+k≤0a_{i，m+k} \leq 0ai，m+k≤0，所以对任意的 λ>0\lambda>0λ>0都是可行解，把x(1)x^{(1)}x(1)代入目标函数内，得到
z=z0+λσm+kz=z_{0}+\lambda \sigma_{m+k}z=z0+λσm+k
因 σm+k>0\sigma_{m+k}>0σm+k>0,故当λ→+∞\lambda \rightarrow +\inftyλ→+∞，则 z→+∞,z \rightarrow+\infty,z→+∞, 故该问题目标函数无界。

其他情形

以上讨论都是针对标准型的，即求目标函数极大化时的情况。当要求目标函数极小化时，一种情况是将其化为标准型。
如果不化为标准型，只需在上述1，2点中把 σj≤0\sigma_{j} \leq 0σj≤0 改为 σj≥0,\sigma_{j} \geq 0,σj≥0, 第3点中将 σm+k>0\sigma_{m+\mathrm{k}}>0σm+k>0 改写为 σn+k<0\sigma_{n+k}<0σn+k<0 即可。

第三章单纯形法

单纯形表

为了便于理解计算关系，现设计一种计算表，称为单纯形表，其功能与增广矩阵相似。
将(1-22)式与目标函数组成n+1个变量，m+1个方程的方程组。
x1+a1m+1xm+1+⋯+a1nxn=b1x2+a2m+1xm+1+⋯+a2nxn=b2xm+amm+1xm+1+⋯+amnxn=bm−z+c1x1+⋯+cmxm+cm+1xm+1+⋯+cnxn=0\begin{array}{c} x_{1} \quad+a_{1 m+1} x_{m+1}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ x_{2} \quad+a_{2 m+1} x_{m+1}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ x_{m}+a_{m m+1} x_{m+1}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m} \\ & -z+c_{1} x_{1}+\cdots+c_{m} x_{m}+c_{m+1} x_{m+1}+\cdots+c_{n} x_{n}=0 \end{array}x1+a1m+1xm+1+⋯+a1nxn=b1x2+a2m+1xm+1+⋯+a2nxn=b2xm+amm+1xm+1+⋯+amnxn=bm−z+c1x1+⋯+cmxm+cm+1xm+1+⋯+cnxn=0
为了便于迭代运算，可将上述方程组写成增广矩阵形式
(010⋯0a1,m+1⋯a1nb1001⋯0a2,m+1⋯a2nb2⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯0am,m+1⋯amnbm1c1c2⋯cmcm+1⋯cn0)\left(\begin{array}{cccccccc|c} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & a_{1, m+1} & \cdots & a_{1 n} & b_{1} \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & a_{2, m+1} & \cdots & a_{2 n} & b_{2} \\ \vdots & \vdots & & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{m, m+1} & \cdots & a_{m n} & b_{m} \\ 1 & c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{m} & c_{m+1} & \cdots & c_{n} & 0 \end{array}\right)⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛00⋮0110⋮0c1010c2⋯⋯⋯⋯00⋮0cma1,m+1a2,m+1⋮am,m+1cm+1⋯⋯⋯⋯a1na2n⋮amncnb1b2⋮bm0⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞
若将zzz看作不参与基变换的基变量，它与x1,x2,…,xmx_{1},x_{2},…,x_{m}x1,x2,…,xm的系数构成一个基，这时可采用行初等变换将c1,c2,…,cmc_{1},c_{2},…,c_{m}c1,c2,…,cm变换为零，使其对应的系数矩阵为单位矩阵。得到
(010⋯0a1,m+1⋯a1nb1001⋯0a2,m+1⋯a2nb2⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯0am,m+1⋯amnbm100⋯0cm+1−∑i=1mciai,m+1⋯cn−∑i=1mciain−∑i=1mcibi)\left(\begin{array}{cccccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & a_{1, m+1} & \cdots & a_{1 n} & b_{1} \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & a_{2, m+1} & \cdots & a_{2 n} & b_{2} \\ \vdots & \vdots & & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{m, m+1} & \cdots & a_{m n} & b_{m} \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & c_{m+1}-\sum_{i=1}^{m} c_{i} a_{i, m+1} & \cdots & c_{n}-\sum_{i=1}^{m} c_{i} a_{i n} & -\sum_{i=1}^{m} c_{i} b_{i} \end{array}\right)⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛00⋮0110⋮000100⋯⋯⋯⋯00⋮00a1,m+1a2,m+1⋮am,m+1cm+1−∑i=1mciai,m+1⋯⋯⋯⋯a1na2n⋮amncn−∑i=1mciainb1b2⋮bm−∑i=1mcibi⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞
对于上表的说明：
XBX_{B}XB列中填入基变量，这里是x1,x2,…,xmx_{1},x_{2},…,x_{m}x1,x2,…,xm；
CBC_{B}CB列中填入基变量的价值系数，这里是c1,c2,…,cmc_{1},c_{2},…,c_{m}c1,c2,…,cm；它们是与基变量相对应的；
bbb列中填入约束方程组右端的常数；
cjc_{j}cj行中填入基变量的价值系数c1,c2,…,cnc_{1},c_{2},…,c_{n}c1,c2,…,cn；
θi\theta_{i}θi列的数字是在确定换入变量后，按θ\thetaθ规则计算后填入；
最后一行称为检验数行，对应各非基变量xjx_{j}xj的检验数是cj−∑i=1mciaij,j=1,2,⋯,nc_{j}-\sum_{i=1}^{m} c_{i} a_{i j}, \quad j=1,2, \cdots, ncj−∑i=1mciaij,j=1,2,⋯,n

计算步骤

在初始单纯形表的基础上，每迭代一步构造一个新单纯形表，计算步骤如下：
(1)按数学模型确定初始可行基和初始基可行解，建立初始单纯形表。
(2)计算各非基变量xj的检验数，σj=cj−∑i=1mciaij\sigma_{j}=c_{j}-\sum_{i=1}^{m} c_{i} a_{i j}σj=cj−∑i=1mciaij；检查检验数，若所有检验数σj≤0,j=1,2,⋯n\sigma_{j} \leq 0, j=1,2, \cdots nσj≤0,j=1,2,⋯n则已得到最优解，可停止计算。否则转入下一步。
(3)在σj>0,j=m+1,…,n\sigma_{j}>0, j=m+1, \ldots, nσj>0,j=m+1,…,n中，若有某个σk\sigma_{k}σk对应xkx_{k}xk的系数列向量Pk≤0P_{k} \leq 0Pk≤0，则此问题是无界，停止计算。否则，转入下一步。
(4)根据max⁡(σj>0)=σk\max \left(\sigma_{j}>0\right)=\sigma_{k}max(σj>0)=σk，确定xkx_{k}xk为换入变量，按θ\thetaθ计算
θ=min⁡(biaik∣aik>0)=blalk\theta=\min \left(\frac{b_{i}}{a_{i k}} \mid a_{i k}>0\right)=\frac{b_{l}}{a_{l k}}θ=min(aikbi∣aik>0)=alkbl
(5)以alka_{l k}alk为主元素进行迭代(即用高斯消去法或称为旋转运算)，把xkx_{k}xk所对应的列向量
Pk=(a1ka2k⋮alk⋮amk)变换 ⇒(00⋮1⋮0)←第 l行 P_{k}=\left(\begin{array}{c} a_{1 k} \\ a_{2 k} \\ \vdots \\ a_{l k} \\ \vdots \\ a_{m k} \end{array}\right) \text { 变换 } \Rightarrow\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right) \leftarrow \text { 第 } l \text { 行 }Pk=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛a1ka2k⋮alk⋮amk⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞ 变换 ⇒⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛00⋮1⋮0⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞← 第 l 行
将X_{B}列中的x_{l}换为x_{k}，得到新的单纯形表。重复(2)～(5)，直到终止。

人工变量法

设线性规划问题的约束条件∑j=1nPjxj=b\sum_{j=1}^{n} P_{j} x_{j}=b∑j=1nPjxj=b
其中没有可作为初始基的单位矩阵，则分别给每一个约束方程加入人工变量xn+1,…,xn+mx_{n+1}, \ldots, x_{n+m}xn+1,…,xn+m，得到
{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn+xn+1=ba21x1+a22x2+⋯+a2nxn+xn+2=bam1x1+am2x2+⋯+amnxn+xn+m=bx1,⋯,xn≥0;xm+1,⋯,xn+m≥0\left\{\begin{array}{cc} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}+x_{n+1} & =b \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}+x_{n+2} & =b \\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n} & +x_{n+m}=b \\ x_{1}, \cdots, x_{n} \geq 0 ; \quad x_{m+1}, \cdots, x_{n+m} \geq 0 \end{array}\right.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn+xn+1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn+xn+2am1x1+am2x2+⋯+amnxnx1,⋯,xn≥0;xm+1,⋯,xn+m≥0=b=b+xn+m=b
以xn+1,…,xn+mx_{n+1}, \ldots, x_{n+m}xn+1,…,xn+m为基变量，并可得到一个m×mm×mm×m单位矩阵。令非基变量x1,…,xnx_{1},…,x_{n}x1,…,xn为零，便可得到一个初始基可行解X(0)=(0,0,…,0,b1,b2,…,bm)TX^{(0)}=\left(0,0, \ldots, 0, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m}\right)^{\mathrm{T}}X(0)=(0,0,…,0,b1,b2,…,bm)T
因为人工变量是后加入到原约束条件中的虚拟变量，要求经过基的变换将它们从基变量中逐个替换出来。
基变量中不再含有非零的人工变量，这表示原问题有解。
若在最终表中当所有cj−zj≤0c_{j}-z_{j} \leq 0cj−zj≤0，而在其中还有某个非零人工变量，这表示原问题无可行解。
以下讨论如何解含有人工变量的线性规划问题。

大M法

大M法的思想就是，在原线性规划问题加入松弛变量和人工变量后，将目标函数中松弛变量的系数设为0、人工变量的系数设为M（无穷大的数），再利用单纯形法进行计算得到最优解。

两阶段法

以下介绍求解含有人工变量线性规划问题的两阶段法。
第一阶段：不考虑原问题是否存在基可行解；给原线性规划问题加入人工变量，并构造仅含人工变量的目标函数和要求实现最小化。
目标函数
min⁡ω=xn+1+⋯+xn+m+0x1+0x2+⋯+0xn\min \omega=x_{n+1}+\cdots+x_{n+m}+0 x_{1}+0 x_{2}+\cdots+0 x_{n}minω=xn+1+⋯+xn+m+0x1+0x2+⋯+0xn
约束条件
{a11x1+a12x2+⋯⋯=b1a21x1+a22x2+⋯⋯+a1nxn+xn+1=b2⋯⋯⋯⋯⋯am1x1+am2x2+⋯⋯+amxn+xn+m=bm\left\{\begin{array}{ccccc} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots \cdots & & =b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots \cdots+a_{1 n} x_{n}+x_{n+1} & & =b_{2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots \cdots+a_{m} x_{n} & & +x_{n+m}=b_{m} & \end{array}\right.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯⋯a21x1+a22x2+⋯⋯+a1nxn+xn+1⋯am1x1+am2x2+⋯⋯+amxn⋯=b1=b2⋯+xn+m=bm⋯⋯
第一阶段求解：用单纯形法求解上述模型。若得到的最有值w=0w=0w=0，说明原问题存在基可行解，可以进行第二段计算。否则原问题无可行解，应停止计算。
第二阶段求解：从第一阶段计算得到的最终表中除去人工变量，将目标函数行的系数，换为原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始表。各阶段的计算方法及步骤与第3节介绍的单纯形法相同。

退化

在单纯形法计算中用θ\thetaθ规则确定换出变量时，有时存在两个以上相同的最小比值，这样在下一次迭代中就有一个或几个基变量等于零，这就出现了退化解。
这时换出变量xl=0x_{l}=0xl=0，迭代后目标函数值不变。这时不同基表示为同一顶点。有人构造了一个特例，当出现退化时，进行多次迭代，而基从B1B_{1}B1,B2B_{2}B2，…又返回到B1B_{1}B1，即出现计算过程的循环，便永远达不到最优解。
尽管实际计算过程中循环现象极少出现，但还是有可能发生的。如何解决这问题? 先后有人提出了“摄动法”，“字典序法”。1974年由勃兰特(Bland)提出一种简便的规则，简称勃兰特规则：
(1) 选取cj−zj>0c_{j}-z_{j}>0cj−zj>0中下标最小的非基变量xkx_{k}xk为换入变量，即k=min⁡(j∣cj−zj>0)k=\min \left(j \mid c_{j}-z_{j}>0\right)k=min(j∣cj−zj>0)
(2) 当按θ\thetaθ规则计算存在两个和两个以上最小比值时，选取下标最小的基变量为换出变量。
按勃兰特规则计算时，一定能避免出现循环。

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