高等工程数学 —— 第二章（1） Smith标准型与Jordan标准型

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高等工程数学 —— 第二章（1） Smith标准型与Jordan标准型
- 不变因子与Smith标准型
- 行列式因子
- - 行列式因子与不变因子的关系
- 初等因子与Jordan标准型
- - 求Jordan标准型与相似变换矩阵

不变因子与Smith标准型

将某矩阵通过初等行（列）变换，变换规则如下：

注意：
某行（列）只能倍乘常数，只有在加到另一行时能够倍乘含λ\lambdaλ的表达式。你想想，要不形如（0，0，λ\lambdaλ）时你全给λ\lambdaλ消成1了。

最后如果能将该矩阵化作如下形式：

这里只存在对角线元素有非0元素。其中di(λ)∣di+1(λ)d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda)di(λ)∣di+1(λ)代表di(λ)d_i(\lambda)di(λ)能够整除di+1(λ)d_{i+1}(\lambda)di+1(λ)。
这里对角线后面几个元素可以为0

此时，我们将di(λ)d_i(\lambda)di(λ)叫做不变因子。上述变换后得到的矩阵称为Smith标准型。

例：

初等变换过程如下：

注意：我们需要di(λ)d_i(\lambda)di(λ)为首项系数为1.

这里我们发现di(λ)d_i(\lambda)di(λ)能够整除di+1(λ)d_{i+1}(\lambda)di+1(λ)。（例如：λ\lambdaλ能够整除λ3+λ\lambda^3+\lambdaλ3+λ；λ3+λ\lambda^3+\lambdaλ3+λ能够被λ\lambdaλ整除）

行列式因子

简单说就是把每一阶的行列式值求一下，然后kkk阶行列式的所有非0值中的最大公因式就是kkk阶行列式因子的值。

例如：
(λ20000λ2−λ0000(λ−1)20000λ2−λ)\begin{pmatrix} \lambda^2 & 0 & 0 &0\\ 0 & \lambda^2- \lambda& 0 &0\\ 0 & 0 &(\lambda-1)^2 &0\\ 0 & 0 & 0 &\lambda^2- \lambda\\ \end{pmatrix} ⎝⎛λ20000λ2−λ0000(λ−1)20000λ2−λ⎠⎞

先取各阶行列式所有的非0值：

4阶：λ4(λ−1)4\lambda^4(\lambda-1)^4λ4(λ−1)4
3阶：λ3(λ−1)3，λ4(λ−1)2，λ2(λ−1)3\lambda^3(\lambda-1)^3，\lambda^4(\lambda-1)^2，\lambda^2(\lambda-1)^3λ3(λ−1)3，λ4(λ−1)2，λ2(λ−1)3
2阶：λ3(λ−1)，λ2(λ−1)2，λ(λ−1)3\lambda^3(\lambda-1)，\lambda^2(\lambda-1)^2，\lambda^(\lambda-1)^3λ3(λ−1)，λ2(λ−1)2，λ(λ−1)3
1阶：λ2，λ(λ−1)，(λ−1)2\lambda^2，\lambda(\lambda-1)，(\lambda-1)^2λ2，λ(λ−1)，(λ−1)2

之后我们取各阶最大公因子：
D4=λ4(λ−1)4D_4 = \lambda^4(\lambda-1)^4D4=λ4(λ−1)4
D3=λ2(λ−1)2D_3 = \lambda^2(\lambda-1)^2D3=λ2(λ−1)2
D2=λ(λ−1)D_2 = \lambda(\lambda-1)D2=λ(λ−1)
D1=1D_1 = 1D1=1

其中DiD_iDi即为行列式因子。

行列式因子与不变因子的关系

可见我们将行列式因子除一下就能得到不变因子：
d4=λ2(λ−1)2d_4 = \lambda^2(\lambda-1)^2d4=λ2(λ−1)2
d3=λ(λ−1)d_3 = \lambda(\lambda-1)d3=λ(λ−1)
d2=λ(λ−1)d_2 = \lambda(\lambda-1)d2=λ(λ−1)
d1=1d_1 = 1d1=1

因此我们可以求得例题中矩阵的Smith标准型为：
(10000λ(λ−1)0000λ(λ−1)0000λ2(λ−1)2)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &0\\ 0 & \lambda( \lambda-1)& 0 &0\\ 0 & 0 &\lambda( \lambda-1) &0\\ 0 & 0 & 0 &\lambda^2( \lambda-1)^2\\ \end{pmatrix} ⎝⎛10000λ(λ−1)0000λ(λ−1)0000λ2(λ−1)2⎠⎞

这也为我们提供了一个求解不变因子的便捷方法，如果通过初等行变换那么太慢了且容易出错。

如果我们对于次高阶行列式存在一个不含λ\lambdaλ的常数或者两个不含公因子的行列式值，那么我们取该阶最大公因式的时候就只能取1.之后低阶的最大公因子也只能取1，因为这样才能和次高阶的1整除。

例如：
(λ−1−10−6λ−200−1λ+1)\begin{pmatrix} \lambda-1 & -1 & 0 \\ -6 & \lambda-2 & 0 \\ 0 & -1 & \lambda+1 \\ \end{pmatrix} ⎝⎛λ−1−60−1λ−2−100λ+1⎠⎞

其中 D3=(λ+1)2(λ−4)D_3 = (\lambda+1)^2(\lambda-4)D3=(λ+1)2(λ−4)

对于二阶行列式值有D13D_{13}D13 = ∣6λ−20−1∣=6\begin{vmatrix} 6 & \lambda-2 \\ 0 & -1 \\ \end{vmatrix} = 6∣∣60λ−2−1∣∣=6

所以， D2=D1=1D_2 = D_1 = 1D2=D1=1。除一下易得不变因子为(λ+1)2(λ−4)，1，1(\lambda+1)^2(\lambda-4)，1，1(λ+1)2(λ−4)，1，1

该方法试用与有较多0元素时，我们可以比较容易得出次高阶行列式是常数的情况。

初等因子与Jordan标准型

初等因子就是将次数大于0的不变因子分解为互不相同的一次因式方幂的乘积。

例如：

不变因子为：(λ−1)2，(λ−1)2(λ+1)，(λ−1)2(λ+1)(λ2+1)2(\lambda-1)^2，(\lambda-1)^2(\lambda+1)，(\lambda-1)^2(\lambda+1)(\lambda^2+1)^2(λ−1)2，(λ−1)2(λ+1)，(λ−1)2(λ+1)(λ2+1)2

初等因子为：(λ−1)2，(λ−1)2，(λ−1)2，(λ+1)，(λ+1)，(λ+i)2，(λ−i)2(\lambda-1)^2，(\lambda-1)^2，(\lambda-1)^2，(\lambda+1)，(\lambda+1)，(\lambda+i)^2，(\lambda-i)^2(λ−1)2，(λ−1)2，(λ−1)2，(λ+1)，(λ+1)，(λ+i)2，(λ−i)2

对于求初等因子我们有以下三种方法：

用初等行变换成Smith标准型求不变因子，然后求初等因子

用初等行变换成对角矩阵，然后分解对角元素成初等因子
化成对角矩阵后不用疑惑为啥没有整除关系，我们这里并没有构造Smith标准型哦

该方法就是我之前说的简单方法，不一定每个都能用。

Jordan标准型的求法

第一步就是求出λI−A\lambda I - AλI−A的初等因子。

只要Jordan块对了就行，顺序可以改变。

例1：

例2：

求Jordan标准型与相似变换矩阵

之后将值代进去然后再设几个xix_ixi的值就可得到P=(100−1−11210)P= \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ -1 & -1 &1 \\2 & 1 & 0 \end{pmatrix}P=⎝⎛1−120−11010⎠⎞。P是不唯一的哈。